《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系學(xué)案 理（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第6節(jié)　空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 最新考綱　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.了解空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3.了解空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示． 知 識 梳 理 1．空間向量的有關(guān)概念 名稱 概念 表示 零向量 模為0的向量 0 單位向量 長度(模)為1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量為－a 共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一個(gè)平面的向量

2、 2.空間向量中的有關(guān)定理 (1)共線向量定理 空間兩個(gè)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa． 推論　如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是＝＋ta① 其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上?。絘，則①可化為＝＋t或＝(1－t)＋t． (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為＝x＋y或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1． (3)空間向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a

3、＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底． 3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 ①兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b. ②兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交換律：a·b＝

4、b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐標(biāo)表示 數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.直線的方向向量和平面的法向量 (1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a

5、為直線l的方向向量． (2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量． 6．空間位置關(guān)系的向量表示 位置關(guān)系 向量表示 直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m l∥α n⊥m?n·m＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0 [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1．共線向量定理的推論 如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是＝＋ta① 其

6、中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上?。絘，則①可化為＝＋t或＝(1－t)＋t. 2．a(chǎn)·b＝0?a＝0或b＝0或〈a，b〉＝. 3．a(chǎn)·b<0不等價(jià)為〈a，b〉為鈍角，因?yàn)椤碼，b〉可能為180°； a·b>0不等價(jià)為〈a，b〉為銳角，因?yàn)椤碼，b〉可能為0°. 診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　　) (2)對任意兩個(gè)空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(　　) (3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量．(　　) (4)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角．(　　) 解析　對

7、于(2)，因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對于(3)，若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對于(4)，若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是(　　) A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交但不垂直 解析　由題意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)， ∴＝－3，∴與共線，又AB與CD沒有公共點(diǎn)． ∴AB∥CD. 答案　B 3．(選修2－1P

8、97A2改編)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，1＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析　由題意，根據(jù)向量運(yùn)算的幾何運(yùn)算法則，＝1＋＝1＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 答案　A 4．已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則|b|＝________． 解析　a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2， ∴|b|＝＝2. 答案　2 5．O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且＝＋＋t，若P，A，

9、B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝________． 解析　∵P，A，B，C四點(diǎn)共面，∴＋＋t＝1，∴t＝. 答案　 6．(2018·嘉興測試)設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________； 若a＝(－1，－1，1)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________． 解析　當(dāng)a＝(1，1，2)時(shí)，a＝n，則l⊥α； 當(dāng)a＝(－1，－1，1)時(shí)，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，則l∥α或l?α. 答案　l⊥α　l∥α或l?α 考點(diǎn)一　空間向量的線性運(yùn)算 【例1】 如圖所示，在空間幾何體A

10、BCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)＋. 解　(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以＝＋ ＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 又＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， 所以＋＝＋ ＝a＋b＋c. 規(guī)律方法　(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求．用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角

11、形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算． (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則． 提醒　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算． 【訓(xùn)練1】 如圖，三棱錐O－ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝(　　) A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c) C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c) 解析　＝＋＝(－)＋ ＝－＋(－)＝＋－ ＝(a＋b－c)． 答案　B 考點(diǎn)二　共線定理、共面定理的應(yīng)用 【例2】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的

12、邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證： (1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)BD∥平面EFGH. 證明　(1)連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)椋剑剑?－)＝，因?yàn)镋，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 規(guī)律方法　(1)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法 ①＝λ(λ∈R)； ②對空間任一點(diǎn)O，＝x＋y(x＋y＝1)． (2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法 ①＝x＋y； ②對空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1

13、)； ③∥(或∥或∥)． (3)三點(diǎn)共線通常轉(zhuǎn)化為向量共線，四點(diǎn)共面通常轉(zhuǎn)化為向量共面，線面平行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來證明． 【訓(xùn)練2】 (1)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點(diǎn)共線，則m＋n＝________． (2)已知空間四點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，D(1，2，t)，若四點(diǎn)共面，則t的值為________． 解析　(1)＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥， ∴＝＝， ∴m＝－7，n＝4，∴m＋n＝－3. (2)＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(3，2，t－2

14、)， ∵A，B，C，D四點(diǎn)共面， ∴，，共面． 設(shè)＝x＋y， 即(3，2，t－2)＝(x－y，x，2y)， 則解得∴t的值為0. 答案　(1)－3　(2)0 考點(diǎn)三　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 【例3】 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)． (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的長； (3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值． (1)證明　設(shè)＝p，＝q，＝r. 由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量兩兩夾角均為60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p

15、＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB. 同理可證MN⊥CD. (2)解　由(1)可知＝(q＋r－p)， ∴||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝ ＝×2a2＝. ∴||＝a. ∴MN的長為a. (3)解　設(shè)向量與的夾角為θ. ∵＝(＋)＝(q＋r)， ＝－＝q－p， ∴·＝(q＋r)·(q－p) ＝(q2－q·p＋r·q－r·p) ＝(a2－a2cos 60°＋a2cos 60°－a2cos 60°) ＝(a2－＋－)＝. 又∵||＝||＝a，

16、∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝. ∴cos θ＝，∴向量與的夾角的余弦值為， 因此異面直線AN與CM所成角的余弦值為. 規(guī)律方法　利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題． (1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝. 【訓(xùn)練3】 如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長； (2)求證：AC1⊥BD； (3)求BD1與AC夾角的余弦值．

17、 (1)解　記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴|1|＝，即AC1的長為. (2)證明　∵＝a＋b＋c，＝b－a， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c ＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0. ∴⊥，∴AC1⊥BD. (3)解?。絙＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－

18、a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 考點(diǎn)四　利用空間向量證明平行與垂直 【例4】 (一題多解)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD. 證明　法一　如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OP所在射線分別為y， z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由題意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)． 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0，0)． 因?yàn)椋?，

19、所以Q. 因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M(0，，1)． 又P為BM的中點(diǎn)，故P， 所以＝. 又平面BCD的一個(gè)法向量為a＝(0，0，1)，故·a＝0. 又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 法二　在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連接OF，同法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y0，0)． ∵＝，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為(x，y，0)，則 (x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)， ∴∴＝ 又由法一知＝， ∴＝，∴PQ∥OF. 又PQ?平面BCD，OF?平面BCD， ∴PQ∥平面BCD. 規(guī)律方法　(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)

20、與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵． (2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算． (3)用向量證明垂直的方法 ①線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零． ②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示． ③面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆? 【訓(xùn)練4】 如圖所示，已知四棱錐P－

21、ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 證明　(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO， ∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形， ∴PO⊥底面ABCD. 以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 不妨設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝. ∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)． ∴＝(－2，－1，0)，＝(1，

22、－2，－)． ∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0， ∴⊥，∴PA⊥BD. (2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M. ∵＝，＝(1，0，－)， ∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0， ∴⊥，即DM⊥PB. ∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0， ∴⊥，即DM⊥PA. 又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB. ∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB. 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1．(2017·臺州統(tǒng)考)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，則實(shí)數(shù)m的值等于(　　) A. B．－2 C．0 D.或－

23、2 解析　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2. 答案　B 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為(　　) A. B. C. D. 解析　如圖，設(shè)正方體棱長為2，則易得＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，∴cos〈，〉 ＝＝－， ∴sin〈，〉＝＝. 答案　B 3．空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么(　　) A.·＜· B.·＝· C.·＞· D.·與·的大小不能比較 解析　取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF綉CD，因?yàn)椤?，〉＝〈，〉?0°，因?yàn)椤ぃ?，∴·＜0，所以

24、·＞·. 答案　C 4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．－1 B. C. D. 解析　由題意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)．所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝. 答案　D 5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為(　　) A．a(chǎn)2 B.a2 C.a2 D.a2 解析　如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩

25、兩夾角為60°. ＝(a＋b)，＝c， ∴·＝(a＋b)·c ＝(a·c＋b·c) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 答案　C 6.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則： ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1. 以上說法正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析?。剑剑剑剑?，∴∥，所以A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面

26、D1PQB1.①③④正確． 答案　C 二、填空題 7．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________． 解析　由題意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18， ∴cos〈b，c〉＝＝＝－， ∴〈b，c〉＝120°，∴兩直線的夾角為60°. 答案　60° 8．(2018·湖州月考)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a與b夾角的余弦值為________；若a⊥(a－λb)，則λ＝________． 解析　∵a

27、＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，∴cos〈a，b〉＝＝＝；由題意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案　　2 9．(2018·溫州質(zhì)檢)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則x＝________，y＝________，z＝________． 解析　由條件得 解得x＝，y＝－，z＝4. 答案　　－　4 10．設(shè)A1，A2，A3，A4，A5是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)有________． 解析　設(shè)M(a，b，c)，Ak＝(xk，yk，

28、zk)(k＝1，2，3，4，5)． 則＝(xk－a，yk－b，zk－c)， ∴∴存在唯一點(diǎn)M. 答案　1 三、解答題 11．已知空間中三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c. (2)求向量a與向量b的夾角的余弦值． 解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)， ∴|c|＝＝3|m|＝3， ∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴

29、a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. 12．(2018·麗水測試)如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點(diǎn)，PE＝2ED. (1)求證：PA⊥平面ABCD； (2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說明理由． (1)證明　∵PA＝AD＝1，PD＝， ∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD. 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.

30、 (2)解　以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 則A(0，0，0)，B(1，0，0)， C(1，1，0)，P(0，0，1)， E，＝(1，1，0)， ＝.設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)， 則即令y＝1， 則n＝(－1，1，－2)． 假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，且＝λ(0≤λ≤1)， 使得BF∥平面AEC，則·n＝0. 又∵＝＋＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝， ∴存在點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC，且F為PC的中點(diǎn)． 能力提升題組 13．在空間四邊形

31、ABCD中，·＋·＋·＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．不確定 解析　如圖， 令＝a，＝b，＝c，則·＋·＋· ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案　B 14．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，則(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)． 已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)是(　　) A．(4，0，3)

32、 B．(3，1，3) C．(1，2，3) D．(2，1，3) 解析　設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為x，y，z.則 p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，① 因?yàn)閜在{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)， ∴p＝4a＋2b＋3c，② 由①②得 ∴ 即p在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(3，1，3)． 答案　B 15．已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)·取得最小值時(shí)，的坐標(biāo)是__________． 解析　∵點(diǎn)Q在直線OP上，∴設(shè)點(diǎn)Q(

33、λ，λ，2λ)， 則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－. 即當(dāng)λ＝時(shí)，·取得最小值－. 此時(shí)＝. 答案　 16．如圖，在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz. (1)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)； (2)求證：A1F⊥C1E； (3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：＝＋. (1)解　E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)． (2)

34、證明　∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)， ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0， ∴⊥， ∴A1F⊥C1E. (3)證明　∵A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面， ∴，，共面． 選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2， 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴ 解得λ1＝，λ2＝1. 于是＝＋. 17.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算： (1)·；(2)EG的長； (3)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 解　設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝， (2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. (3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 22