《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與平面向量 第2講 三角變換、解三角形學(xué)案 文 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與平面向量 第2講 三角變換、解三角形學(xué)案 文 蘇教版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　三角變換、解三角形 [2019考向?qū)Ш絔 考點(diǎn)掃描 三年考情 考向預(yù)測(cè) 2019 2018 2017 1．三角變換與求值 第13題 第16題 第5題 江蘇高考對(duì)于三角恒等變換的命題以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，其中與角所在范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識(shí)結(jié)合為命題的熱點(diǎn)；解三角形與三角函數(shù)、向量交匯的綜合題或?qū)嶋H應(yīng)用題是命題方向． 2．解三角形 第15題 第18題 第13題 1．必記的概念與定理 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． ②cos(α±β)＝cos αc

2、os β?sin αsin β． ③tan(α±β)＝ ． (2)倍角公式 ①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝． 2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論 (1)sin2α＋cos2α＝1的變形： 1＝sin2α＋cos2α；sin2α＝1－cos2α； cos2α＝1－sin2α； sin α＝±；cos α＝±． (2)升(降)冪公式： sin2α＝；cos2α＝； sin αcos α＝sin 2α． (3)輔助角公式： asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(φ

3、由a，b具體的值確定)． (4)正切公式的變形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)． (5)正弦定理的各種形式： 形式一：＝＝＝2R； 形式二：sin A＝；sin B＝；sin C＝；(角到邊的轉(zhuǎn)換) 形式三：a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C；(邊到角的轉(zhuǎn)換) 形式四：S＝absin C＝bcsin A＝acsin B．(求三角形的面積) (6)余弦定理的各種形式： 形式一：a2＝b2＋c2－2bc·cos A，b2＝a2＋c2－2ac·cos B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C； 形式二：co

4、s A＝，cos B＝，cos C＝．(角到邊的轉(zhuǎn)換) 3．需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn) (1)三角變換中經(jīng)常要化復(fù)角為單角，化未知角為已知角．因此看準(zhǔn)角與角的關(guān)系十分重要．哪些角消失了，哪些角變化了，結(jié)論中是哪個(gè)角，條件中有沒(méi)有這些角，在審題中必須認(rèn)真觀察和分析．常見(jiàn)的變角方式有： α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α 可視為的倍角；±α可視為(±2α)的半角等等．當(dāng)然變換形式不唯一，應(yīng)因題而異． (2)解題前要善于分析題目中所給式子的結(jié)構(gòu)，掌握結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，通過(guò)降冪、升冪、常數(shù)代換等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，這是三角變換的重要策略． (3)解三角

5、形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助解題”． 三角變換與求值 [典型例題] (1)(2019·高考江蘇卷)已知＝－，則sin的值是________． (2)(2018·高考江蘇卷)已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－． ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值． 【解】　(1)＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，當(dāng)tan α＝2時(shí)，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此時(shí)sin 2α＋cos 2α＝，同理當(dāng)tan α＝－時(shí)，sin 2α＝－，cos 2α＝，此時(shí)sin 2α＋cos 2

6、α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝． (2)①因?yàn)閠an α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α． 因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－． ②因?yàn)棣粒聻殇J角，所以α＋β∈(0，π)． 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2． 因?yàn)閠an α＝， 所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－． (1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，一般把“所求角”表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式． (2)當(dāng)“已知

7、角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·徐州模擬)已知sin＋cos α＝，則sin的值為_(kāi)_______． [解析] 由條件得sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝． 所以sin＝． [答案] 2．在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是________． [解析] 由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，兩邊同時(shí)除以c

8、os Bcos C得tan B＋tan C＝2tan Btan C，令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以2tan Btan C>2，則tan Btan C>1，m>2．又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m－2＝，即m＝4時(shí)取得等號(hào)， 故tan Atan Btan C的最小值為8． [答案] 8 解三角形 [典型例題] (2019·高考江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c． (1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c

9、的值； (2)若＝，求sin的值． 【解】　(1)因?yàn)閍＝3c，b＝，cos B＝， 由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝． 所以c＝． (2)因?yàn)椋剑? 由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B． 從而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 故cos2B＝． 因?yàn)閟in B>0，所以cos B＝2sin B>0，從而cos B＝． 因此sin＝cos B＝． 解三角形問(wèn)題的求解一般是從兩個(gè)角度來(lái)看，即從“角”或從“邊”進(jìn)行轉(zhuǎn)化突破，實(shí)現(xiàn)“邊”或“角”的統(tǒng)一，問(wèn)題便可突破．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3．(2019·高考江蘇卷)如圖，一

10、個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA，規(guī)劃要求：線段PB，QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測(cè)得AB＝10，AC＝6，BD＝12(單位：百米)． (1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)； (2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由； (3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位：百米)，求當(dāng)d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離． [解] (1)過(guò)A作AE⊥BD，垂足為E．

11、由已知條件得，四邊形ACDE為矩形， DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8． 因?yàn)镻B⊥AB， 所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝． 所以PB＝＝＝15． 因此道路PB的長(zhǎng)為15百米． (2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)(除B，E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求． ②若Q在D處，連結(jié)AD，由(1)知AD＝＝10，從而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD為銳角． 所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑． 因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求． 綜上，P和Q均不能選在D處． (3)先討論點(diǎn)P的位置． 當(dāng)∠OBP<

12、90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求．設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且P1B⊥AB， 由(1)知，P1B＝15，此時(shí)P1D＝P1Bsin∠P1BD ＝P1Bcos∠EBA＝15×＝9； 當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在△PP1B中，PB>P1B＝15． 由上可知，d≥15． 再討論點(diǎn)Q的位置． 由(2)知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求．當(dāng)QA＝15時(shí)，CQ＝ ＝ ＝3．此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓

13、O的半徑． 綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ＝3時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3． 因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17＋3(百米)． 1．(2019·南通市高三模擬)已知sin＝，則sin＋sin2的值為_(kāi)_______． [解析] sin＝sin ＝－sin＝－， sin2＝sin2 ＝cos2＝， 則sin＋sin2＝－＋＝． [答案] 2．(2019·揚(yáng)州模擬)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，則△ABC的形狀為_(kāi)_______． [解析] 由正弦定理＝＝＝2R(R為

14、△ABC外接圓半徑)及已知條件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13， 可設(shè)a＝5x，b＝11x，c＝13x(x>0)． 則cos C＝＝<0， 所以C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形． [答案] 鈍角三角形 3．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(二))若coscos ＝－，α∈，則sin 2α＝________． [解析] coscos＝ ·＝－，則cos 2α＋sin 2α＝－，可得又α∈，解得cos 2α＝－，sin 2α＝． [答案] 4．(2019·無(wú)錫模擬)計(jì)算的值為_(kāi)_______． [解析] ＝ ＝＝＝． [答案] 5．在△ABC中，若

15、tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cos C的值是________． [解析] 由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，則C＝，cos C＝． [答案] 6．(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，則b的值為_(kāi)_______． [解析] 因?yàn)?b＝a＋c，sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，所以ac＝15，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝

16、4． [答案] 4 7．已知cos θ＝－，θ∈(－π，0)，則sin＋cos＝________________________________________________________________________． [解析] 因?yàn)棣取?－π，0)，所以sin θ＝－＝－，因?yàn)閟in θ

17、____． [解析] 由＝，得＝，所以c＝8cos A，因?yàn)?6＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b．因?yàn)閎∈(4，6)，所以32

18、 所以cos A＝，則A＝60°． 由正弦定理得＝，則sin C＝， 又c

19、的值． [解] (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝． (2)由正弦定理知，＝， 所以sin C＝·sin A＝＝． 因?yàn)锳B＜BC，所以C為銳角， 則cos C＝＝ ＝． 因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝． 12．(2019·南通市高三模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab． (1)求角C的大??； (2)若c＝2acos B，b＝2，求△ABC的面積． [解] (1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得＝－，即c

20、os C＝－． 因?yàn)?

21、in＝． 13．(2019·南京市高三年級(jí)第三次模擬考試)已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足acos B＋bcos A＝． (1)求證：A＝C； (2)若b＝2，·＝1，求sin B的值． [解] (1)由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝，即(sin Acos B＋sin Bcos A)cos C＝sin(A＋B)cos C＝sin Ccos A． 因?yàn)锳＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C， 所以sin Ccos C＝sin Ccos A． 因?yàn)镃是△ABC的內(nèi)角，所以sin C≠0，所以cos C＝cos A． 又

22、A，C是△ABC的內(nèi)角，所以A＝C． (2)由(1)知，A＝C，所以a＝c，所以cos B＝＝． 因?yàn)椤ぃ?，所以a2cos B＝a2－2＝1，所以a2＝3． 所以cos B＝． 又B∈(0，π)，所以sin B＝＝． 14．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(四))已知在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且＋＝． (1)證明：cos Acos B＝cos C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan C的值． [解] (1)證明：因?yàn)椋剑? 所以由正弦定理可知＋＝， 即＝＝． 因?yàn)樵凇鰽BC中，sin(A＋B)＝sin C≠0， 所以cos Acos B＝cos C． (2)因?yàn)閎2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理可知cos A＝＝， 因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以sin A＝，tan A＝2． 由cos Acos B＝cos C和A＋B＋C＝π得， cos Acos B＝cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B，所以2cos Acos B＝sin Asin B， 所以tan Atan B＝2，由tan A＝2得，tan B＝， 所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝． - 12 -