10、合法求解．
【變式訓練2】 當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范圍．
解 設f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的下方即可，如圖所示．
當0＜a＜1時，顯然不成立．
當a＞1時，如圖，要使在(1,2)上，
f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∵loga2≥1，∴1＜a≤2，即a的取值范圍為(1,2]．
考向 對數(shù)函
11、數(shù)的性質(zhì)及其應用
命題角度1 比較對數(shù)值的大小
例3 [2017·天津高考]已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)為偶函數(shù)．
又f(x)在R上遞增，當x>0時，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴
12、g(x)在[0，＋∞)上遞增．
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，由對數(shù)函數(shù)y＝log2x的性質(zhì)，知3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，∴c>a>b.故選C.
命題角度2 解簡單的對數(shù)不等式
例4 [2018·西安模擬]已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上為增函數(shù)，f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函數(shù)，
∴它的圖象關于y軸對稱．
∵f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，
∴f(x)在(－∞，0]上為減函數(shù)，
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx
13、)>0?logx<－或logx>?x>2或00，得x>3或x<1.
故函數(shù)定義域為(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－4x＋3，對稱軸為x＝2
14、，
則u在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增．
又y＝logu在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上為增函數(shù)，應使g(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減，且恒大于0.
因為即a無解．
所以不存在實數(shù)a，使f(x)在(－∞，2)上為增函數(shù)．
觸類旁通
對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及應用中應注意的問題
(1)比較對數(shù)值大小時，若底數(shù)相同，構造相應的對數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性求解；若底數(shù)不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數(shù)再比較．
(2)解簡單的對數(shù)不等式
15、時，先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．
(3)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的．
核心規(guī)律
1.指數(shù)式a b＝N與對數(shù)式logaN＝b的關系以及這兩種形式的互化是對數(shù)運算法則的關鍵．
2.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定．
3.研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到
16、．
4.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決．
滿分策略
1.在運算性質(zhì)logaMn＝nlogaM中，要特別注意條件，當n∈N*，且n為偶數(shù)時，在無M＞0的條件下應為logaMn＝nloga|M|.
2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，應從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．
3.解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
創(chuàng)新
17、交匯系列2——有關對數(shù)運算的創(chuàng)新應用問題
[2017·北京高考]根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是( )
(參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解題視點 首先要讀懂題意，搞清其本質(zhì)就是利用對數(shù)來比較兩個數(shù)的大小，然后根據(jù)相關公式計算．
解析 由題意，lg＝lg＝lg 3361－lg 1080
＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1
18、073＝73，lg 1093＝93，
故與最接近的是1093.故選D.
答案 D
答題啟示 在解決對數(shù)的化簡與求值問題時，要理解并靈活運用對數(shù)的定義、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)恒等式和對數(shù)的換底公式，同時還要注意化簡過程中的等價性和對數(shù)式與指數(shù)式的互化.
跟蹤訓練
里氏震級M的計算公式為M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的________倍．
答案 6 10000
解析
19、根據(jù)題意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震級為6級．因為標準地震的振幅為0.001，設9級地震的最大振幅為A9，則lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5級地震的最大振幅A5＝102，所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍．
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級 基礎達標]
1．[2018·廣東湛江模擬]函數(shù)f(x)＝的定義域是( )
A．(0，e) B．(0，e]
C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)
答案 B
解析 要使函數(shù)f(x)＝有意義，則
解得0
20、．設a＝log2，b＝log，c＝0.3，則( )
A．a(chǎn)1,00，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，則下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a(chǎn)＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
解析 由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，則5dc＝5a，∴dc＝a.故選B.
4．[2018·西安模擬]已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b
21、－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是( )
A.01.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1
22、2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 D
解析 令u＝x2－2x－8，則關于u的函數(shù)y＝ln u在定義域(0，＋∞)上是一個單調(diào)遞增函數(shù)，故要求f(x)＝ln (x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需使u(x)＝x2－2x－8>0且u(x)在該區(qū)間單調(diào)遞增．解x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)>0，得x<－2或x>4；u(x)＝x2－2x－8的圖象開口向上，對稱軸為x＝1，所以x>4時u(x)單調(diào)遞增，所以f(x)＝ln (x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．故選D.
7．[2018·安徽江淮聯(lián)考]已知a>0，b>0，且a≠1，則“l(fā)oga
23、b>0”是“(a－1)(b－1)>0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 a>0，b>0且a≠1，若logab>0，則a>1，b>1或00；若(a－1)(b－1)>0，則或則a>1，b>1或00，∴“l(fā)ogab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要條件．
8．[2015·浙江高考]若a＝log43，則2a＋2－a＝________.
答案
解析 原式＝2log43＋2－log43＝＋＝.
9．已知函數(shù)f(n)
24、＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間[1,2017]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有________個．
答案 9
解析 令g(k)＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)，
∵f(k)＝logk＋1(k＋2)＝，∴g(k)＝××…×＝＝log2(k＋2)．要使g(k)成為企盼數(shù)，則k＋2＝2n，n∈N*.∵k∈[1,2017]，∴(k＋2)∈[3,2019]，即2n∈[3,2019]．∵22＝4,210＝1024,211＝2048，∴可取n＝2,3，…，10.因此在區(qū)間[1,2017]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有
25、9個．
10．已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
答案
解析 當a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由于f(x)>1恒成立，所以f(x)min＝loga(8－2a)>1,8－2a>a，即a<，故11恒成立，所以f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0，所以a>4，且a<4，故這樣的a不存在．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.
[B級 知能提升]
26、
1．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上遞減，則有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．故選A.
2．[2018·河北監(jiān)測]設a＝log32，b＝ln 2，c＝5，則( )
A．a(chǎn)
27、32>log3＝，所以c0，故A＝＝7.
4．[2018·福建六校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值為－2，求實數(shù)a的值．
解 (1)依題意得解得－2
28、(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)＝loga[(x＋2)(4－x)]，
令t＝(x＋2)(4－x)，則可變形得t＝－(x－1)2＋9，
∵0≤x≤3，∴5≤t≤9，
若a>1，則loga5≤logat≤loga9，
∴f(x)min＝loga5＝－2，則a2＝<1(舍去)，
若00，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由題意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝2－.
當f(x)取最小值－時，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是關于logax的二次函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得．
若2－＝1，則a＝2，
此時f(x)取得最小值時，
x＝(2)＝?[2,8]，舍去．
若2－＝1，則a＝，
此時f(x)取得最小值時，x＝＝2∈[2,8]，符合題意，∴a＝.
13
（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案
