5、三角形的三邊長(zhǎng),則稱函數(shù)f(x)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=xln x+m在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 課時(shí)規(guī)范練15　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的小綜合 1.D　函數(shù)f(x)=(x-3)ex的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,得當(dāng)f'(x)>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時(shí)由不等式f'(x)=(x-2)·ex>0,解得x>2. 2.C　由題圖可知f(0)=d>0,排除選項(xiàng)A,B;∵f'(x)=3ax2+2bx+c, 且由題圖知(-∞,x1), (x2,+∞)是函數(shù)的

6、遞減區(qū)間,可知a<0,排除D.故選C. 3.C　由題意可知f'(x)=-(x-2)+≤0在x∈(1,+∞)上恒成立, 即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立. 由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可. 4.D　∵f(x)=,∴f'(x)=. 令f'(x)=0,解得x=e. 當(dāng)x≥e時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)是減少的;當(dāng)00,此時(shí)f(x)是增加的. ∵b>a>3>e,∴ab>b>>a>e, ∴f(a)>f()>f>f(b)>f(ab).故選D. 5.A　當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x-ln

7、(-x),f'(x)=2-·(-1)=2->0, ∴f(x)在(-∞,0)內(nèi)遞增,則B、D錯(cuò)誤;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x-ln x, f'(x)=2-,則f(x)在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增,故選A. 6.A　f'(x)=x-,且x>0.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0

8、(1,+∞)內(nèi)遞減. ∵當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,∴只需0<2a<1,即00,即1-2x>0,解得00時(shí),令F(x)=, 則F'(x)=<0, ∴當(dāng)x>0時(shí),F(x)=是減少的. ∵f(x)為奇函數(shù),且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0. 在區(qū)間(0,1)內(nèi),F(x)>0; 在 (1,+∞)內(nèi),F(x)<0,即當(dāng)00;

9、 當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0. 又f(x)為奇函數(shù),∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0; 當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)<0. 綜上可知,f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1). 10.解 ∵f(x)=-a2ln x+x2-ax, ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f'(x)=-+2x-a=. ①若a>0,則當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)遞減, 當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)遞增; ②若a=0,則當(dāng)f'(x)=2x>0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,函數(shù)f(x)遞增; ③若a<0,則當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)遞減

10、,當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)遞增. 11.D　由題意知,f'(x)=1-, ∵函數(shù)f(x)=x+(b∈R)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn), ∴當(dāng)1-=0時(shí),b=x2. 又x∈(1,2),∴b∈(1,4),令f'(x)>0,解得x<-或x>, 即f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-),(,+∞). ∵b∈(1, 4),∴(-∞,-2)符合題意,故選D. 12.　對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),不等式恒成立等價(jià)于, ∵x>0,∴f(x)==x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào), ∴f(x)min=f(1)=2, 即, g'(x)=,當(dāng)00,當(dāng)x>1

11、時(shí),g'(x)<0,∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上遞增,在區(qū)間(1,+∞)上遞減,∴g(x)max=g(1)=,∴, ∴,解得k≥. 13.A　設(shè)g(x)=ex[f(x)-1]=exf(x)-ex,則g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]. ∵f(x)+f'(x)>1,∴g'(x)>0,即函數(shù)g(x)是R上的增函數(shù),則g(2)f(x)max時(shí),函數(shù)f(x)就是“三角形函數(shù)”, ∴2>e+m,解得m>e+,故選D.