《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 1.2 命題及其關系、充分條件與必要條件學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 1.2 命題及其關系、充分條件與必要條件學案 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件 第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.理解命題的概念． 2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系． 3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義． 突破點一　命題及其關系 1．命題的概念 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及相互關系 3．四種命題的真假關系 (1)若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性； (2)兩個命

2、題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系． 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)“x2＋2x－8<0”是命題．(　　) (2)一個命題非真即假．(　　) (3)四種形式的命題中，真命題的個數(shù)為0或2或4.(　　) (4)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、填空題 1．命題“若x2<4，則－20，則方程x2＋x－m＝0有

3、實根”的逆否命題是____________________． 答案：若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0 3．有下列幾個命題： (1)“若a>b，則>”的否命題； (2)“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； (3)“若|x|<4，則－4

4、A．y＝sin2x的最小正周期為2π B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根同號，則>0 C．如果M?N，那么M∪N＝M D．在△ABC中，若· >0，則B為銳角 [解析]　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A為假命題；當M?N時，M∪N＝N，故C為假命題；在三角形ABC中，當·>0時，向量與的夾角為銳角，B應為鈍角，故D為假命題，故選B. [答案]　B [方法技巧] 判斷命題真假的思路方法 (1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷． (2)當一個命題改寫成“若p，則q”的形式之后，判斷這個命題真假的方法

5、： ①若由“p”經過邏輯推理，得出“q”，則可判定“若p，則q”是真命題； ②判定“若p，則q”是假命題，只需舉一反例即可．　　 考法二　四種命題的關系　 [例2]　(1)(2019·長春質監(jiān))命題“若x2<1，則－11或x<－1，則x2>1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 (2)(2019·廣東中山一中第一次統(tǒng)測)下列命題中為真命題的是(　　) A．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題 B．命題“若x>1，則x2>1”的否命題 C．命題“若x＝1，則x2

6、＋x－2＝0”的否命題 D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題 [解析]　(1)命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題為“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1y，則x>|y|”的逆命題為“若x>|y|，則x>y”，是真命題，故A正確；命題“若x>1，則x2>1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，是假命題，故B錯誤；命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，是假命題，故C錯誤；命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題為“若x≤1，

7、則x2≤0”，是假命題，故D錯誤．選A. [答案]　(1)D　(2)A [方法技巧] 四種命題的關系及真假判斷 (1)判斷關系時，先分清命題的條件與結論，再分析每個命題的條件與結論之間的關系，注意四種命題間關系的相對性． (2)命題真假的判斷方法 ①直接判斷法：若判斷一個命題為真，需經過嚴格的推理證明；若說明為假，只需舉一反例． ②間接判斷法：轉化成等價命題，再判斷．　　 1.命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析：選C　否定

8、原命題的結論作條件，否定原命題的條件作結論所得的命題為逆否命題，可知C正確． 2.原命題為“若z1，z2互為共軛復數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真　　　　　　 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：選B　因為原命題為真，所以它的逆否命題為真；若|z1|＝|z2|，當z1＝1，z2＝ －1時，這兩個復數(shù)不是共軛復數(shù)，所以原命題的逆命題為假，故否命題也為假．故選B. 3.定義“正對數(shù)”：ln＋x＝現(xiàn)有四個命題： ①若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a>0，b

9、>0，則ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b； ③若a>0，b>0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a>0，b>0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2. 其中的真命題有________(寫出所有真命題的編號)． 解析：對于①，當a≥1時，ab≥1， 則ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a； 當0

10、0＝1，故②為假命題． 綜上可知，真命題有①③④. 答案：①③④ 突破點二　充分條件與必要條件 1．充分條件與必要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且q p p是q的必要不充分條件 pq且q?p p是q的充要條件 p?q p是q的既不充分也不必要條件 pq且q p 2.充分條件與必要條件和集合的關系 p成立的對象構成的集合為A，q成立的對象構成的集合為B p是q的充分條件 A?B p是q的必要條件 B?A p是q的充分不必要條件 AB p是q的必要不充分條件 BA p是q的充要條

11、件 A＝B 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　) (2)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(　　) (3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分條件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 二、填空題 1．“x＝3”是“x2＝9”的________條件(填“充分不必要”或“必要不充分”)． 答案：充分不必要 2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________條件． 答案：必要不充分 3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________條件． 解析：lg x＋lg y＝

12、lg(xy)＝0， ∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“l(fā)g x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立， 反之無法得到x>0，y>0. 因此“xy＝1”是“l(fā)g x＋lg y＝0”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 4．設p，r都是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，那么p是t的________條件，r是t的________條件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)． 解析：由題知p?q?s?t，又t?r，r?q，故p是t的充分不必要條件，r是t的充要條件． 答案：充分不必要　充要 考法一　充分條件與必要條件的判斷　 [例

13、1]　(1)(2018·北京高考)設a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2018·天津高考)設x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　(1)a，b，c，d是非零實數(shù)，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，則a，b，c，d不成等比數(shù)列(可以假設a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的性質可知

14、ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件． (2)由＜，得0＜x＜1，則0＜x3＜1， 即“＜”?“x3＜1”； 由x3＜1，得x＜1，當x≤0時，≥， 即“x3＜1” “＜”． 所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要條件． [答案]　(1)B　(2)A [方法技巧]　　　充分、必要條件的判斷方法 利用定義判斷 直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么、結論是什么 從集合的角度判斷 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題 利用等價轉化法 條件和結論

15、帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷真假 考法二　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍　 [例2]　(2019·大慶質檢)已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1]　　　　　 B．(－∞，9] C．[1,9] D．[9，＋∞) [解析]　由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因為p是q的必要不充分條件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故選D. [答案]　D [方法技巧] 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的思路方法 (1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間關系列

16、出關于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)求解參數(shù)的取值范圍時， 一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．　　 1.已知m，n為兩個非零向量，則“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的(　　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　設m，n的夾角為θ，若<θ<π，則cos θ<0，所以m·n<0；若θ＝π，則m·n＝－|m|·|n|<0.故“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選B. 2.已

17、知α，β均為第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　α＝，β＝均為第一象限角，滿足α>β，但sin α＝sin β，因此不滿足充分性；α＝－，β＝均為第一象限角，滿足sin α>sin β，但α<β，因此不滿足必要性．故選D. 3.設M為實數(shù)區(qū)間，a>0且a≠1，若“a∈M”是“函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上單調遞增”的充分不必要條件，則區(qū)間M可以是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(0,1) D. 解析：選D　由函數(shù)f(x)

18、＝loga|x－1|在(0,1)上單調遞增可知03(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________________． 解析：p對應的集合A＝{x|xm＋3}，q對應的集合B＝{x|－4

19、 1．(2019·合肥模擬)命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是(　　) A．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0 B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0 C．若a＝0或b＝0，則a2＋b2≠0 D．若a2＋b2≠0，則a≠0且b≠0 解析：選A　原命題的逆否命題為“若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0”．故選A. 2．(2018·天津高考)設x∈R，則“x3＞8”是“|x|＞2”的(　　) A．充分而不必要條件　　　 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由x3＞8?x＞2?|x|＞2，反之不成立， 故“x3＞8”是

20、“|x|＞2”的充分而不必要條件． 3．下列命題中為真命題的是(　　) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程 B．拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點 C．互相包含的兩個集合相等 D．空集是任何集合的真子集 解析：選C　A中，當m＝0時，是一元一次方程，故是假命題；B中，當Δ＝4＋4a<0，即a<－1時，拋物線與x軸無交點，故是假命題；C是真命題；D中，空集不是本身的真子集，故是假命題． 4．(2019·合肥調研)“a>1”是“3a>2a”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因為y＝x是

21、增函數(shù)，又a>1，所以a>1，所以3a>2a；若3a>2a， 則a>1＝0，所以a>0，所以“a>1”是“3a>2a”的充分不必要條件，故選A. 5．已知下列三個命題： ①若一個球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的； ②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標準差也相等； ③直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝相切． 其中真命題的序號為(　　) A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 解析：選C　對于命題①，設球的半徑為R，則π3＝·πR3，故體積縮小到原來的，命題正確； 對于命題②，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則它們的標準差不一定相同，例如數(shù)據(jù)：1,3,5和3,3,3的平

22、均數(shù)相同，但標準差不同，命題不正確； 對于命題③，圓x2＋y2＝的圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝，等于圓的半徑，所以直線與圓相切，命題正確． 6．(2019·咸陽模擬)已知p∶m＝－1，q：直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由題意得直線x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1. 所以p是q的充分不必要條件．故選A. 7．(2019·重慶調研)定義在R上的可導函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f′(x)，則“f′(x)為偶函數(shù)”是“f(x)為奇

23、函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′＝－f′(x)， ∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)為偶函數(shù)；反之，若f′(x)為偶函數(shù)，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1滿足條件，但f(x)不是奇函數(shù)，所以“f′(x)為偶函數(shù)”是“f(x)為奇函數(shù)”的必要不充分條件．故選B. 8．(2019·撫州七校聯(lián)考)A，B，C三個學生參加了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分．已知命題p：若及格分低于70分，則A

24、，B，C都沒有及格．則下列四個命題中為p的逆否命題的是(　　) A．若及格分不低于70分，則A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，則及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，則及格分高于70分 解析：選C　根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關系知，命題p的逆否命題是若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分．故選C. 9．(2019·濟南模擬)原命題：“a，b為兩個實數(shù)，若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”，下列說法錯誤的是(　　) A．逆命題為：a，b為兩個實數(shù)，若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b

25、≥2，為假命題 B．否命題為：a，b為兩個實數(shù)，若a＋b<2，則a，b都小于1，為假命題 C．逆否命題為：a，b為兩個實數(shù)，若a，b都小于1，則a＋b<2，為真命題 D．a，b為兩個實數(shù)，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一個不小于1”的必要不充分條件 解析：選D　原命題：a，b為兩個實數(shù)，若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1；逆命題：a，b為兩個實數(shù)，若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2；否命題：a，b為兩個實數(shù)，若a＋b<2，則a，b都小于1；逆否命題：a，b為兩個實數(shù)，若a，b都小于1，則a＋b<2.逆否命題顯然為真，故原命題也為真；若a＝1.2，b＝0.5，則a＋b≥

26、2不成立，逆命題為假命題，所以否命題為假命題．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一個不小于1”的充分不必要條件．故選D. 10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：選B　由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要條件，所以k>2，即實數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)，故選B. 11．在原命題“若A∪B≠B，則A∩B≠A”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為________． 解析：逆命題

27、為“若A∩B≠A，則A∪B≠B”； 否命題為“若A∪B＝B，則A∩B＝A”； 逆否命題為“若A∩B＝A，則A∪B＝B”． 全為真命題． 答案：4 12．已知命題“若m－1a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要條件，則p?q，但qp，也就是說，p對應的集合是q對應的集合的真子集，所以a<1.

28、 答案：(－∞，1) 14．(2019·湖南十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”的____________條件． 解析：若A＝B＝0，則Sn＝0，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列． 如果{an}是等比數(shù)列，由a1＝S1＝Aq＋B，得a2＝S2－a1＝Aq2－Aq，a3＝S3－S2＝Aq3－Aq2， ∴a1a3＝a，從而可得A＝－B， 故“A＝－B”是“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 15．(2019·湖南長郡中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，p：≤x≤，q：|f(x)－m|<2，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解：化簡解析式，得f(x)＝4·－2cos 2x－1＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin2x－＋1. 當≤x≤時，≤2x－≤， 則≤sin≤1，所以f(x)∈[3,5]． 當|f(x)－m|<2時，f(x)∈(m－2，m＋2)． 又p是q的充分不必要條件， 所以所以3