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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第6課時(shí) 橢圓（二）練習(xí) 理 1．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，橢圓E的方程為＋＝1. 2．(2018·南昌二模)已知橢圓：＋x2＝1，過點(diǎn)P(，)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為(　　) A．9x－y－4＝0

2、B．9x＋y－5＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B在橢圓＋x2＝1上，所以兩式相減得＋x12－x22＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被點(diǎn)P(，)平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，將其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直線AB的斜率為－9，所以直線AB的方程為y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0. 3．橢圓＋＝1上的點(diǎn)到直線x＋2y－＝0的最大距離是(　　) A．3 B. C．2 D. 答案　D 解析　設(shè)橢圓＋＝1上的點(diǎn)P(4cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P

3、到直線x＋2y－＝0的距離為d＝＝，∴dmax＝＝. 4．(2018·廣東梅州階段測(cè)評(píng))已知橢圓E：＋＝1的一個(gè)頂點(diǎn)C(0，－2)，直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若E的左焦點(diǎn)F1為△ABC的重心，則直線l的方程為(　　) A．6x－5y－14＝0 B．6x－5y＋14＝0 C．6x＋5y＋14＝0 D．6x＋5y－14＝0 答案　B 解析　由題意知F1(－1，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則∴① 設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則M(－，1)． 由作差得＋＝0， 將①代入上式得＝. 即k＝，由點(diǎn)斜式得，直線方程為y－1＝(x＋)，即6x－5y＋14＝0. 5．(

4、2018·廣西南寧、梧州摸底聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若S△ABC＝3S△BCF2，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，將x＝－c代入橢圓方程得y＝±.設(shè)A(－c，)，C(x，y)，由S△ABC＝3S△BCF2，可得＝2，即有(2c，－)＝2(x－c，y)，即2c＝2x－2c，－＝2y，可得x＝2c，y＝－，代入橢圓方程可得＋＝1.由e＝，b2＝a2－c2，得4e2＋－e2＝1

5、，解得e＝，故選A. 6．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)．若向量＝3，則k＝(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)椋?，故y1＝－3y2.因?yàn)閑＝，設(shè)a＝2t，c＝t，b＝t，故x2＋4y2－4t2＝0，直線AB的方程為x＝sy＋t.代入消去x，所以(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，－2y2＝－，－3y22＝－，解得s2＝，又k＝，則k＝.故選B. 7．已知直線l：y＝k(x＋2)與橢圓x2＋9y2＝9交于A

6、，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則k＝________． 答案　± 解析　橢圓x2＋9y2＝9即橢圓＋y2＝1，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0)．因?yàn)橹本€y＝k(x＋2)，所以直線過橢圓的左焦點(diǎn)F(－2，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線y＝k(x＋2)代入橢圓x2＋9y2＝9，可得(1＋9k2)x2＋36k2x＋72k2－9＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝·＝，因?yàn)閨AB|＝2，所以＝2，所以k＝±. 8．直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為_______

7、_． 答案?。? 解析　由點(diǎn)差法可求出k1＝－·， ∴k1·＝－，即k1k2＝－. 9．(2018·河北唐山期末)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為________． 答案?。? 解析　由△F2AB是面積為4的等邊三角形知AB垂直x軸，得＝×2c，×2c×＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所以的橢圓方程為＋＝1. 10．橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2

8、∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 答案　－1 解析　由直線y＝(x＋c)知其傾斜角為60°， 由題意知∠MF1F2＝60°，則∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°. 故|MF1|＝c，|MF2|＝c. 又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a. 即e＝＝－1. 11．已知橢圓＋＝1(0

9、∴|AB|≥2，|AB|min＝＝＝2，解得m＝3. 12．(2018·衡水中學(xué)調(diào)研卷)過橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為________． 答案　(－，0) 解析　設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝(4k2)2－4(1＋2k2)×(2k2－2)＝k2＋1>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，則x1＋x2＝－，y1＋y2＝，∴AB的垂直平分線NG的方程為y－y0＝－(x－x0)

10、．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.∵k≠0，∴－b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若橢圓的離心率e∈[，]，則a的最大值為________． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，可得a2＋b2>1且 ∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0， ∴－＋1＝0，整

11、理得a2＋b2＝2a2b2，a2＋a2－c2＝2a2(a2－c2)， 2a2－a2e2＝2a2(a2－a2e2)，2a2＝＝1＋， ∵e∈[，]，∴2a2∈[，5]，即amax＝＝. 14．已知橢圓C：＋＝1，過橢圓C上一點(diǎn)P(1，)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA，PB，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求直線AB的斜率． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，同時(shí)設(shè)PA的方程為y－＝k(x－1)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，顯然1和x1是這個(gè)方程的兩解．因此x1＝，y1＝，由－k代替x1，y1中的k，得x2＝，y2＝，所以＝. 15．

12、設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求|AB|； (2)若直線l的斜率為1，求實(shí)數(shù)b的值． 答案　(1)　(2) 解析　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝. (2)l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|＝|x

13、2－x1|. 即＝|x2－x1|. 則＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝. 16．(2018·廣東六校聯(lián)盟二聯(lián))已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，直線y＝kx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)． (1)若△AF1F2的周長(zhǎng)為4＋6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若|k|>，且以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍． 答案　(1)＋＝1　(2)

14、 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，易知，AF2⊥BF2. 因?yàn)椋?x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)， 所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0， 即＋9＝0， 將其整理為k2＝＝－1－. 因?yàn)閨k|>，所以12

15、B面積的最大值． 答案　(1)＋y2＝1　(2) 解析　(1)根據(jù)題意得解得 所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. ∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴Δ＝(4m)2－12(2m2－2)>0， 即－

16、， 當(dāng)m2＝，即m＝±∈(－，)時(shí)等號(hào)成立． ∴S△TABmax＝. 1．由橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的頂點(diǎn)B(0，－b)引一條弦BP，當(dāng)a≥b時(shí)，|BP|的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)P(x，y)，因?yàn)閤2＝a2－y2(－b

17、，] B．[，] C．[，1] D．[，2] 答案　A 解析　由題易知A1(－2，0)，A2(2，0)，設(shè)P(x，y)，直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝·＝＝＝－，所以k1＝－×.因?yàn)閗2∈[－2，－1]，所以k1∈[，]，故選A. 3．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，則橢圓在其上一點(diǎn)A(x0，y0)處的切線方程為＋＝1.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題，橢圓C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距為2，且過點(diǎn)(1，)，點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，則△OCD面積的最小值為(　　

18、) A. B. C. D．2 答案　B 解析　由題意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，將點(diǎn)(1，)代入橢圓方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即橢圓的方程為＋y2＝1，設(shè)B(x2，y2)，則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線方程為x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xC＝，所以S△OCD＝··＝，又點(diǎn)B為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，所以x2>0，y2>0，＋y22＝1，即有＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)22＝，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)時(shí)，△OCD面積取得最小值，故選B. 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(2，0)，離心率為，直線y＝k(x－1)與橢

19、圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)求橢圓C的方程； (2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值． 答案　(1)＋＝1　(2)k＝±1 解析　(1)∵a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝. 橢圓C：＋＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由消y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. ∵直線y＝k(x－1)恒過橢圓內(nèi)一點(diǎn)(1，0)， ∴Δ>0恒成立． 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝. S△AMN＝×1×|y1－y2|＝×|kx1－kx2| ＝＝＝. 即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1. 5．(2018·河北保定期末)已知橢圓C：＋＝1(

20、a>b>0)的右焦點(diǎn)為(1，0)，離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點(diǎn)P(0，3)的直線m與C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的方程． 答案　(1)＋＝1　(2)y＝－x＋3或y＝x＋3 解析　(1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)為(1，0)，則c＝1， 由橢圓的離心率e＝＝，得b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)若直線m的斜率不存在，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－)，顯然不滿足條件，故此時(shí)方程不存在． 若直線m的斜率存在， 設(shè)其方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵A

21、是PB的中點(diǎn)，∴x1＝，① y1＝，② ＋＝1，③ ＋＝1，④ 聯(lián)立①②③④，解得或即 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)或(－2，0)， ∴直線m的斜率為－或，則 直線m的方程為y＝－x＋3或y＝x＋3. 6．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是F1(0，－1)，離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過F1作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，求S△ABF2的取值范圍． 答案　(1)＋＝1　(2)(0，] 解析　(1)由條件可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則有c＝1，e＝，∴b＝＝， ∴所求橢圓的方程是＋＝1. (2)由條件設(shè)直線AB的方程為y＋1＝kx

22、. 將y＝kx－1代入橢圓方程，得(2k2＋3)x2－4kx－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16k2＋16(2k2＋3)＝48(k2＋1)>0， x1＋x2＝，x1x2＝. S△ABF2＝|F1F2||x1－x2|＝|x1－x2|. (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋＝. 令t＝k2＋1，則t≥1，設(shè)g(t)＝＝4t＋＋4. ∵g′(t)＝4－＝， 當(dāng)t≥1時(shí)，g′(t)≥0， ∴g(t)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴g(t)≥g(1)＝9，∴0<≤＝， ∴0

23、，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率是，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的任一直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且|NF2|＋|MF2|＝4. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且與圓x2＋y2＝1相切． (ⅰ)求證：m2＝k2＋1； (ⅱ)求·的最小值． 答案　(1)＋＝1　(2)(ⅰ)略　(ⅱ)－ 解析　(1)設(shè)M(x，y)是橢圓上任一點(diǎn)，則N(－x，－y)，∵|NF2|＋|MF2|＝4，∴＋＝4，即＋＝4， ∴M(x，y)到點(diǎn)(c，0)，(－c，0)的距離和為4，∴2a＝4，a＝2. 又∵橢圓C的離心率是，∴c＝1，b＝， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (2)(ⅰ)證明：∵直線l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝1相切，∴圓心(0，0)到直線l的距離等于半徑1，即＝1?m2＝k2＋1. (ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. ∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝. ∵m2＝k2＋1，∴·＝x1x2＋y1y2＝＝－＝－(＋)． ∴當(dāng)k2＝0時(shí)，·有最小值－.