《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-2（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標　1.掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.理解復(fù)數(shù)的幾何意義.3.掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)運算． 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)平面：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．x軸叫做實

2、軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)． (5)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (r≥0，r∈R)． 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．復(fù)數(shù)的運算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi

3、)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運算律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?　×　) 2．原點是實軸與虛軸的交點．(　√　) 3．方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　×　) 類型一　復(fù)數(shù)的概念 例1　已知復(fù)數(shù)z＝a2－a－6＋i，分別求出滿足下列條件的實數(shù)a的值： (1)z是

4、實數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是0. 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a2－4≠0，解得a≠±2. (1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0， 得a＝－5或a＝3， ∴當a＝－5或a＝3時，z為實數(shù)． (2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0， 得a≠－5且a≠3且a≠±2， ∴當a≠－5且a≠3且a≠±2時，z是虛數(shù)． (3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，得a＝3， ∴當a＝3時，z＝0. 引申探究　 例1中條件不變，若z為純虛數(shù)，是否

5、存在這樣的實數(shù)a，若存在，求出a，若不存在，請說明理由． 解　由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0， 且a2－4≠0，得a無解， ∴不存在實數(shù)a，使z為純虛數(shù)． 反思與感悟　(1)正確確定復(fù)數(shù)的實、虛部是準確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提． (2)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù)． 跟蹤訓(xùn)練1　復(fù)數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當x為何實數(shù)時：(1)z∈R；(2)z為虛數(shù)． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解　(1)因為一個復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為0， 所以 解

6、得x＝4，所以當x＝4時，z∈R. (2)因為一個復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0， 所以 解得x>且x≠4. 所以當x>且x≠4時，z為虛數(shù)． 類型二　復(fù)數(shù)的四則運算 例2　(1)計算：＋2 018＋； (2)已知z＝1＋i，求的模． 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合運用 題點　復(fù)數(shù)的混合運算 解　(1)原式＝＋1 009＋＝i＋(－i)1 009＋0＝0. (2)＝＝＝1－i， ∴的模為. 反思與感悟　(1)復(fù)數(shù)的除法運算是復(fù)數(shù)運算中的難點，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先應(yīng)該寫成分式的形式，然后再分母實數(shù)化． (2)虛數(shù)單位i的周期性 ①i4n＋1＝i

7、，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)； ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知＝2＋i，則復(fù)數(shù)z等于(　　) A．－1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i 考點　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點　利用定義求共軛復(fù)數(shù) 答案　B 解析　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i. (2)已知z是復(fù)數(shù)，z－3i為實數(shù)，為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)． ①求復(fù)數(shù)z； ②求的模． 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　與混合運算有關(guān)的未知數(shù)求解 解?、僭O(shè)z＝a＋bi(a，b∈R

8、)， ∴由z－3i＝a＋(b－3)i為實數(shù)，可得b＝3. 又∵＝為純虛數(shù)， ∴a＝－1，即z＝－1＋3i. ②＝＝ ＝＝－2＋i， ∴＝|－2＋i|＝＝. 類型三　數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例3　已知復(fù)平面內(nèi)點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點P在直線y＝x上，求θ的值． 考點　分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用 題點　數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 解　(1)由題意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ

9、)i. (2)由(1)知，點P的坐標為(－1，－2sin2θ)． 由點P在直線y＝x上，得－2sin2θ＝－， ∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝. 反思與感悟　根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練3　在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)＋z2對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　運算結(jié)果與點的對應(yīng)關(guān)系 答案　A 解析　∵

10、＋z2＝＋(1＋i)2 ＝＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i， ∴復(fù)數(shù)＋z2對應(yīng)點的坐標為(1,1)， 故在第一象限． 1．設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|等于(　　) A．1 B. C. D．2 考點　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點　利用定義求復(fù)數(shù)的模 答案　B 解析　由已知得x＋xi＝1＋yi，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的條件可得x＝y(tǒng)＝1， 所以|x＋yi|＝|1＋i|＝. 2．若z＝1＋2i，則等于(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　復(fù)數(shù)的混合運算 答案　C 解析?。剑絠.

11、3．復(fù)數(shù)z＝(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，則a等于(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 考點　乘除法的運算法則 題點　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　D 解析　z＝＝ ＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為且在虛軸上，所以2＋a＝0，即a＝－2. 4．設(shè)i是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若 z·i＋2＝2z，則z等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　與混合運算有關(guān)的未知數(shù)求解 答案　A 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi， 所以z·i＋2＝2z，即2＋(a2＋b2

12、)i＝2a＋2bi， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得2＝2a，a2＋b2＝2b， 解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i. 5．若復(fù)數(shù)z滿足|z|－＝，則z＝________. 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　與混合運算有關(guān)的未知數(shù)求解 答案　3＋4i 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a－bi， ∵|z|－＝，∴|z|－＝2＋4i， 則－a＋bi＝2＋4i， ∴解得∴z＝3＋4i. 1．復(fù)數(shù)的四則運算按照運算法則和運算律進行運算，其中除法運算的關(guān)鍵是將分母實數(shù)化． 2．復(fù)數(shù)的幾何意義是數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的一大體現(xiàn)． 3．利用兩個復(fù)數(shù)相等可以解決求參數(shù)值(或取值范圍

13、)和復(fù)數(shù)方程等問題. 一、選擇題 1．i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則(　　) A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S 考點　虛數(shù)單位i及其性質(zhì) 題點　虛數(shù)單位i的運算性質(zhì) 答案　B 2．已知i是虛數(shù)單位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，則等于(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　乘除法的運算法則 答案　D 解析　由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，得m＝1且n＝1. 則＝＝＝i. 3．若a為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，＝2，則a等于(　　) A. B．2 C. D．1 考

14、點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　A 解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai， ∴＝|1－ai|＝＝2， 解得a＝或a＝－(舍)． 4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i為虛數(shù)單位，且兩復(fù)數(shù)的乘積z1z2的實部和虛部為相等的正數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　D 解析　因為z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i] ＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i ＝(2－m)＋(3m－1)i， 所以2－m＝3m－1，即m＝.

15、 經(jīng)檢驗，m＝能使2－m＝3m－1>0， 所以m＝滿足題意． 5．已知復(fù)數(shù)z＝(b∈R)的實部為－1，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)－b在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　運算結(jié)果與點的對應(yīng)關(guān)系 答案　C 解析　z＝＝ ＝＝＋i， 又復(fù)數(shù)z＝(b∈R)的實部為－1， 則＝－1，即b＝6.∴z＝－1＋5i， 則＝－1－5i. 復(fù)數(shù)－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為(－7，－5)，位于第三象限．故選C. 6．設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t

16、∈R，i為虛數(shù)單位，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．z對應(yīng)的點在第一象限 B．z一定不為純虛數(shù) C.對應(yīng)的點在實軸的下方 D．z一定為實數(shù) 考點　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點　復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系 答案　C 解析　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0， ∴z對應(yīng)的點在實軸的上方． 又∵z與對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，∴C正確． 7．復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為(　　) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 考點　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點　利用定義求共軛復(fù)數(shù) 答案　D 解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2

17、＋i， ∴z＝5＋i，∴＝5－i. 二、填空題 8．若復(fù)數(shù)z＝a＋i(a∈R)與它的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量互相垂直，則a＝________. 考點　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點　與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的綜合應(yīng)用 答案　±1 解析?。絘－i，因為復(fù)數(shù)z與它的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1. 9．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，則z的實部為________． 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　1 解析　因為(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其實部為1. 10．在復(fù)平面內(nèi)，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6

18、i(i為虛數(shù)單位)所對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是________． 考點　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點　復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系 答案　(3,4) 解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所對應(yīng)的點在第二象限， ∴解得3

19、)i (a，b∈R，i為虛數(shù)單位)． (1)若z1＝z2，求實數(shù)a，b的值； (2)若b＝1，a＝0，求. 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　復(fù)數(shù)的混合運算 解　(1)復(fù)數(shù)z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i， z2＝3＋(1－a)i， 由z1＝z2，可得解得 所以a＝2，b＝－1. (2)若b＝1，a＝0，則z1＝1＋3i，z2＝3＋i. ＝＝＝2. 13．已知復(fù)數(shù)z1滿足z1(1－i)＝2(i為虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)z2滿足z1＋z2是純虛數(shù)，z1·z2是實數(shù)，求復(fù)數(shù)z2. 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合運用 題點　與混合運算有關(guān)的未知數(shù)求解 解　∵z1

20、(1－i)＝2， ∴z1＝＝＝＝1＋i. 設(shè)z2＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z1＋z2＝1＋a＋(b＋1)i是純虛數(shù)， ∴　∴a＝－1，b≠－1. ∴z1·z2＝(1＋i)(－1＋bi)＝(－1－b)＋(b－1)i， 又z1·z2是實數(shù)，則b－1＝0， ∴b＝1，∴z2＝－1＋i. 四、探究與拓展 14．若a是復(fù)數(shù)z1＝(1－i)(3＋i)的虛部，b是復(fù)數(shù)z2＝的實部，則ab＝________. 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　－ 解析　z1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i， 由a是復(fù)數(shù)z1＝(1－i)(3＋i)的虛部， 得a＝－2. z2＝＝＝＝＋i， 由b是復(fù)數(shù)z2＝的實部，得b＝. 則ab＝－2×＝－. 15．求虛數(shù)z，使z＋∈R，且|z－3|＝3. 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　與混合運算有關(guān)的未知數(shù)求解 解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則 z＋＝a＋bi＋＝＋i. 由z＋∈R，得b－＝0， 又b≠0，故a2＋b2＝9.① 又由|z－3|＝3，得＝3.② 由①②，得 即z＝＋i或z＝－i. 12