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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教B版選修4-4教學(xué)案：第一章 1-3 曲線的極坐標(biāo)方程 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P8] [讀教材·填要點(diǎn)] 1．曲線的極坐標(biāo)方程 在給定的平面上的極坐標(biāo)系下，有一個(gè)二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲線C是由極坐標(biāo)(ρ，θ)滿足方程的所有的點(diǎn)組成的，則稱此二元方程F(ρ，θ)＝0為曲線C的極坐標(biāo)方程． 2．直線的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)直線l過(guò)極點(diǎn)，從極軸到l的角是θ0，則l的方程為θ＝θ0. (2)當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)M(d,0)且垂直于極軸時(shí)，l的方程為ρcos θ＝d. (3)當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)M(d，)，且平行于極軸時(shí)，l的方程為ρsin_θ＝d. (4)極點(diǎn)到直線l

2、的距離為d，極軸到過(guò)極點(diǎn)的直線l的垂線的角度為α，此時(shí)直線l的方程為ρcos_(α－θ)＝d. [小問(wèn)題·大思維] 1．在直角坐標(biāo)系中，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程．那么，在極坐標(biāo)系中，曲線上一點(diǎn)的所有極坐標(biāo)是否一定都適合方程？ 提示：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)的所有坐標(biāo)不一定都適合方程．例如，給定曲線ρ＝θ，設(shè)點(diǎn)P的一極坐標(biāo)為，那么點(diǎn)P適合方程ρ＝θ，從而是曲線上的一個(gè)點(diǎn)，但點(diǎn)P的另一個(gè)極坐標(biāo)就不適合方程ρ＝θ了．所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個(gè)點(diǎn)P是否在某一曲線C上，只需判斷點(diǎn)P的極坐標(biāo)中是否有一對(duì)坐標(biāo)適合曲線C的方程即可．

3、2．在直線的極坐標(biāo)方程中，ρ的取值范圍是什么？ 提示：ρ的取值范圍是全體實(shí)數(shù)． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P8] 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 [例1]　進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化： (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； (3)ρcos2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝. [思路點(diǎn)撥]　本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式． [精解詳析]　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化簡(jiǎn)，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋

4、x2－2x－1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0. 化簡(jiǎn)，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos2＝1， ∴ρ·＝1， 即ρ＋ρcos θ＝2 ∴＋x＝2. 化簡(jiǎn)，得y2＝－4(x－1)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4， 即x2－y2＝4. (5)∵ρ＝， ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2－x＝1. 化簡(jiǎn)，得3x2＋4y2－2x－1＝0. 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相

5、對(duì)困難一些，解此類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn)． 1．求極坐標(biāo)方程ρcos＝1所表示的直角坐標(biāo)方程． 解：將ρcos＝1化為ρcos θ＋ρsin θ＝1. 將ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式，得x＋＝1， 即x＋y－2＝0. 求曲線的極坐標(biāo)方程 [例2]　在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交

6、點(diǎn)． (1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． [思路點(diǎn)撥]　(1)利用兩角差余弦公式展開(kāi)，結(jié)合互化公式可得直角坐標(biāo)方程． (2)先求出P點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再求出OP的極坐標(biāo)方程． [精解詳析]　(1)由ρcos＝1 得ρ＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2. 當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N. (2)∵M(jìn)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)， N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 2．設(shè)M是定圓O內(nèi)一

7、定點(diǎn)，任作半徑OA，連接MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P點(diǎn)的軌跡方程． 解：以O(shè)為極點(diǎn)，射線OM為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖． 設(shè)定圓O的半徑為r，OM＝a，P(ρ，θ)是軌跡上任意一點(diǎn)． ∵M(jìn)P⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝|PA|2. 由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcos θ， |MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ， 由此可得a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2. 整理化簡(jiǎn)，得ρ＝. 求直線的極坐標(biāo)方程 [例3]　求出下列直線的極坐標(biāo)方程： (1)過(guò)定點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且與

8、極軸成α弧度的角； (2)過(guò)定點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且與直線θ＝θ0垂直． [思路點(diǎn)撥]　本題考查直線的極坐標(biāo)方程的求法．解答本題需要根據(jù)已知條件畫(huà)出極坐標(biāo)系，然后借助平面幾何的知識(shí)建立ρ與θ間的關(guān)系． [精解詳析]　(1)設(shè)P(ρ，θ)為直線上任意一點(diǎn)(如圖)，且記∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2， 則∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)． 在△OMP中應(yīng)用正弦定理得 ＝， 即ρ＝ρ0·＝ρ0·. 即直線方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)設(shè)P(ρ，θ)為直線上任意一點(diǎn)(如圖所示)，△OMP為直角三角形，顯然有ρcos (θ－θ0)＝ρ0.這就是所求直

9、線方程． 求直線極坐標(biāo)方程的步驟： (1)設(shè)(ρ，θ)為直線上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)． (2)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件． (3)把上述條件轉(zhuǎn)化為ρ，θ的等式． (4)化簡(jiǎn)整理． 3．求過(guò)A且和極軸所成角為的直線方程． 解：如圖所示，A， 即|OA|＝3，∠AOB＝. 設(shè)M(ρ，θ)為直線上任一點(diǎn)， 由已知得∠MBx＝， ∴∠OAB＝－＝. ∴∠OAM＝π－＝.∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ.在△MOA中，根據(jù)正弦定理，得＝. sin＝sin＝， 將sin展開(kāi)，化簡(jiǎn)上面的方程， 可得ρ(sin θ＋cos θ)＝＋. ∴過(guò)A且和極軸所成角為的直線方程為 ρ(si

10、n θ＋cos θ)＝＋. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P10] 一、選擇題 1．極坐標(biāo)方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲線是(　　) A．余弦曲線　　　　　　　　 B．兩條相交直線 C．一條射線 D．兩條射線 解析：選D　∵cos θ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝表示兩條射線． 2．在極坐標(biāo)系中與曲線C：ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2 C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin 解析：選A　ρ＝4sin θ的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程為x＝2，圓

11、x2＋(y－2)2＝4與直線x＝2顯然相切． 3．直線θ＝α和直線ρsin(θ－α)＝1的位置關(guān)系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 解析：選B　直線θ＝α化為直角坐標(biāo)方程為y＝xtan α，ρsin(θ－α)＝1化為ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtan α＋.所以兩直線平行． 4．過(guò)點(diǎn)A(5,0)和直線θ＝垂直的直線的極坐標(biāo)方程是(　　) A．ρsin＝5 B．ρcos＝ C．ρsin＝ D．ρsin＝ 解析：選C　直線θ＝即直線y＝x，∴過(guò)點(diǎn)A(5,0)和直線θ＝垂直的直線方程為y＝－x＋5，其極坐標(biāo)方程為

12、ρsin＝. 二、填空題 5．在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點(diǎn)到直線l的距離為_(kāi)_______． 解析：將直線l的極坐標(biāo)方程ρsin θ＝3化為直角坐標(biāo)方程為y＝3，點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中為(，1)，故點(diǎn)到直線l的距離為2. 答案：2 6．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4被直線θ＝分成兩部分的面積之比是________． 解析：∵直線θ＝過(guò)圓ρ＝4的圓心，∴直線把圓分成兩部分的面積之比是1∶1. 答案：1∶1 7．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin

13、θ， 其普通方程為x2＋y2＝2y. ρcos θ＝－1的普通方程為x＝－1. 聯(lián)立解得 點(diǎn)(－1,1)的極坐標(biāo)為. 答案： 8．在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(1，)，點(diǎn)B在直線l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是________． 解析：將ρcos θ＋ρsin θ＝0化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0，點(diǎn)A化為直角坐標(biāo)得A(0,1)．如圖，過(guò)A作AB⊥直線l于B.因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形，又因?yàn)閨OA|＝1， 則|OB|＝，θ＝，故B點(diǎn)的極坐標(biāo)是B. 答案： 三、解答題 9．求過(guò)(－2,3)點(diǎn)且斜率為2的直線的極坐標(biāo)方程． 解：由題意知，

14、直線的直角坐標(biāo)方程為y－3＝2(x＋2)， 即2x－y＋7＝0. 設(shè)M(ρ，θ)為直線上任意一點(diǎn)， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐標(biāo)方程 2x－y＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0. 這就是所求的極坐標(biāo)方程． 10．在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝10cos θ和直線l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A，B兩點(diǎn)，求線段|AB|的長(zhǎng)． 解：分別將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程： 圓C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圓心C(5,0)． 直線l：3x－4y－30＝0. 因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝＝3， 所以

15、|AB|＝2＝8. 11．如圖，點(diǎn)A在直線x＝4上移動(dòng)，△OPA為等腰直角三角形，△OPA的頂角為∠OPA(O，P，A依次按順時(shí)針?lè)较蚺帕?，求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷軌跡形狀． 解：取O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線x＝4的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. 設(shè)A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)． ∵點(diǎn)A在直線ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ0＝4.① ∵△OPA為等腰直角三角形，且∠OPA＝， 而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝， ∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.② 把②代入①，得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為 ρcos＝4. 由ρcos＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4. ∴點(diǎn)P軌跡的普通方程為x＋y＝4，是過(guò)點(diǎn)(4,0)且傾斜角為的直線．