《（渝皖瓊）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 2 直觀圖學案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（渝皖瓊）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 2 直觀圖學案 北師大版必修2（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 §2　直觀圖 學習目標　1.掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則.2.會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖． 知識點　斜二測畫法 思考1　邊長2 cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，A′B′與C′D′有何關系？A′D′與B′C′呢？在原圖與直觀圖中，AB與A′B′相等嗎？AD與A′D′呢？ 答案　A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB， A′D′＝AD. 思考2　正方體ABCD－A1B1C1D1的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個面都畫成正方形了嗎？ 答案　 沒有都畫成正方形． 梳理　(1)水平放置的平面圖形直觀圖的畫法 斜二測畫法規(guī)則：

2、①在已知圖形中建立平面直角坐標系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面． ②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段． ③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的. (2)立體圖形直觀圖的畫法 1．用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(　×　) 2．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變．(　×　)

3、 3．在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變．(　×　) 類型一　水平放置的平面圖形的直觀圖 例1　畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 解　畫法： (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系．畫出相應的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示； (2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2)； (3

4、)去掉輔助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)． 　　 引申探究 若得本例中的直角梯形改為等腰梯形，畫出其直觀圖． 解　畫法： (1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立平面直角坐標系，畫出對應的x′軸和y′軸， 使∠x′O′y′＝45°； (2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD； (3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖． 反思與感悟　在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取

5、適當的平面直角坐標系是關鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段．關鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可． 跟蹤訓練1　已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫出其直觀圖． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 解　畫法： (1)在圖(1)中作AG⊥x軸于點G，作DH⊥x軸于點H. (2)在圖(2)中畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在圖(2)中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝O

6、G，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))． 類型二　直觀圖的還原與計算 例2　如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積． 考點　平面圖形的直觀圖 題

7、點　由直觀圖還原平面圖形 解　如圖，建立平面直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在過點D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2. 在過點A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2. 連接BC，即得到了原圖形． 由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長度AD＝2， 所以面積為S＝×2＝5. 反思與感悟　(1)由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即

8、可． (2)若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積． 跟蹤訓練2　(1)如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是(　　) A. B. C. D．2 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　C 解析　直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為，又直觀圖與原平面圖形面積比為∶4，所以原圖形的面積為，故選C. (2)如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖

9、，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形是________．(填四邊形的形狀) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　菱形 解析　如圖所示，在原圖形OABC中，應有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)， ∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC， 故四邊形OABC是菱形． 類型三　簡單幾何體的直觀圖 例3　畫出底面是正方形，側棱均相等的四棱錐的直觀圖． 考點　簡單幾何體的直觀圖 題點　簡單幾何體的直觀圖 解　畫法： (1)畫軸．畫x軸，y軸，z軸，三軸

10、相交于點O，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖①. (2)畫底面，以O為中心在xOy平面內，畫出正方形直觀圖ABCD. (3)畫頂點．在Oz軸上截取OP使OP的長度是原四棱錐的高． (4)成圖．順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖如圖②. 反思與感悟　簡單幾何體直觀圖的畫法 (1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系． (2)畫底面：根據平面圖形直觀圖的畫法確定底面． (3)確定頂點：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關頂點． (4)連線成圖． 跟蹤訓練3　用斜二測畫法畫棱長為2 cm的正方體ABCD－

11、A′B′C′D′的直觀圖． 考點　簡單幾何體的直觀圖 題點　簡單幾何體的直觀圖 解　畫法： (1)畫軸．如圖①，畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)畫底面．以點O為中心，在x軸上取線段MN，使MN＝2 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1 cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD. (3)畫側棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上沿Oz軸方向分別截取2 cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成圖．順次連接A

12、′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，得到正方體的直觀圖(如圖②)． 1．利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，圖中正確的是(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　C 解析　正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1. 2．下列關于直觀圖的說法不正確的是(　　) A．原圖形中平行于y軸的線段，對應線段平行于直觀圖中y′軸，長度不變 B．原圖形中平行于x軸的線段，對應線段平行于直觀圖中x′軸，長度不變 C．在畫與直角坐標系xOy對應的x′O′y′時，∠x′O′y′可以畫成45° D．

13、在畫直觀圖時，由于選軸的不同所畫的直觀圖可能不同 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　A 解析　平行于y軸的線段，直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故選A. 3．有一個長為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為________cm2. 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　5 解析　該矩形直觀圖的面積為×5×4＝5(cm2)． 4．如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是________． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計

14、算 答案　10 解析　在原圖中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°， ∴AB＝＝10. 5．畫出一個正三棱臺的直觀圖．(尺寸：上、下底面邊長分別為1 cm,2 cm，高為2 cm) 考點　簡單幾何體的直觀圖 題點　柱、錐、臺的直觀圖 解　畫法： (1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖△ABC，其中O為△ABC的重心，BC＝2 cm，線段AO與x軸的夾角為45°，AO＝2OD. (2)過O作z軸，使∠xOz＝90°，在Oz軸上截取OO′＝2 cm，作上底面等邊三角形的直觀圖△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，連接AA′，BB′，CC′，得正三棱

15、臺的直觀圖． 1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定直觀圖的頂點．確定點的位置，可采用直角坐標系．建立恰當的坐標系是迅速作出直觀圖的關鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量多地落在坐標軸上或與坐標軸平行的直線上． 2．用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握住：“一斜”、“二測”兩點： (1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′、O′y′軸，使∠x′O′y′＝45°. (2)二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱折半”. 一、選擇題 1．關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是(　　) A．等腰三角形的直觀圖仍是

16、等腰三角形 B．正方形的直觀圖為平行四邊形 C．梯形的直觀圖不是梯形 D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　B 解析　由直觀圖的性質知，B正確． 2．若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應畫成(　　) A．平行于z′軸且長度為10 cm B．平行于z′軸且長度為5 cm C．與z′軸成45°且長度為10 cm D．與z′軸成45°且長度為5 cm 考點　簡單幾何體的直觀圖 題點　柱、錐、臺的直觀圖 答案　A 解析　由直觀圖的性質知，與z軸平行的線段長度不變，高與原長相等． 3

17、．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　C 解析　在x軸上或與x軸平行的線段在新坐標系中的長度不變，在y軸上或平行于y軸的線段在新坐標系中的長度變?yōu)樵瓉淼?，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直觀圖還原成原圖形為選項C. 4．下面每個選項的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是(　　) 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 答案　C 解析　可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結論． 5．已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形

18、，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為(　　) A．16 B．64 C．16或64 D．無法確定 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　C 解析　等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64. 6．水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是正三角形A′B′C′，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．任意三角形 考點　平面圖形的直觀圖 題點　由直觀圖還原平面圖形 答案　C 解析　如圖所示，斜二測直觀圖還原為平面圖形， 故△ABC是鈍角三角形． 7.

19、用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為(　　) A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　C 解析　依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，且上下底邊的長分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 8．已知兩個底面半徑相等的圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2 cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為

20、3 cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為(　　) A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm 考點　簡單幾何體的直觀圖 題點　柱、錐、臺的直觀圖 答案　D 解析　圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點間距離為2＋3＝5(cm)，在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為5 cm.故選D. 二、填空題 9．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′軸，則△ABC中AB邊上的中線的長度為________． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　 解析　由斜二測畫法規(guī)則知AC⊥BC，即

21、△ABC為直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB邊上的中線長度為. 10．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在坐標系xOy中原四邊形OABC為______(填形狀)，面積為________ cm2. 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　矩形　8 解析　由題意結合斜二測畫法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四邊形OABC的面積為S＝2×4＝8(cm2)． 11．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，

22、則在直觀圖中，梯形的高為________． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　 解析　作CD，BE⊥OA于點D，E， 則OD＝EA＝＝2， 又∠COD＝45°， ∴OD＝CD＝2， ∴在直觀圖中梯形的高為2××sin 45°＝. 三、解答題 12．如圖所示，畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　平面圖形的直觀圖 解　畫法： (1)過點C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖(1)所示．畫出對應的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(2)所示； (2)如圖(2)所示，在x′軸正半軸上取點B′，E′，使

23、得O′B′＝OB，O′E′＝OE.在y′正半軸上取一點D′，使得O′D′＝OD.過E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝EC； (3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形O′B′C′D′就是所得直觀圖． 13．一個機器部件，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3 cm，高為3 cm，圓錐的高為3 cm，畫出此機器部件的直觀圖． 考點　簡單幾何體的直觀圖 題點　簡單幾何體的直觀圖 解　畫法： (1)如圖①.畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

24、 (2)畫圓柱的兩底面．在xOy平面上畫出底面圓O，使直徑為3 cm，在z軸上截取OO′，使OO′＝3 cm，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫出底面圓O′，使其直徑為3 cm. (3)畫圓錐的頂點．在z軸上取一點P，使PO′等于圓錐的高3 cm. (4)成圖．連接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得到此幾何體(機器部件)的直觀圖，如圖②. 四、探究與拓展 14.如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2,2)，則用斜二測畫法畫出正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為

25、______． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 答案　 解析　畫出直觀圖，則B′到x′軸的距離為·OA＝OA＝. 15．在水平放置的平面α內有一個邊長為1的正方形A′B′C′D′，如圖，其中的對角線A′C′在水平位置，已知該正方形是某個四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實圖形并求出其面積． 考點　平面圖形的直觀圖 題點　與直觀圖有關的計算 解　四邊形ABCD的真實圖形如圖所示， ∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′為正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四邊形ABCD中， DA⊥AC，AC⊥BC， ∵DA＝2D′A′＝2， AC＝A′C′＝， ∴S四邊形ABCD＝AC·AD＝2. 15