《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明學案（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第4講　直接證明與間接證明 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　直接證明 考點2　間接證明 1．反證法的定義 假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立的證明方法． 2．利用反證法證題的步驟 (1)假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立； (2)由假設出發(fā)進行正確的推理，直到推出矛盾為止； (3)由矛盾斷言假設不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立．簡言之，否定→歸謬→斷言． [必會結(jié)論] 分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思

2、路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　　) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　) (3)用反證法證明結(jié)論“a＞b”時，應假設“a＜b”．(　　) (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾．(　　) (5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．要證明＋<2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的

3、是(　　) A．綜合法 B．分析法 C．反證法 D．歸納法 答案　B 解析　從要證明的結(jié)論——比較兩個無理數(shù)大小出發(fā)，證明此類問題通常轉(zhuǎn)化為比較有理數(shù)的大小，這正是分析法的證明方法，故選B. 3．[課本改編]用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，假設正確的是(　　) A．假設至少有一個鈍角 B．假設至少有兩個鈍角 C．假設沒有一個鈍角 D．假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角 答案　B 解析　注意到：“至多有一個”的否定應為“至少有兩個”，故選B. 4．[2018·包頭模擬]若實數(shù)a，b滿足a＋b＜0，則(　　) A．a(chǎn)，b都小于0 B．a(chǎn)，b都大于0

4、 C．a(chǎn)，b中至少有一個大于0 D．a(chǎn)，b中至少有一個小于0 答案　D 解析　假設a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，則a＋b≥0，這與a＋b＜0相矛盾，因此假設錯誤，即a，b中至少有一個小于0. 5．[2018·揚州調(diào)研]設a>b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關系是________． 答案　m?a0，顯然成立． 6．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的序號是________． 答案?、佗邰? 解

5、析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不為0且同號即可，故①③④都能使＋≥2成立． 板塊二　典例探究·考向突破 考向　綜合法證明 例　1　已知sinθ，sinx，cosθ成等差數(shù)列，sinθ，siny，cosθ成等比數(shù)列．證明：2cos2x＝cos2y. 證明　∵sinθ與cosθ的等差中項是sinx，等比中項是siny， ∴sinθ＋cosθ＝2sinx，① sinθcosθ＝sin2y，② ①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1. ∴4×－2×＝1，即2－2cos2x－(1－cos2

6、y)＝1. 故證得2cos2x＝cos2y. 觸類旁通 綜合法證明的思路 (1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導出所要求證結(jié)論的真實性． (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理． 【變式訓練1】　已知f(x)＝，證明：f(x)＋f(1－x)＝. 證明　∵f(x)＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝. 故f(x)＋f(1－x)＝成立． 考向　分析法證明 例　2　已知a>0，證明： －≥a＋－2. 證明　要證 －≥a＋－2， 只

7、需證 ≥－(2－)． 因為a>0，所以－(2－)>0， 所以只需證2≥2， 即2(2－)≥8－4，只需證a＋≥2. 因為a>0，a＋≥2顯然成立＝1時等號成立，所以要證的不等式成立． 觸類旁通 分析法證題的技巧 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關鍵． (2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證． 【變式訓練2】　已知正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1. 求證：＋＋≤. 證明　欲證＋＋

8、≤， 則只需證(＋＋)2≤3， 即證a＋b＋c＋2(＋＋)≤3， 即證＋＋≤1. 又＋＋≤＋＋＝1，當且僅當a＝b＝c＝時取“＝”， ∴原不等式＋＋≤成立． 考向　反證法的應用 命題角度1　證明否定性命題 例　3　設{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ 解　(1)證明：若{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，這與q≠0相矛盾，故數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)當q＝1時，

9、{Sn}是等差數(shù)列． 當q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列．假設q≠1時，S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2＝S1＋S3， 2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)． 由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2， ∵q≠1，∴q＝0，這與q≠0相矛盾． 綜上可知，當q＝1時，{Sn}是等差數(shù)列；當q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列． 命題角度2　證明存在性問題 例　4　設x、y、z>0，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，求證：a、b、c三數(shù)至少有一個不小于2. 證明　假設a、b、c都小于2， 則a＋b＋c<6. 而事實上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6(當

10、且僅當x＝y(tǒng)＝z＝1時取“＝”)與a＋b＋c<6矛盾， ∴a，b，c中至少有一個不小于2. 命題角度3　證明唯一性命題 例　5　已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1. (1)求證：SA⊥平面ABCD； (2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由． 解　(1)證明：由已知得SA2＋AD2＝SD2， ∴SA⊥AD.同理SA⊥AB. 又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD. (2)假設在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD. ∵BC∥AD，BC?平面SAD.

11、 ∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B， ∴平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，∴假設不成立． 故不存在這樣的點F，使得BF∥平面SAD. 觸類旁通 反證法的適用范圍及證明的關鍵 (1)適用范圍：當一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證． (2)關鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，推導出的矛盾必須是明顯的． 【變式訓練3】　(1)若三個方程x2＋4mx－4m＋3＝0，x2＋(m－1)x＋m2＝0，x2＋2mx－2m＝0中至少有一個方程有實數(shù)根，

12、求實數(shù)m的取值范圍． 解　當三個方程都沒有實根時， 即 解得 所以－－2)，使函數(shù)h(x)＝是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由． 解　①由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其圖象的對稱軸為x＝1，區(qū)間[1，b]在對稱軸的右邊，

13、 所以函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增．由“四維光軍”函數(shù)的定義可知g(1)＝1，g(b)＝b， 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3. 因為b>1，所以b＝3. ②假設函數(shù)h(x)＝在區(qū)間[a，b](a>－2)上是“四維光軍”函數(shù)，因為h(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以有即解得a＝b，這與已知矛盾．故不存在． 核心規(guī)律 1.分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知． 2.綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知． 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，

14、但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來． 滿分策略 1.當題目條件較多，且都很明確時，由因?qū)Ч^容易，一般用綜合法，但在證明中，要保證前提條件正確，推理要合乎邏輯規(guī)律． 2.當題目條件較少，可逆向思考時，執(zhí)果索因，使用分析法解決．但在證明過程中，注意文字語言的準確表述． 3.利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結(jié)論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列10——分析法與綜合法的交匯整合 [2018·長沙模擬]已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c

15、是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)＋f(c)與2f(b)的大小關系，并證明你的結(jié)論． 解題視點　(1)先判斷它們的大小，可用特例法．(2)用分析法探尋證題思路．(3)用綜合法完成證明．事實上，取a＝1，b＝2，c＝4，則f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log218，2f(b)＝2f(2)＝log216，于是由log218>log216，猜測f(a)＋f(c)>2f(b)． 要證f(a)＋f(c)>2f(b)，則只需證log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，即證log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，也即證(a＋2)(c＋

16、2)>(b＋2)2.展開整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b. 因為b2＝ac，所以只要證a＋c>2，顯然是成立的． 解　f(a)＋f(c)>2f(b)． 證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)， 所以a＋c>2. 因為b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b， 即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4， 從而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. 因為f(x)＝log2x是增函數(shù)， 所以log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2， 即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b)． 答題啟示　(1)

17、綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點，分析法利于思考，綜合法宜于表達，因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過程.有時要把分析法和綜合法結(jié)合起來交替使用，才能成功.,(2)本題易錯的原因一是不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不會用綜合法表述，從而導致解題格式不規(guī)范.將分析法和綜合法整合，是證明數(shù)學問題的一種重要的思想方法. 跟蹤訓練 [2018·安徽模擬](1)設x≥1，y≥1，證明：x＋y＋≤＋＋xy； (2)1

18、)由于x≥1，y≥1，所以要證明：x＋y＋≤＋＋xy，只要證明：xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2， 只要證明：(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0， 只要證明：(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0， 只要證明：(xy－1)(x－1)(y－1)≥0. 由于x≥1，y≥1，上式顯然成立，所以原命題成立． (2)設logab＝x，logbc＝y(tǒng)，則logca＝＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy， ∴所要證明不等式即為x＋y＋≤＋＋xy. ∵c≥b≥a>1，∴x＝logab≥1，y＝logbc≥1， 由(1)知所證明的不等式成立． 板塊四　模擬演練·提能

19、增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·綿陽周測]設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列關于t和s的大小關系中正確的是(　　) A．t>s B．t≥s C．tab>b2 C.< D.> 答案　B 解析　a2－ab＝a(a－b)， ∵a0， ∴a2>ab.① 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，② 由①②得a2