《2022年高三數(shù)學(xué)《等差、等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高三數(shù)學(xué)《等差、等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高三數(shù)學(xué)《等差、等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計 考綱要求： 1. 理解等等比數(shù)列的概念. 2. 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式. 3. 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 4. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 考點回顧： 等差、等比數(shù)列是最重要的、最基本的數(shù)列模型，因而也是高考重點考察的對象，從近幾年的高考看，考查既有選擇題、填空題，也有解答題，，既有容易題和中檔題，也有難題.客觀題一般“小而巧”，考查對等差、等比數(shù)列概念的理解、性質(zhì)的靈活運用，主觀題則一般“大而全”，除了考查數(shù)列的概念、性

2、質(zhì)、公式的應(yīng)用外，還經(jīng)常與其他知識融合在一起，同時也考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用.考試說明對等差、等比數(shù)列都提出了較高的要求，因此，等差、等比數(shù)列的綜合問題應(yīng)用問題將是xx年高考對數(shù)列考查的重點. 基礎(chǔ)知識過關(guān)： 等差數(shù)列 1.等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與他的前一項的差都等于 ，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 . 2.等差數(shù)列：在一個等差數(shù)列中，從第二項起每一項（有窮數(shù)列最有一項除外）都是它前一項與后一項的等差中項，即 （）. 3.等差數(shù)列的單調(diào)性 當(dāng)d>0時，是

3、 數(shù)列；當(dāng)d=0時，是 數(shù)列； 當(dāng)d<0時，是 數(shù)列. 4.等差數(shù)列的前n項和是用 法求得的，要注意這種思想方法在數(shù)列求和中的應(yīng)用. 5.等差數(shù)列的通項公式= ，前n項和公式= = ，兩個公式一共涉及到五個量，知其三就能求另二. 等比數(shù)列： 1.等比數(shù)列的定義：一般的，如果一個數(shù)列從 起，每一項與他的 的比等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，公比通常用字母 ()表示. 2.設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比

4、為q,則它的通項= . 3.等比中項：如果三個數(shù)a、G、b組成 ，則G叫做a和b的等比中項，那么 . 4.等比數(shù)列的前n項和公式 . 答案： 等差數(shù)列 1.同一個常數(shù) 公差 2. 3.遞增 常數(shù)列 遞減 4.倒序相加 5. 等比數(shù)列 1.第2項 前一項 同一個 公比 q 2. 3.等比數(shù)列 ab 4.q=1時， 高考題型歸納： 題型1.等差等比數(shù)列的判定與證明： 證明一個數(shù)列為等差或等比一般用定義或者等差（比）中項

5、來證明，而對于等差數(shù)列來說，證明一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)或者證明它的前n項和事關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)也能說明它是等差數(shù)列. 例1. 已知數(shù)列中，是其前項和，并且， ⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； ⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。 分析：由于和{c}中的項都和{a}中的項有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑． 解析：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練) a-2a=2(

6、a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ② 由①和②得，數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2． 當(dāng)n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，S=a=1也適合上式． 綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2． 點評：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。 2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用． 題型2.等差

7、等比數(shù)列的基本運算： 在等差等比數(shù)列中指涉及到五個基本量，即，“知三求二”是一種基本運算，一般式通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程組求解，對于等比數(shù)列來說，要注意分類討論思想的應(yīng)用。 例2. 已知數(shù)列的前n項為的前n項和滿足 （I）求數(shù)列的通項公式； （II）將數(shù)列與的公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列的通項公式； 分析：已知，一般由（）來求得，然后再研究其他問題，本題的難點在于判定來那個個數(shù)列的公共項. 解析：（I）， ∴ (II)由,即 ,故的通項公式為 設(shè)數(shù)列中的第項與數(shù)列中的第n項相同，則有 由此 ∴必有n為奇數(shù)2k+1，故的通項公式為 點評：本

8、例主要復(fù)習(xí)了通過前n項和求數(shù)列的通項,并學(xué)會通過觀察兩個不同數(shù)列,找出公共項通過化歸寫出新數(shù)列的通項. 題型3.等差等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 合理運用等差等比數(shù)列的性質(zhì)是高考考查的一個重點，也是考查學(xué)生能否合理進行簡化運算的關(guān)鍵.在計算過程中，若能恰當(dāng)?shù)剡x擇性質(zhì)，則可大大減少運算量. 例3. 等差數(shù)列{an}的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和 分析： 本題可以根據(jù)條件直接列式求解，但是若能合理應(yīng)用性質(zhì)，選擇不同的公式，則會得到不同的解法. 解析：解法一 將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知， 要求S

9、3m只需求m［a1+］, 將②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210 解法三 由等差數(shù)列{an}的前n項和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)） 將Sm=30,S2m=100代入，得 ,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m =S2m+(a1+2md)+…+(am+2md) =S2m+(a1+…+am)+m·2md =S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差數(shù)

10、列， 從而有 2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m) ∴S3m=3(S2m－Sm)=210 解法六 ∵Sn=na1+d, ∴=a1+d ∴點(n, )是直線y=+a1上的一串點， 由三點(m,),(2m, ),(3m, )共線，易得S3m=3(S2m－Sm)=210 解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70 ∴a3=70+(70－30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210 答案 210 點評：將條件“等差數(shù)列”換成“等比數(shù)列”，使用類比思想，考慮這七種方法是否都可類比. 題型4.等差

11、等比數(shù)列前n項和的最值： 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法有： （1） 利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項； （2） 利用性質(zhì)求出正負轉(zhuǎn)折項； （3） 利用等差數(shù)列的前n項和為關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解. 例4. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn已知a3=12, S12＞0,S13＜0 (Ⅰ)求公差d的取值范圍； (Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一個值最大,并說明理由 分析：（1）依據(jù)直接列方程求解d的范圍即可； （2）判斷出轉(zhuǎn)折項即可找出前n項和的最大值. 解析： (Ⅰ)依題意,有 ，即 由a3=12,得 a1=12－2d

12、(3)將(3)式分別代入(1),(2)式,得 ，∴ (Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13 因此,若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n,使得an＞0,an+1＜0, 則Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值 由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0 由此得 a6＞－a7＞0因為a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大 點評：無論應(yīng)用二次函數(shù)求最值，還是利用找轉(zhuǎn)折項求最值，兩種方法都具有一般性，但是需要注意的是，利用二次函數(shù)求最值，要注意n只能取正整數(shù)，找轉(zhuǎn)折項可以通過利用通項公式解不等式，

13、但是計算比較繁瑣，這時可以合理選擇應(yīng)用數(shù)列的性質(zhì)，以簡化運算和判斷. 過關(guān)訓(xùn)練： 6.1 等差、等比數(shù)列 一.選擇題 1.等差數(shù)列的前n項和為，等于（ ） A.102 B.204 C.306 D.408 2.等差數(shù)列的公差d<0，且，則數(shù)列的通項公式為（ ） A. B. C. D. 3.已知是等比數(shù)列，，則公比q等于 ( ) A. B.-2 C.2 D. 4.在等比數(shù)列中，若等于（ ）

14、 A.8 B.-8 C.16 D.-16 5.等比數(shù)列中，公比q=4，則的值為 （ ） A. B. C.4 D.16 6.某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15.偶數(shù)項之和為30，則其公差為（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 7.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，，則的值為（ ） A. B. C. D. 8.設(shè)等比數(shù)列的公比q=2,前n項和為，則等于 （ ） A.2 B

15、.4 C. D. 9.等比數(shù)列的首項，則達到最大值時，n的值為 （ ） A.8 B.9 C.10 D.11 10.一個等比數(shù)列前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數(shù)列有（ ） A.13項 B.12項 C.11項 D.10項 11.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且他們的前n項和有最大值，則使>0的n的最大值為 （ ） A.11 B.19 C.20 D.21 12

16、.設(shè)數(shù)列、都是等差數(shù)列，且那么數(shù)列的第xx項的值是 （ ） A.85 B.90 C.95 D.100 二、填空題 13.等差數(shù)列中，有兩項，則該數(shù)列前mk項之和是 . 14.設(shè)，，定義使為整數(shù)的數(shù)k（）叫做數(shù)列則區(qū)間內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為 . 15.定義“等積數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的積都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做等積數(shù)列的“公積”.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為6，那么 ，這個數(shù)列前n項積的計算公式為 . 16.把

17、49個數(shù)排成如圖所示的數(shù)表，若表中每行的7個數(shù)自左向右依次都成等差數(shù)列，每列的7個數(shù)自上而下也都成等差數(shù)列，且正中間的數(shù)=1，則表中所有數(shù)的和為 . 三、解答題： 17..已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，． （1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明． 18.已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足 ； （1） 求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2） 求數(shù)列中的最大值和最小值，并說明理由． 19. 設(shè)數(shù)列{an}的首項，且，記． （I）求a2，a3； （II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； 20. 是等差數(shù)列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，求數(shù)列的通項． 2

18、1. 已知等比數(shù)列的前項和為，且． （1）求、的值及數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和． 22. 在等比數(shù)列{a n}中，前n項和為Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列，則am， am+2， am+1成等差數(shù)列 （1）寫出這個命題的逆命題；（2）判斷逆命題是否為真，并給出證明 答案與解析 一、 選擇題 1. 解： =204 答案：B 2. 解：由，所以，所以 . 答案：D 3. 解：. 答案：D 4. 解：，即32=， . 答案：A 5. 解：在等比數(shù)列中， ，= 答案：B 6. 解：因為等差數(shù)列共10項，所以，. 答案：C.

19、7. 解：因為是等差數(shù)列，. 答案：D. 8. 解：. 答案：C. 9. 解：因為，即等比數(shù)列前10項大于1，從第11項起小于1，故最大。 答案：C. 10. 解：設(shè)數(shù)列前三項分別為所以前三項之積，后三項之積，所以，兩式相乘可得：，即.又因為所有項之積為64，即，所以n=12. 答案：B. 11. 解：，，，所以使>0的n的最大值為19. 答案：B. 12. 解：設(shè)、的公差分別為m、n，則，所以m+n=0,故=100. 答案：D. 二、 填空題 13. 解：=，，解得：，所以. 答案： 14. 解：要使=為整數(shù)，則必須，即,(),所以在區(qū)間內(nèi)的所有企盼數(shù)為：，其和

20、為：=2026 答案：2026. 15. 解：由數(shù)列是“等積數(shù)列”，且公積為6，得：，所以.數(shù)列形如2，3，2，3……，故前n項積的計算公式為：（n為偶數(shù)）或者（n為奇數(shù)）. 答案：3 （n為偶數(shù)）或者（n為奇數(shù)）. 16.解：，，……，所以所有數(shù)字和為：. 答案：49 三、 解答題 17.解：(1)∵為等差數(shù)列,設(shè)公差為,∴,即為非零常數(shù), ∴是以為首項,為公比的等比數(shù)列, ∴,∴,又,∴,∴,∴． (2)由(1)知, ,∴, ∴ 18.解：(1),而, ∴,；故數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列； （2）由（1）得，則；設(shè)函數(shù)， 則，∴函數(shù)在和上均為減函

21、數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；且，當(dāng)趨向于時，接近1，∴，． 19.解：（I）a2＝a1+= a+，a3=a2 =a+； （II）∵ a4 = a3+=a+， ∴ a5=a4=a+， 所以b1=a1－=a－， b2=a3－= (a－)， b3=a5－= (a－)， 猜想：{bn}是公比為的等比數(shù)列．證明如下： 因為bn+1＝a2n+1－=a2n－= (a2n－1－)=bn， (n∈N*) 所以{bn}是首項為a－， 公比為的等比數(shù)列· 20解：由已知得， 即 ， 解得或 或 經(jīng)驗證 或 均滿足題意，即為所求． 21. 解：（1）當(dāng)時，． 而為

22、等比數(shù)列，得，即，從而． 又． （2）， 兩式相減得， 因此，． 22.解：（１）逆命題：在等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若am， am+2， am+1成等差數(shù)列，則 Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列 （２）設(shè){an}的首項為a1，公比為q. 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 ，∴2q2－q－1=0 ， ∴q=1或q=－ 當(dāng)q=1時，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1， ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2， ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差數(shù)列 當(dāng)q=－時， ， ∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列 綜上得：當(dāng)公比q=1時，逆命題為假；當(dāng)公比q≠1時，逆命題為真