《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.8 指數(shù)式、對數(shù)式的運算講義 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.8 指數(shù)式、對數(shù)式的運算講義 文（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第八節(jié)指數(shù)式、對數(shù)式的運算 一、基礎知識批注——理解深一點 (1)根式的性質 ①()n＝a(a使有意義)．―→ ②當n是奇數(shù)時，＝； 當n是偶數(shù)時，＝|a|＝ (2)分數(shù)指數(shù)冪的意義 分數(shù)指數(shù)冪的意義是解決根式與分數(shù)指數(shù)冪互化問題的關鍵． ①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　 (3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ar

2、s(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質中，要求指數(shù)的底數(shù)都大于0，否則不能用性質來運算． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質也適用于無理數(shù)指數(shù)冪． 2．對數(shù)的概念及運算性質 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等于N，就是ab＝N，那么，數(shù)b就叫做以a 為底N的對數(shù)，記作：logaN＝b. 指數(shù)、對數(shù)之間的關系 (1)對數(shù)的性質 ①負數(shù)和零沒有對數(shù)； ②1的對數(shù)是； ③底數(shù)的對數(shù)等于. (2)對數(shù)的運算性質 如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋

3、logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)． 二、常用結論匯總——規(guī)律多一點 1．換底公式的變形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)． 2．換底公式的推廣 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．對數(shù)恒等式 a＝N(a>0且a≠1，N>0)． 三、基礎小題強化——功底牢一點

4、(1)＝π－4.(　　) (2)與()n都等于a(n∈N*)．(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× (二)選一選 1．已知a>0，則下列運算正確的是(　　) A．a·a＝a　　　　　　 　B．a·a＝0 C．(a)2＝a D．a÷a＝a 答案：D 2．化簡(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y　 B．2xy　　　C．4x2y　　　D．－2x2y 解析：選D　因為x<0，y<0， 所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)

5、·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y. 3．設x＋x－1＝3，則x2＋x－2的值為(　　) A．9 B．7 C．5 D．3 解析：選B　∵x＋x－1＝3，∴(x＋x－1)2＝9，即x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7. (三)填一填 4．lg＋lg的值是________． 解析：lg ＋lg＝lg＝1. 答案：1 5．4＝________. 解析：4＝2＝2＝9. 答案：9 [典例]　化簡下列各式： (1)0＋2－2·－(0.01)0.5； (2)a·b－2·÷(4a·b－3). [解]　(1)原式＝1＋×－＝

6、1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)＝－ab－3÷(ab)＝－a·b＝－·＝ －. [解題技法]　指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里面的，沒有括號的先做指數(shù)運算． (2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)． (4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質來解答． (5)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負指數(shù)． [題組訓練] 1．若實數(shù)a>0，則下列等式成立的是(　　) A．(－2

7、)－2＝4　　　　　 　B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 解析：選D　對于A，(－2)－2＝，故A錯誤；對于B，2a－3＝，故B錯誤；對于C，(－2)0＝1，故C錯誤；對于D，(a)4＝，故D正確． 2．化簡4a·b÷的結果為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－6ab 解析：選C　原式＝－6ab＝－6ab－1＝－. 3．計算：－－2＋＋(0.002)＝________. 解析：原式＝－2＋＋ ＝－＋＋10＝10. 答案：10 [典例]　計算下列各式： (1)；(2)log23·log38＋()log34. [解]　(1)原式＝

8、＝＝1. (2)原式＝·＋3＝3＋3＝3＋2＝5. [解題技法]　對數(shù)運算的一般思路 拆 首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質化簡合并 合 將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算 [題組訓練] 1．(log29)·(log34)＝(　　) A．　　　　　　　　　 　B． C．2 D．4 解析：選D　法一：原式＝·＝＝4. 法二：原式＝2log23·＝2×2＝4. 2．計算：÷100＝________. 解析：原式＝lg×100＝lg 10－2×

9、10＝－2×10＝－20. 答案：－20 3．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________. 解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1， ∴1＝log2(9＋a)， ∴9＋a＝2，∴a＝－7. 答案：－7 4．計算：log5[4－(3)－7]＝________. 解析：原式＝log5[2－(3)－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1. 答案：1 1．設＝log23，則3x－3－x的值為(　　) A.　　　　　　　　　 　B. C. D. 解析：選B　由＝log23，得3x＝2，∴

10、3x－3－x＝2－＝. 2．化簡(－6ab)÷的結果為(　　) A．－4a B．4a C．11a D．4ab 解析：選B　原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a. 3．(log29)(log32)＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B　原式＝(2log23)(log32)＋loga＝2×1＋logaa＝3. 4．設a>0，將表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其結果是(　　) A．a B．a C．a D．a 解析：選C?。剑剑剑絘＝a. 5．如果2loga(P－2Q)＝logaP＋l

11、ogaQ(a>0，且a≠1)，那么的值為(　　) A. B．4 C．1 D．4或1 解析：選B　由2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得loga(P－2Q)2＝loga(PQ)．由對數(shù)運算性質得(P－2Q)2＝PQ，即P2－5PQ＋4Q2＝0，所以P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得＝4. 6．若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差數(shù)列，則x的值等于(　　) A．1 B．0或 C. D．log23 解析：選D　由題意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，由對數(shù)的運算性質得2(2x＋5)＝(2x＋1)2，即(2x)2－9＝0,2x＝

12、3，x＝log23. 7．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＋f的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選D　∵log3 <0，由題意得f(f(1))＋f＝f(log21)＋3＋1＝f(0)＋3＋1＝30＋1＋2＋1＝5. 8．設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 解析：選A　由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10. 因為＋＝2，所以logm10＝2. 所以m2＝10，所以m＝. 9．已知4a＝2，lg x＝a，則x＝________.

13、 解析：由4a＝2，得a＝，又因為lg x＝a＝， 所以x＝10＝. 答案： 10．計算：9＝________. 解析：9＝9×9＝3×＝. 答案： 11．化簡：＝________. 解析：原式＝＝a·b＝. 答案： 12．已知指數(shù)函數(shù)y＝f(x)，對數(shù)函數(shù)y＝g(x)和冪函數(shù)y＝h(x)的圖象都過點P，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________. 解析：令f(x)＝ax(a>0,且a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且b≠1)，h(x)＝xc，則f＝a＝2，g＝logb＝－logb2＝2，h＝c＝2，∴a＝4，b＝，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4?x1＝1，同理，x2＝，x3＝.∴x1＋x2＋x3＝. 答案： 13．化簡下列各式： (1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋； (2) ÷ ； (3). 解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (2)原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝a÷a＝a＝a. (3)法一：原式＝＝＝. 法二：原式＝＝＝. 9