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1、2022高考數學一輪復習 第十一章 概率與統計 11.1 隨機事件及其概率練習 理 (2017課標全國Ⅱ,18,12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下: (1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”,估計A的概率; (2)填寫下面列聯表,并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關; 箱產量<50 kg 箱產量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)

2、根據箱產量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01). 附: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 , K2=. 解析　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”. 由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.04

3、6+0.010+0.008)×5=0.66, 故P(C)的估計值為0.66. 因此,事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.409 2. (2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表 箱產量<50 kg 箱產量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2=≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關. (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中,箱產量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產量低于55 kg的直方圖面積為(0.004+0.020

4、+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值為50+≈52.35(kg). 核心考點 1.頻率分布直方圖; 2.獨立性檢驗; 3.相互獨立事件的概率乘法公式; 4.用樣本的數字特征估計總體的數字特征. 思路分析 (1)由題意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分別求得B,C發(fā)生的頻率,即可求得A的概率; (2)完成2×2列聯表,求得觀測值,與參考值比較,即可求得有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關; (3)根據頻率分布直方圖即可求得其中位數的估計值. 思維拓展 第3問解法二:根據已知數據分析可得中位數一定落在第四組[50,

5、55)中,設中位數是x, 則0.004×5+0.02×5+0.044×5+(x-50)×0.068=0.5,解得x≈52.35,即新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值為52.35 kg. 方法總結 解決統計圖表問題時,應正確理解圖表中各量的意義,通過圖表掌握信息是解決該類問題的關鍵.頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布. 儲備知識 頻率分布直方圖的特征: (1)各小矩形的面積和為1. (2)縱軸的含義為頻率/組距,小矩形的面積=組距×=頻率. (3)樣本數據的平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘其底邊中點的橫坐標之和. (4)眾數的估計值為最高的小矩形的底邊中點的橫坐標.

6、 (5)中位數是把頻率分布直方圖劃分為左、右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標. 命題規(guī)律 1.必考內容:各種統計圖表與概率的有關內容相結合或與統計案例相結合. 2.考查形式:以解答題為主,將統計與概率知識結合起來考查. 3.分值:約12分. 能力要求 1.會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖,會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的數字特征估計總體的數字特征,理解用樣本估計總體的思想; 2.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及其簡單的應用. 考綱解讀 考點 內容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預測熱度 事件與概率

7、 ①了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別; ②了解兩個互斥事件的概率加法公式 掌握 2016北京,16; 2014課標Ⅰ,5 選擇題 解答題 ★★★ 分析解讀　1.了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義.2.了解等可能事件的概率的意義,會用排列、組合的基本公式計算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式計算一些事件的概率是高考的熱點. 五年高考 考點　事件與概率 1.(2014課標Ⅰ,5,5分)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(　　) 　　　　　　

8、 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 2.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為　　　　.? 答案　 3.(2016北京,16,13分)A,B,C三個班共有100名學生,為調查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數據如下表(單位:小時): A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.

9、5 (1)試估計C班的學生人數; (2)從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率; (3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時).這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記為μ1,表格中數據的平均數記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小.(結論不要求證明) 解析　(1)由題意知,抽出的20名學生中,來自C班的學生有8名.根據分層抽樣方法,C班的學生人數估計為100×=40. (2)設事件Ai為“甲是現有樣本中A

10、班的第i個人”,i=1,2,…,5, 事件Cj為“乙是現有樣本中C班的第j個人”, j=1,2,…,8. 由題意可知,P(Ai)=,i=1,2,…,5;P(Cj)=, j=1,2,…,8. P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=×=,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8. 設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(

11、A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×=. (3)μ1<μ0. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎題組 考點　事件與概率 1.(2018江西宜春昌黎實驗學校第二次段考,7)五個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前放著完全相同的硬幣,所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C

12、2.(2017廣東清遠清新一中一模,3)從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球,那么互斥而不對立的兩個事件是(　　) A.至少有1個白球;都是白球 B.至少有1個白球;至少有1個紅球 C.恰有1個白球;恰有2個白球 D.至少有1個白球;都是紅球 答案　C 3.(2017山西運城4月模擬,4)已知五條長度分別為1,3,5,7,9的線段,現從這五條線段中任取三條,則所取三條線段能構成一個三角形的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 4.(2016湖南衡陽八中一模,6)從一箱產品中隨機地抽取一件,設事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品

13、},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為(　　) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 答案　C B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:35分　時間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1.(2017湖南郴州三模,3)從集合A={-2,-1,2}中隨機抽取一個數記為a,從集合B={-1,1,3}中隨機抽取一個數記為b,則直線ax-y+b=0不經過第四象限的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　A 2.(2017東北三省

14、四市二模,8)將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次,事件“至少有一次正面向上”的概率為p,且p≥,則n的最小值為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　A 3.(2016上海二模,16)設M、N為兩個隨機事件,如果M、N為互斥事件,那么(　　) A.∪是必然事件 B.M∪N是必然事件 C.與一定為互斥事件 D.與一定不為互斥事件 答案　A 二、填空題(共5分) 4.(2018安徽皖南八校12月聯考,13)在1,2,3,4,5,6,7,8中任取三個不同的數,取到3的概率為　　　　.? 答案　 三、解答題(共15分) 5.(2018湖北荊州中學第二次月考,18)某

15、影院為了宣傳影片《戰(zhàn)狼Ⅱ》,準備采用以下幾種方式來擴大影響,吸引市民到影院觀看影片,根據以往經驗,預測: ①分發(fā)宣傳單需要費用1.5萬元,可吸引30%的市民,增加收入4萬元; ②網絡上宣傳,需要費用8千元,可吸引20%的市民,增加收入3萬元; ③制作小視頻上傳微信群,需要費用2.5萬元,可吸引35%的市民,增加收入5.5萬元; ④與商場合作需要費用1萬元,購物滿800元者可免費觀看影片(商場購票),可吸引15%的市民,增加收入2.5萬元. 問: (1)在三名觀看影片的市民中,至少有一名是通過微信群宣傳方式被吸引來的概率是多少? (2)影院預計可增加的盈利是多少? 解析　(1)設

16、事件A:不是通過微信宣傳方式被吸引來的觀眾,則P(A)=1-0.35=0.65, 設事件B:三名觀眾中至少有一名是通過微信宣傳方式被吸引的觀眾,則P(B)=1-0.653=0.725 375. (2)增加盈利為(4-1.5)×0.3+(3-0.8)×0.2+(5.5-2.5)×0.35+(2.5-1)×0.15=2.465萬元. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　隨機事件的頻率與概率的常見類型及解題策略 1.(2017廣東韶關六校聯考,18)某商店計劃每天購進某商品若干件,商店每銷售1件該商品可獲利50元.若供大于求,剩余商品全部退回,則每件商品虧損10元;若供不應求

17、,則從外部調劑,此時每件調劑商品可獲利30元. (1)若商店一天購進該商品10件,求當天的利潤y(單位:元)關于日需求量n(單位:件,n∈N)的函數關系式; (2)商店記錄了50天該商品的日需求量(單位:件),整理得下表: 日需求量n 8 9 10 11 12 頻數 10 10 15 10 5 ①假設該店在這50天內每天購進10件該商品,求這50天的日利潤(單位:元)的平均數; ②若該店一天購進10件該商品,記“當天的利潤在區(qū)間[400,550]”為事件A,求P(A)的估計值. 解析　(1)當日需求量n≥10,n∈N時,利潤y=50×10+(n-10)×3

18、0=30n+200; 當日需求量n<10,n∈N時,利潤y=50×n-(10-n)×10=60n-100. 所以利潤y與日需求量n的函數關系式為 y= (2)50天內有10天獲得的利潤為380元,有10天獲得的利潤為440元,有15天獲得的利潤為500元,有10天獲得的利潤為530元,有5天獲得的利潤為560元. ①=476. 故這50天的日利潤的平均數為476元. ②當且僅當日需求量n為9或10或11時,事件A發(fā)生.由所給數據知,當n=9或10或11時的頻率為=0.7.故P(A)的估計值為0.7. 方法2　互斥事件、對立事件的概率問題的解題方法 2.(2017江西七校聯考一模)做一個擲骰子的試驗,事件A表示“小于5的偶數點出現”,事件B表示“小于4的點數出現”,在一次試驗中,事件A+發(fā)生的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C 3.(2017江蘇常州期末,9)男隊有號碼分別為1,2,3的三名乒乓球運動員,女隊有號碼為1,2,3,4的四名乒乓球運動員,現兩隊各出一名運動員比賽一場,則出場的兩名運動員號碼不同的概率為　　　　.? 答案