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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考試大綱解讀 專題05 立體幾何（含解析）理 考綱原文 （三） 立體幾何初步 1.空間幾何體 (1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu). (2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖. (3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式. (4)會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求). (5)了解球、棱柱、棱錐、

2、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式. 2.點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 (1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理. ? 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi). 公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為 A． B． C． D． 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾

3、何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解． 考向二 球的組合體 樣題4 （2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示： 由題意可得：， 結(jié)合勾股定理，底面半徑，

4、由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B. 【名師點(diǎn)睛】（1）求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. 樣題5 （2017江蘇）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是 . 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為． 【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾

5、何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 考向三 空間線面的位置關(guān)系 樣題6 已知α，β是平面，m、n是直線，給出下列命題： ①若m⊥α，m?β，則α⊥β； ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交； ④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β. 其中命題正確的是__________． 【答案】①④ 樣題7 （2018新課標(biāo)全國Ⅰ理科）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且. （1）證明：平面平面； （2）求與平面所成

6、角的正弦值. 【解析】（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz. 【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

7、 考向四 空間角和距離 樣題8 （2018新課標(biāo)全國Ⅱ理科）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用一個(gè)與原長方體相同的長方體拼到原長方體的前面，如圖，則，連接，易求得，，則是異面直線與所成的角， 由余弦定理可得.故選C. 【名師點(diǎn)睛】平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下： ①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角； ②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角； ③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形； ④取舍：由異面直線所成的角

8、的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍． 樣題9 a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角； ②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角； ③直線AB與a所成角的最小值為45°； ④直線AB與a所成角的最大值為60°. 其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)） 【答案】②③ 【解析】設(shè).由題意，是以AC為軸,BC為底面半徑的圓

9、錐的母線，由，又AC⊥圓錐底面，所以在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作，交底面圓于點(diǎn)D，如圖所示，連接DE，則DE⊥BD，，連接AD，等腰中，,當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，，故，又在中，，過點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連接AF，由圓的對(duì)稱性可知,為等邊三角形，，即AB與b成60°角，②正確，①錯(cuò)誤. 由圖可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，則直線與所成角的最大值為90°，④錯(cuò)誤.故正確的是②③. 【名師點(diǎn)睛】（1）平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下： ①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角； ②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角； ③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形； ④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，可知當(dāng)求出的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角. （2）求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.