《（全國通用版）2018-2019版高中數學 第一章 導數及其應用 1.6 微積分基本定理學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2018-2019版高中數學 第一章 導數及其應用 1.6 微積分基本定理學案 新人教A版選修2-2（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 §1.6　微積分基本定理 學習目標　1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會利用微積分基本定理求函數的積分． 知識點一　微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式) 思考　已知函數f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，則?(2x＋1)dx與F(1)－F(0)有什么關系？ 答案　由定積分的幾何意義知，?(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故?(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)． 梳理　(1)微積分基本定理 ①條件：f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，并且F′(x)＝f(x)； ②結論：?f(x)dx＝F(b)－F(a)； ③符號表示：?f(

2、x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)． (2)常見的原函數與被積函數關系 ①?cdx＝cx|(c為常數)． ②?xndx＝(n≠－1)． ③?sin xdx＝－cos x|. ④?cos xdx＝sin x|. ⑤?dx＝ln x|(b>a>0)． ⑥?exdx＝ex|. ⑦?axdx＝(a>0且a≠1)． ⑧?dx＝(b>a>0)． 知識點二　定積分和曲邊梯形面積的關系 思考　定積分與曲邊梯形的面積一定相等嗎？ 答案　當被積函數f(x)≥0恒成立時，定積分與曲邊梯形的面積相等，若被積函數f(x)≥0不恒成立，則不相等． 梳理　設曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，在

3、x軸下方的面積為S下，則 (1)當曲邊梯形在x軸上方時，如圖①，則?f(x)dx＝S上． (2)當曲邊梯形在x軸下方時，如圖②，則?f(x)dx＝－S下． (3)當曲邊梯形在x軸上方，x軸下方均存在時，如圖③，則?f(x)dx＝S上－S下．特別地，若S上＝S下，則?f(x)dx＝0. 1．若F′(x)＝f(x)，則F(x)唯一．(　×　) 2．微積分基本定理中，被積函數f(x)是原函數F(x)的導數．(　√　) 3．應用微積分基本定理求定積分的值時，被積函數在積分區(qū)間上必須是連續(xù)函數．(　√　) 類型一　求定積分 例1　計算下列定積分． (1)?(2x＋ex)

4、dx； (2)?dx； (3) (4)?(x－3)(x－4)dx. 考點　利用微積分基本定理求定積分 題點　利用微積分基本定理求定積分 解　(1)?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)| ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e. (2)?dx ＝(ln x－3sin x)| ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵2 ＝1－2sin cos ＝1－sin x， ∴ ＝－(0＋cos 0)＝－1. (4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴?(x－3)(x－4)dx ＝?(x2－7x＋1

5、2)dx ＝ ＝－0＝. 反思與感悟　(1)當被積函數為兩個函數的乘積或乘方形式時一般要轉化為和的形式，便于求得原函數F(x)． (2)由微積分基本定理求定積分的步驟 第一步：求被積函數f(x)的一個原函數F(x)； 第二步：計算函數的增量F(b)－F(a)． 跟蹤訓練1　計算下列定積分． (1)?dx； (2)； (3)?(1＋)dx. 考點　利用微積分基本定理求定積分 題點　利用微積分基本定理求定積分 解　(1)?dx ＝ ＝－ ＝ln 2－. (2) ＝sin x＝1. (3)?(1＋)dx ＝?(＋x)dx＝ ＝－＝. 例2　(1

6、)若f(x)＝求 (2)計算定積分?|3－2x|dx. 考點　分段函數的定積分 題點　分段函數的定積分 解　(1)＝?x2dx＋ 又因為′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1， 所以原式＝＋(sin x－x) ＝＋－(sin 0－0) ＝－. (2)?|3－2x|dx ＝(3x－x2)＋(x2－3x)＝. 反思與感悟　分段函數定積分的求法 (1)利用定積分的性質，轉化為各區(qū)間上定積分的和計算． (2)當被積函數含有絕對值時，常常去掉絕對值號，轉化為分段函數的定積分再計算． 跟蹤訓練2　(1)?e|x|dx＝________. 考點　分段函數的定積分

7、題點　分段函數的定積分 答案　2e－2 解析　?e|x|dx ＝?e－xdx＋?exdx ＝－e－x|＋ex| ＝－e0＋e1＋e1－e0 ＝2e－2. (2)已知f(x)＝求?f(x)dx. 考點　分段函數的定積分 題點　分段函數的定積分 解　?f(x)dx ＝?(2x＋ex)dx＋?dx ＝(x2＋ex)|＋ ＝(1＋e)－(0＋e0)＋－ ＝e＋－ln 2. 類型二　利用定積分求參數 例3　(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若?f(x)dx＝6，則t＝________. (2)已知2≤?(kx＋1)dx≤4，則實數k的取值范圍為________．

8、考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案　(1)3　(2) 解析　(1)?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3. (2)?(kx＋1)dx＝＝k＋1. 由2≤k＋1≤4，得≤k≤2. 引申探究 1．若將例3(1)中的條件改為?f(x)dx＝f?，求t. 解　由?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t， 又f?＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1. 2．若將例3(1)中的條件改為?f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值． 解　F(t)＝?f(x)dx＝t2－t＝2－(t>0)， 當t＝時

9、，F(t)min＝－. 反思與感悟　(1)含有參數的定積分可以與方程、函數或不等式綜合起來考查，先利用微積分基本定理計算定積分是解決此類綜合問題的前提． (2)計算含有參數的定積分，必須分清積分變量與被積函數f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數F(x)等概念． 跟蹤訓練3　(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝?(1－2x＋2t)dt，則f(x)的值域是________． (2)設函數f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若?f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________． 考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案　(1)[0,2)　

10、(2) 解析　(1)f(x)＝?(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|＝－2x＋2(x∈(0,1])． ∴f(x)的值域為[0,2)． (2)∵?f(x)dx＝?(ax2＋c)dx ＝＝＋c. 又f(x0)＝ax＋c， ∴＝ax，即x0＝或－. ∵0≤x0≤1，∴x0＝. 1．若?dx＝3＋ln 2，則a的值是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案　D 解析　?dx＝?2xdx＋?dx ＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2， 解得a＝2. 2．等于(　　)

11、 A．－ B．－ C. D. 考點　利用微積分基本定理求定積分 題點　利用微積分基本定理求定積分 答案　D 解析　 ＝sin θ＝. 3．設f(x)＝則?f(x)dx等于(　　) A. B. C. D．不存在 考點　分段函數的定積分 題點　分段函數的定積分 答案　C 解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx＝＋＝. 4．已知函數f(x)＝xn＋mx的導函數f′(x)＝2x＋2，則?f(－x)dx＝________. 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 答案　 解析　∵f(x)＝xn＋mx的導函數f′(x)＝2x

12、＋2， ∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2， ∴f(x)＝x2＋2x，則f(－x)＝x2－2x， ∴?f(－x)dx＝?(x2－2x)dx ＝＝9－9－＋1＝. 5．已知f(x)＝計算：?f(x)dx. 解　?f(x)dx 取F1(x)＝2x2－2πx，則F1′(x)＝4x－2π； 取F2(x)＝sin x，則F2′(x)＝cos x. 所以 ＝(2x2－2πx)＋sin x ＝－π2－1， 即?f(x)dx＝－π2－1. 1．求定積分的一些常用技巧 (1)對被積函數，要先化簡，再求積分． (2)若被積函數是分段函數，依據定積分“對區(qū)間的可加性

13、”，分段積分再求和． (3)對于含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值符號才能積分． 2．由于定積分的值可取正值，也可取負值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數對應圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數. 一、選擇題 1．?dx等于(　　) A．e2－ln 2 B．e2－e－ln 2 C．e2＋e＋ln 2 D．e2－e＋ln 2 考點　利用微積分基本定理求定積分 題點　利用微積分基本定理求定積分 答案　D 解析　?＝(ex＋ln x)| ＝(e2＋ln 2)－(e＋ln 1)＝e2－e＋ln 2. 2

14、．若＝2，則實數a等于(　　) A．－1 B．1 C．－ D. 考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案　A 解析　 ＝(－cos x－asin x) ＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2， ∴a＝－1，故選A. 3．若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，則S1，S2，S3的大小關系為(　　) A．S1

15、dx＝ln x|＝ln 2， S3＝?exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)． 又ln 2

16、 ①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx； ②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1； ③f(x)＝x，g(x)＝x2. 其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數的組數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 答案　C 解析　對于①，?sinxcosxdx＝?sin xdx＝0， 所以①是區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數； 對于②，?(x＋1)(x－1)dx＝?(x2－1)dx≠0， 所以②不是區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數； 對于③，?x·x2dx＝?x3dx＝0， 所以③是區(qū)間[－1,1]上的一組正交函

17、數． 6．若f(x)＝x2＋2?f(x)dx，則?f(x)dx等于(　　) A．－ B．－1 C. D．1 考點　利用微積分基本定理求定積分 題點　利用微積分基本定理求定積分 答案　A 解析　∵f(x)＝x2＋2?f(x)dx， ∴?f(x)dx＝ ＝＋2?f(x)dx， ∴?f(x)dx＝－. 二、填空題 7．設f(x)＝則?f(x)dx＝________. 考點　分段函數的定積分 題點　分段函數的定積分 答案　sin 1－ 解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx ＝＋(sin x－x)| ＝＋[(sin 1－1)－(sin 0

18、－0)] ＝sin 1－. 8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若?f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝________. 考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案?。?或 解析　?f(x)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4， 2f(a)＝6a2＋4a＋2， 由題意得6a2＋4a＋2＝4，解得a＝－1或. 9.從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點M(x，y)，則點M取自陰影部分的概率為________． 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 答案　 解析　長方形的面積為S1＝3，S陰＝?3x2dx＝x3|＝1，則P＝＝.

19、10．設f(x)＝若f(f(1))＝1，則a＝____________. 考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案　1 解析　因為x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0. 又當x≤0時，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3， 所以f(0)＝a3. 因為f(f(1))＝1，所以a3＝1， 解得a＝1. 11．設f(x)是一次函數，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，則f(x)的解析式為________． 考點　微積分基本定理的應用 題點　利用微積分基本定理求參數 答案　f(x)＝4x＋3 解析　∵f(x)是一次函數，∴設f(x)

20、＝ax＋b(a≠0)， ∴?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx ＝a＋b＝5， ?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx ＝?(ax2)dx＋?bxdx＝a＋b＝. ∴解得 ∴f(x)＝4x＋3. 12．已知α∈，則當?(cos x－sin x)dx取最大值時，α＝________. 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 答案　 解析　?(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)| ＝sin α＋cos α－1＝sin－1. ∵α∈，則α＋∈， 當α＋＝，即α＝時， sin－1取得最大值． 三、解答題 1

21、3．已知f(x)＝?(12t＋4a)dt，F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx，求函數F(a)的最小值． 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 解　因為f(x)＝?(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)| ＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2， F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx＝?(6x2＋4ax＋a2)dx ＝(2x3＋2ax2＋a2x)| ＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1. 所以當a＝－1時，F(a)取到最小值為1. 四、探究與拓展 14．已知函數f(x)＝則?f(x)dx等于(　　) A. B. C.

22、 D. 考點　分段函數的定積分 題點　分段函數的定積分 答案　B 解析　?f(x)dx＝?(x＋1)2dx＋?dx， ?(x＋1)2dx＝＝， ?dx以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一， 故?dx＝， 故?f(x)dx＝＋＝. 15．已知f′(x)是f(x)在(0，＋∞)上的導數，滿足xf′(x)＋2f(x)＝，且?[x2f(x)－ln x]dx＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當x>0時，證明不等式2ln x≤ex2－2. 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 (1)解　由xf′(x)＋2f(x)＝，得 x2f′(x)＋

23、2xf(x)＝， 即[x2f(x)]′＝， 所以x2f(x)＝ln x＋c(c為常數)， 即x2f(x)－ln x＝c. 又?[x2f(x)－ln x]dx＝1， 即?cdx＝1，所以cx|＝1， 所以2c－c＝1，所以c＝1. 所以x2f(x)＝ln x＋1，所以f(x)＝. (2)證明　由(1)知f(x)＝(x>0)， 所以f′(x)＝＝， 當f′(x)＝0時，x＝，f′(x)>0時，0， 所以f(x)在(0，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減． 所以f(x)max＝?＝， 所以f(x)＝≤， 即2ln x≤ex2－2. 15