4、x的值介于與之間的x∈∪，區(qū)間長度為，由幾何概型概率公式得P＝＝.
答案：D
7．為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲600個點，已知恰有200個點落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由投擲的點落在陰影部分的個數(shù)與投擲的點的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3.
答案：B
8.如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖像上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于( )
5、
A. B．
C. D．
解析：因為f(x)＝B點坐標為(1,0)，所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(－2,2)，A點坐標為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝.
答案：B
9．(2017·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是( )
A. B．
C. D．
解析：如圖所示，設(shè)點M是BC邊的中點，因為＋＋2＝0，所以點P是中線AM的中點，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝＝，故選C.
答案：C
10．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R
6、)，若|z|≤1，則y≥x的概率為( )
A.＋ B．＋
C.－ D．－
解析：復(fù)數(shù)|z|≤1對應(yīng)的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－，故選D.
答案：D
11．(2017·鄭州模擬)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域為M，不等式組表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________．
解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為π()2＝
7、，故所求概率P＝＝.
答案：
12．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________.
解析：由幾何概型知＝，解得m＝3.
答案：3
13．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________．
解析：由題意知0≤a≤1，事件“3a－1>0”發(fā)生時，a>且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝.
答案：
14．若在區(qū)間[－4,4]內(nèi)隨機取一個數(shù)m，在區(qū)間[－2,3]內(nèi)隨機取一個數(shù)n，則使得方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為________．
解析：∵
8、方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，總的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S＝8×5＝40，而滿足條件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴圖中陰影部分的面積S′＝40－π×22＝40－4π，由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－.
答案：1－
B組——能力提升練
1．在平面區(qū)域內(nèi)隨機取一點(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為( )
A. B．
9、
C. D．
解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a>0且x＝≤1，即，可得對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由，解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可知所求的概率為＝，故選B.
答案：B
2．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為( )
A. B．
C. D．
解析：建立如圖所示的平面直角坐
10、標系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝＝＝.
答案：B
3．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是( )
A.－ B.
C．1－ D．
解析：設(shè)OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π·()2－×()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分的面積為πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率為＝1－.
答案
11、：C
4．在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則( )
A．p1，則p1<
12、
A. B．
C. D．
解析：設(shè)矩形長為x，寬為y，則＝，y＝a－x，S矩形＝xy＝x(a－x)≤2＝，其概率的最大值為＝.故選A.
答案：A
6.把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點，此點落在星形內(nèi)的概率為 ( )
A.－1 B．
C.－ D．
解析：星形弧半徑為2，所以點落在星形內(nèi)的概率為
P＝＝－1，故選A.
答案：A
7．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，動點P(a，b)滿足0≤·≤2，且0≤·≤2，則動點P到點C的距離大于的概率為( )
A．1－ B．
C．1－ D．
解析：依
13、題意有目標函數(shù)>表示以C為圓心，半徑為的圓外．畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內(nèi)的圓外面積為－，故概率為＝1－.故選A.
答案：A
8．運行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間[0，e]內(nèi)任意輸入一個x的值，則輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是( )
A. B．1－
C．1＋ D．
解析：由題意得f(x)＝如圖所示，當1e，故輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是＝1－，故選B.
答案：B
9. 在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為( )
A. B．
C.
14、 D．
解析：∵＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于，∴a>b>0，a<2b.
它對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：
則方程＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為
P＝＝1－＝，故選B.
答案：B
10．已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的區(qū)域為M，曲線y＝與x軸圍成的區(qū)域為N，若向區(qū)域N內(nèi)隨機投一點，則該點落在區(qū)域M內(nèi)的概率為( )
A. B．
C. D．
解析：由已知條件，作出區(qū)域M為如圖所示的△OAB及其內(nèi)部，而曲線y＝可化為(x－)2＋y2＝，其中y≥0，因而曲線y＝與x軸圍成的區(qū)域N為圖中的半圓部分，可求得A(，)，因而△OAB的面積SM＝，半圓的面積
15、SN＝×π×＝，由幾何概型的概率計算公式，得所求概率P＝＝，故選D.
答案：D
11．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A，B之間的直線公路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準確，則該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是( )
A. B．
C．1－ D．1－
解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2，故該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是1－＝1－，故選D.
答案：D
16、
12．一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其到三角形頂點的距離小于2的地方的概率為________．
解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×12＝30，陰影部分的面積為×π×22＝2π，所以其概率為＝.
答案：
13．(2018·南昌質(zhì)檢)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，用隨機模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機產(chǎn)生了10 000個點，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點數(shù)恰有2 000個，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為________．
解析：由題意，因為在正方形ABCD中隨機產(chǎn)生了10 000個點，
17、落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點數(shù)恰有2 000個，
所以概率P＝＝.
∵邊長為2的正方形ABCD的面積為4，
∴不規(guī)則圖形M的面積的估計值為
×4＝.
答案：
14．已知正方形ABCD的邊長為2，H是邊DA的中點．在正方形ABCD內(nèi)部隨機取一點P，則滿足|PH|<的概率為________．
解析：如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，則滿足|PH|<的點P在△AEH，扇形HEF及△DFH內(nèi)，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為
＝＋.
答案：＋
15．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為________．
解析：對于直線方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝，
由題意可得·||·||<，
因為m∈(0,3)，
所以解得0
2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第九章 概率 第三節(jié) 幾何概型課時作業(yè)
