6、橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)．
(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(3)當(dāng)Δ<0，即m<－3或m>3時(shí)，方程③沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．
類型二 弦長問題
例2 (2017·寧波檢測)設(shè)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4.
(1)求橢圓M的方程；
(2)若直線y＝x＋m交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P(1，)為橢圓M上一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．
解 (1)
7、由題意可知，雙曲線的離心率為，
則橢圓的離心率e＝＝.
由得a＝2，c＝，b＝，
故橢圓M的方程為＋＝1.
(2)聯(lián)立方程消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)>0，
得－2b>
8、0)，直線l1：－＝1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程．
解 由l1被橢圓C截得的弦長為2，得a2＋b2＝8.
設(shè)l2：y＝(x－c)，代入橢圓C的方程并化簡，得
(b2＋3a2)x2－6a2cx＋a2(3c2－b2)＝0.
設(shè)直線l2與橢圓C交于點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，
x1x2＝，
從而|x1－x2|＝
＝
＝，
則由弦長公式，得|MN|＝·＝.
化簡，得a2＝3b2.
聯(lián)立a2＋b2＝8，a2＝3b2，得a2＝6，b2＝2，
故橢圓C的方程
9、為＋＝1.
類型三 圓錐曲線中的綜合問題
例3 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|·|BM|為定值．
(1)解 由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則＋y＝1.
當(dāng)x0≠0時(shí)，直線PA的方程為y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
從而|B
10、M|＝|1－yM|＝.
直線PB的方程為y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|＝·
＝·
＝
＝＝4.
當(dāng)x0＝0時(shí)，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
∴|AN|·|BM|＝4.
故|AN|·|BM|為定值．
反思與感悟 定值問題類型及常見解法
(1)直線過定點(diǎn)型，一般通過運(yùn)算使直線方程中只含一個(gè)參數(shù)來求定點(diǎn)．
(2)參數(shù)和為定值型，往往把參數(shù)用交點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡為某一常數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練3 橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖，A，
11、B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m－k為定值．
(1)解 因?yàn)閑＝＝，故＝＝1－＝，
所以a＝2b.
再由a＋b＝3，得a＝2，b＝1，
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明 因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)BP的方程為y＝k(x－2).①
將①代入＋y2＝1，解得P.
又直線AD的方程為y＝x＋1，②
①與②聯(lián)立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線可解得N.
所以MN的斜率為m＝，
則2m－k＝－k＝(定值)．
例4 (2017·杭州
12、檢測)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．
解 (1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)直線l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
將y＝kx－2代入＋y2＝1得，
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時(shí)，
x1,2
13、＝.
從而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝，
所以△OPQ的面積
S△OPQ＝d·|PQ|＝.
設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝.
因?yàn)閠＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0，
所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，直線l的方程為
y＝±x－2.
反思與感悟 最值問題的兩種常見求法
(1)數(shù)形結(jié)合法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式(如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時(shí)Δ>0等)，通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍．
(2)目標(biāo)函數(shù)法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)
14、關(guān)系時(shí)，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域，最后確定最值．
跟蹤訓(xùn)練4 已知橢圓＋＝1，動(dòng)直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求△OBC面積的最大值．
解 直線OB的方程為y＝x，即3x－2y＝0，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C且平行于直線OB的直線l′的方程為y＝x＋b，
則當(dāng)l′與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，△OBC的面積最大．
聯(lián)立化為3x2＋3bx＋b2－3＝0，
由Δ＝9b2－12(b2－3)＝0，解得b＝±2.
當(dāng)b＝2時(shí)，C；
當(dāng)b＝－2時(shí)，C.
所以△OBC面積的最大值為××＝.
1．平面上到定點(diǎn)A(1,0)和到定直線l：x＋2y＋3＝0的距離相等的點(diǎn)的軌跡為
15、( )
A．直線B．拋物線C．雙曲線D．橢圓
答案 B
2．一條直線與雙曲線的兩支交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
3．拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
4．若直線ax－y＋1＝0與拋物線y2＝4x有兩交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．
答案 (－∞，0)∪(0,1)
5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2，則該橢圓的方程為________
16、，離心率為________．
答案?。?
1．解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題時(shí)，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個(gè)數(shù)．確定斜率與直線的傾斜角時(shí)，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線和拋物線中，直線和圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切．
2．在探求最值時(shí)，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問題獲解．同時(shí)，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件．
一、選擇題
1．(2017·金華檢測)直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為( )
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
答案 D
17、
2．(2017·臺(tái)州檢測)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
答案 C
3．過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于C，若|AF|＝6，＝λ，則λ的值為( )
A.B.C.D．3
答案 D
4．已知雙曲線－＝1 (b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案
18、D
5．已知雙曲線方程為－＝1，過點(diǎn)(2，0)作直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)A，B，記滿足|AB|＝m的直線l的條數(shù)為f(m)，則f(m)的可能取值為( )
A．0,2,4 B．1,2,3,4
C．0,1,2,3,4 D．2,4
答案 A
6．(2017·金華檢測)過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線AB，CD與拋物線交于A，B，C，D四點(diǎn)，且AB⊥CD，則·＋·的最大值等于( )
A．－4B．－16C．4D．－8
答案 B
二、填空題
7．若斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為________
19、．
答案
8．拋物線焦點(diǎn)在y軸上，截得直線y＝x＋1的弦長為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________，準(zhǔn)線方程為______________．
答案 x2＝4y或x2＝－20y y＝－1或y＝5
9．設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍為________________．
答案 (2,4)
解析 如圖，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
則
兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
當(dāng)l的斜率
20、k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條．
當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2，
則有·＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，
即M必在直線x＝3上．將x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，則有－24(為保證有4條，在k存在時(shí)，y0≠0)，
所以4
21、點(diǎn)，則·＝________.若直線l的傾斜角為45°，則·＝________.
答案?。? 16
三、解答題
11．(2017·紹興檢測)如圖所示，橢圓C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距為2，過點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間，又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且＝λ.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求實(shí)數(shù)λ的值．
解 (1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，M三點(diǎn)共線，
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，顯然AB所在直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4
22、)．
由消去y，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，①
由①的判別式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(64k2－12)
＝144(1－4k2)>0，解得k2<，且
由(x1＋x2)＝＝，可得k2＝，
將k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0，
x1,2＝，
又因?yàn)椋?4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，
＝λ.
所以λ＝，所以λ＝.
12．(2017·溫州檢測)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率e＝，點(diǎn)M為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△MAB面積的最大值是2.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過橢圓C右頂點(diǎn)B的直線l與橢圓
23、的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線段BD的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)P，當(dāng)·＝0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解 (1)由題意可知
解得a＝2，b＝，
所以橢圓方程是＋＝1.
(2)由(1)知B(2,0)，設(shè)直線BD的方程為y＝k(x－2)，
D(x1，y1)，
把y＝k(x－2)代入橢圓方程＋＝1.
整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以2＋x1＝，即x1＝，
則D，
所以BD中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則直線BD的垂直平分線方程為
y－＝－，
得P，又·＝0，
即·＝0，
化簡得＝0，即16k4＋7k2－9＝0，
解得k＝±.
故P或.
13．(2017·紹興檢測)如
24、圖，已知拋物線C1：y＝x2，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
(2)求△PAB的面積．
解 (1)由題意可知，直線PA的斜率存在，故可設(shè)直線PA的方程為y＝k(x－t)，
由消去y整理得
x2－4kx＋4kt＝0.
因?yàn)橹本€PA與拋物線相切，所以Δ＝16k2－16kt＝0，解得k＝t.所以x＝2t，即點(diǎn)A(2t，t2)．
圓C2的圓心為D(0,1)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意知，點(diǎn)B，O關(guān)于直線PD對(duì)稱，故有
解得x0＝，y0＝.
即點(diǎn)B
25、.
(2)由(1)知，|AP|＝t，
直線AP的方程為tx－y－t2＝0，所以點(diǎn)B到直線PA的距離為d＝.
所以△PAB的面積為S＝|AP|·d＝.
四、探究與拓展
14．已知雙曲線x2－＝1，過點(diǎn)P(2,1)作一條直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為________，方程為________________________________．
答案 6 6x－y－11＝0
15．(2017·杭州檢測)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P，過它的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且l1⊥l
26、2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍．
解 (1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c2＝1，故所求橢圓方程為＋＝1.
(2)若l1與l2中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時(shí)四邊形的面積S＝6.
若l1與l2的斜率都存在，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－.
不妨設(shè)直線l1的方程為y＝k(x＋1)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立
消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144k2＋144>0，
x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|x1－x2|＝＝.
|AB|＝|x1－x2|＝.
同理可得|CD|＝，
所以S＝|AB|·|CD|＝，
令k2＝t∈(0，＋∞)，
S＝
＝＝6－
≥6－＝，
故S∈，
綜上可知，四邊形ACBD面積S的取值范圍是.
17
（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1
