《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §1.7　定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.2.能利用定積分解決物理中的變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功問(wèn)題．學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)定積分的價(jià)值． 知識(shí)點(diǎn)一　定積分在幾何中的應(yīng)用 思考　怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？ 答案　求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，用定積分來(lái)表示面積，然后計(jì)算定積分即可． 梳理　(1)當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，若f(x)>0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝?f(x)dx. (2)當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，若f(x)<0，由直線x＝a

2、，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝－?f(x)dx. (3)當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，若f(x)>g(x)>0，由直線x＝a，x＝b (a≠b)和曲線y＝f(x)，y＝g(x)所圍成的平面圖形的面積S＝?[f(x)－g(x)]dx.(如圖) 知識(shí)點(diǎn)二　變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 思考　變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移相同嗎？ 答案　不同．路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念． 梳理　(1)當(dāng)v(t)≥0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用dt求解． (2)當(dāng)v(t)<0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用dt求解，這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為－dt. 做

3、變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝?v(t)dt. 知識(shí)點(diǎn)三　變力做功問(wèn)題 思考　恒力F沿與F相同的方向移動(dòng)了s，力F做的功為W＝Fs，那么變力做功問(wèn)題怎樣解決？ 答案　與求曲邊梯形的面積一樣，物體在變力F(x)作用下運(yùn)動(dòng)，沿與F相同的方向從x＝a到x＝b(a

4、成的圖形面積為?x3dx＋?(2－x)dx.(　√　) 2．在求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的速度一定為正．(　×　) 3．在計(jì)算變力做功時(shí)，不用考慮力與位移的方向．(　×　) 類型一　利用定積分求面積 例1　由曲線y2＝x，y＝x2所圍圖形的面積S＝________. 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　 解析　由得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1. 因此，所求圖形的面積為 S＝S曲邊梯形OABC－S曲邊梯形OABD ＝?dx－?x2dx ＝－＝－＝. 反思與感悟　求由曲線圍成圖形面積的一般步驟 (1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形

5、． (2)找出范圍，確定積分上、下限． (3)確定被積函數(shù)． (4)將面積用定積分表示． (5)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練1　求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成的圖形的面積． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 解　由 得或 所以直線y＝－x＋2與拋物線y＝x2－4的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,5)和(2,0)， 設(shè)所求圖形面積為S， 根據(jù)圖形可得，S＝?(－x＋2)dx－?(x2－4)dx ＝－ ＝－＝. 例2　求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成的圖形的面積． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所

6、圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 解　畫(huà)出圖形，如圖所示． 解方程組 得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S＝?dx＋?dx ＝?dx＋?dx ＝＋ ＝＋＋6－×9－2＋＝. 反思與感悟　兩條或兩條以上的曲線圍成的圖形，一定要確定圖形范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，定出積分上、下限，若積分變量選x運(yùn)算較煩瑣，則積分變量可選y，同時(shí)要更換積分上、下限． 跟蹤訓(xùn)練2　求由曲線y＝x2，直線y＝2x和y＝x所圍成的圖形的面積． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 解　由和解出O，A，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是

7、0,1,2. 故所求的面積S＝?(2x－x)dx＋?(2x－x2)dx ＝＋ ＝－0＋－＝. 類型二　定積分在物理中的應(yīng)用 例3　一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t＝0 s開(kāi)始以速度v＝t2－4t＋3(v的單位：m/s)運(yùn)動(dòng)，求： (1)該點(diǎn)在t＝4 s時(shí)的位置； (2)該點(diǎn)前4 s走過(guò)的路程． 考點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 題點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 解　(1)在t＝4 s時(shí)，該點(diǎn)的位移為?(t2－4t＋3)dt＝＝，即在t＝4 s時(shí)，該點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)的距離為 m. (2)因?yàn)関(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在區(qū)間[1,

8、3]上，v(t)≤0，所以走過(guò)的路程s＝?(t2－4t＋3)dt＋＋?(t2－4t＋3)dt＝?(t2－4t＋3)dt－?(t2－4t＋3)dt＋?(t2－4t＋3)dt＝4(m)，即前4 s走過(guò)的路程為4 m. 反思與感悟　(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的路程(位移)方法 ①用定積分計(jì)算做直線運(yùn)動(dòng)物體的路程，要先判斷速度v(t)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)是否為正值，若v(t)>0，則運(yùn)動(dòng)物體的路程為s＝?v(t)dt；若v(t)<0，則運(yùn)動(dòng)物體的路程為s＝?|v(t)|dt＝－?v(t)dt； ②注意路程與位移的區(qū)別． (2)求變力做功的方法步驟 ①首先要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向

9、上的位移； ②利用變力做功的公式W＝?F(x)dx計(jì)算； ③注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳． 跟蹤訓(xùn)練3　一彈簧在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度成正比．若20 N的力能使彈簧伸長(zhǎng)3 cm，則把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)13 cm(在彈性限度內(nèi))時(shí)所做的功W為(　　) A. J B．5 J C. J D．6 J 考點(diǎn)　利用定積分求變力做功問(wèn)題 題點(diǎn)　定積分在彈力做功中的應(yīng)用 答案　A 解析　設(shè)拉伸彈簧所用的力為F N，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度為x m，則F＝kx. 由題意知20＝0.03k，得k＝， 所以F＝x.由變力做功公式， 得W＝?xd

10、x＝＝(J)， 故把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)13 cm時(shí)所做的功為 J. 1．由曲線y＝x2與直線y＝2x所圍成的平面圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　A 解析　如圖，畫(huà)出曲線y＝x2和直線y＝2x的圖象， 則所求面積S為圖中陰影部分的面積． 解方程組得 所以A(2,4)，O(0,0)． 所以S＝?2xdx－?x2dx ＝x2＝4－＝. 2．一物體在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的單位：N，位移單位：m)的作用下沿與力F(x)相同的方向由x＝5 m運(yùn)動(dòng)到x＝10 m，則F

11、(x)做的功為(　　) A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J 考點(diǎn)　利用定積分求變力做功問(wèn)題 題點(diǎn)　定積分在彈力做功中的應(yīng)用 答案　C 解析　依題意F(x)做的功是 W＝?F(x)dx＝?(3x2－2x＋5)dx ＝(x3－x2＋5x)|＝825(J)． 3．由曲線y＝與直線x＝1，x＝2，y＝1所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　1－ln 2 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝在[1,2]上的積分為S2＝?dx＝ln x|＝ln 2， 所以圍成的封閉圖形的面積

12、S1等于四邊形ABCD的面積減去S2的面積，即S1＝1－ln 2. 4．一輛汽車的速度—時(shí)間曲線如圖所示，則汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為_(kāi)_______ m. 考點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 題點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 答案　900 解析　由速度—時(shí)間曲線得 v(t)＝ 所以汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為 ?3tdt＋?＋ ＝150＋750＝900 m. 5．求由拋物線y＝x2－1，直線x＝2，y＝0所圍成的圖形的面積． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 解　作出草圖如圖所示，所求圖形的面積為圖中陰影部分的面積． 由x2－1＝0，得拋物線

13、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－1,0)和(1,0)， 因此所求圖形的面積為 S＝?|x2－1|dx＋?(x2－1)dx ＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx ＝＋ ＝－＋－ ＝. 對(duì)于簡(jiǎn)單圖形的面積求解，我們可直接運(yùn)用定積分的幾何意義，此時(shí) (1)確定積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (2)確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的差． 這樣所求的面積問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分了．注意區(qū)別定積分與利用定積分計(jì)算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱?；而平面圖形的面積總是非負(fù)的． 一、選擇題 1.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是(　　)

14、 A．?f(x)dx B．|?f(x)dx| C．?f(x)dx＋?f(x)dx D．?f(x)dx－?f(x)dx 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 答案　D 解析　∵x∈[a，b]時(shí)，f(x)<0，x∈[b，c]時(shí)，f(x)>0， ∴陰影部分的面積S＝?f(x)dx－?f(x)dx. 2．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運(yùn)動(dòng)，則它在t＝0 s到t＝3 s時(shí)間段內(nèi)的位移是(　　) A．31 m B．36 m C．38 m D．40 m 考點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 題點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 答案　B 解析

15、　S＝?(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)，故選B. 3．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為(　　) A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J 考點(diǎn)　利用定積分求變力做功問(wèn)題 題點(diǎn)　定積分在彈力做功中的應(yīng)用 答案　D 解析　由變力做功公式有W＝?(4x－1)dx＝(2x2－x)|＝14(J)，故選D. 4．由直線x＝0，x＝，y＝0與曲線y＝2sin x所圍成的圖形的面積等于(　　) A．3 B. C．1 D. 考點(diǎn)　利用定積分求

16、曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　A 解析　直線x＝0，x＝，y＝0與曲線y＝2sin x所圍成的圖形如圖所示， 其面積為 S＝＝－2cos x ＝－2cos －(－2cos 0)＝1＋2＝3，故選A. 5．由y＝x2，y＝x2及x＝1圍成的圖形的面積S等于(　　) A. B. C. D．1 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　C 解析　y＝x2，y＝x2，x＝1所圍成的圖形如圖所示， S＝?x2dx－?x2dx ＝?x2dx ＝＝. 6．由直線y＝x，曲線y＝x3圍成的封閉圖形的面積

17、為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 答案　C 解析　由直線y＝x，曲線y＝x3圍成的封閉圖形如圖，所以由直線y＝x，曲線y＝x3圍成的封閉圖形的面積為2?(x－x3)dx＝，故選C. 7．由曲線y＝與直線y＝2x－1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 答案　D 解析　聯(lián)立曲線y＝與直線y＝2x－1，構(gòu)成方程組 解得 聯(lián)立直線y＝2x－1，y＝0構(gòu)成方程組，解得 ∴曲線y＝與直線y＝

18、2x－1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為 S＝?dx－ ＝＋－＝. 二、填空題 8．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是________． 考點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 題點(diǎn)　利用定積分求路程問(wèn)題 答案　4＋25ln 5 解析　由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為?v(t)dt＝?dt＝＝4＋25ln 5. 9．由曲線y＝ex，y＝e－x及x＝1所圍成的圖形的面積為_(kāi)___________．

19、 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　e＋－2 解析　如圖，所圍成的圖形的面積為 ?(ex－e－x)dx ＝(ex＋e－x)| ＝e＋e－1－2＝e＋－2. 10.如圖，已知點(diǎn)A，點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)在曲線y＝x2上，若陰影部分的面積與△OAP的面積相等，則x0＝________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)與積分幾何意義的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)與積分幾何定義的應(yīng)用 答案　 解析　由題意知×x0×＝ 即x0＝x， 解得x0＝或x0＝－或x0＝0. ∵x0>0，∴x0＝. 11．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c>0)圍成圖形的面積是，

20、則c＝________. 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形的面積 題點(diǎn)　已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù) 答案　 解析　由得x＝0或x＝. ∵當(dāng)0cx3， ∴S＝＝ ＝－＝＝. ∴c3＝，∴c＝. 三、解答題 12．求由拋物線y2＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形的面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 解　如圖所示， 由 得所以拋物線y2＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)． 方法一　(選y為積分變量) S＝?dy ＝ ＝24－8－×64＝. 方法二　(選x為

21、積分變量) S＝?()dx＋?(6－x)dx ＝＋ ＝＋ ＝. 13.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與直線y＝0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，求a的值． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù) 解　由題圖知方程f(x)＝0有兩個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)實(shí)根為0，于是b＝0， 所以f(x)＝x2(x＋a)． 有＝?[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝， 所以a＝±3. 又－a>0，即a<0，所以a＝－3. 四、探究與拓展 14.如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的

22、正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　不需分割的圖形的面積求解 答案　 解析　∵S陰＝2?(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2， S正方形＝e2，∴P＝. 15.已知S1為直線x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所圍成圖形的面積，S2為直線x＝2，y＝4－t2及曲線y＝4－x2所圍成圖形的面積(t為常數(shù))． (1)若t＝，求S2； (2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值． 考點(diǎn)　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn)　需分割的圖形的面積求解 解　(1)當(dāng)t＝時(shí)，S2＝ ＝＝(－1)． (2)當(dāng)t∈(0,2)時(shí)，S1＝?[(4－x2)－(4－t2)]dx ＝＝t3. S2＝?[(4－t2)－(4－x2)]dx ＝＝－2t2＋t3. 所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋. S′＝4t2－4t＝4t(t－1)， 令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1， 當(dāng)00，S單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝1時(shí)，Smin＝2. 14