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專題四　規(guī)律探索題 類型一 數(shù)式規(guī)律探索 (2017安徽)【閱讀理解】我們知道，1＋2＋3＋…＋n＝，那么12＋22＋32＋…＋n2結(jié)果等于多少呢？ 在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2＋2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n＋n＋…＋nn個(gè)n ，即n2.這樣，該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12＋22＋32＋…＋n2. 圖1 圖2 【規(guī)律探究】 將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)[如第(n－1)行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n－1，2，n]，發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為________，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________． 【解決問題】 根據(jù)以上信息發(fā)現(xiàn)，計(jì)算： 的結(jié)果為________． 【分析】 第一空只需將n－1，2，n相加即可，∵每個(gè)三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈，而每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為2n＋1，∴三個(gè)三角形數(shù)陣中所有圓圈中數(shù)的總和為(2n＋1)，從而第二空，第三、四空易求． 【自主解答】 【方法點(diǎn)撥】解決規(guī)律探究型問題的一般思路是通過對(duì)所給的具體結(jié)論進(jìn)行全面、細(xì)致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并猜想出一般性結(jié)論，其中關(guān)于等式的規(guī)律探索：用含字母的代數(shù)式進(jìn)行歸納，注意字母往往還具有反映等式序號(hào)的作用． 1．(2019合肥二模)觀察下列等式： 第1個(gè)等式：＝3，第2個(gè)等式：＝6，第3個(gè)等式：＝9，第4個(gè)等式：＝12，按照以上規(guī)律，解決下列問題： (1)寫出第5個(gè)等式：________； (2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________(用含n的等式表示)，并證明． 2．(2019淮北市濉溪縣二模)觀察下列式子： 02＋1＝12……① 13＋1＝22……② 24＋1＝32……③ 35＋1＝42……④ …… (1)第⑤個(gè)式子是________，第⑩個(gè)式子是________； (2)請(qǐng)用含n(n為正整數(shù))的式子表示上述規(guī)律，并證明． 3．(2019合肥包河區(qū)一模)楊輝是我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和教育家，如圖是楊輝在公元1261年的著作《詳解九章算法》里面的一張圖，即“楊輝三角”，該圖中有很多規(guī)律，請(qǐng)仔細(xì)觀察，解答下列問題： (1)圖中給出了七行數(shù)字，根據(jù)構(gòu)成規(guī)律，第9行中從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是________； (2)第n行中從左邊數(shù)第2個(gè)數(shù)為________；第n行中所有數(shù)字之和為________． 4．(2019安徽) 觀察以下等式： 第1個(gè)等式：＝＋， 第2個(gè)等式：＝＋， 第3個(gè)等式：＝＋， 第4個(gè)等式：＝＋， 第5個(gè)等式：＝＋， …… 按照以上規(guī)律，解決下列問題： (1)寫出第6個(gè)等式：________； (2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________(用含n的等式表示)，并證明． 5．(2019全椒縣一模)已知下列等式： ①(3＋1)2－(3－1)2＝431； ②(5＋3)2－(5－3)2＝453； ③(7＋5)2－(7－5)2＝475； ④(9＋7)2－(9－7)2＝497. …… (1)請(qǐng)仔細(xì)觀察，寫出第5個(gè)式子； (2)寫出第n個(gè)式子，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)說明第n個(gè)等式成立． 類型二 圖形規(guī)律探索 (2016安徽)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空： 圖1 (2)觀察下圖，根據(jù)(1)中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空： 圖2 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________. 【分析】 (1)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果不難填空；(2)先判斷圖中第(n＋1)行的黑球的個(gè)數(shù)，然后運(yùn)用倒序相加法求出1＋3＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)的和即可完成填空． 【自主解答】 【方法點(diǎn)撥】對(duì)于圖形規(guī)律探索題常按以下步驟操作：①寫序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，…，n”；②數(shù)圖形的個(gè)數(shù)：在圖形數(shù)量變化時(shí)，要標(biāo)記出每組圖形表示的個(gè)數(shù)；③尋找圖形數(shù)量與序號(hào)n的關(guān)系：在尋找第n個(gè)圖形表示的數(shù)量時(shí)，先將后一個(gè)圖形表示的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形表示的個(gè)數(shù)進(jìn)行比對(duì)，通過作差(商)來觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個(gè)圖形的個(gè)數(shù)；④驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確． 1．(2019甘肅改編)如圖，每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)菱形，第2幅圖中有3個(gè)菱形，第3幅圖中有5個(gè)菱形，……. (1)第5幅圖中有________個(gè)菱形，第n幅圖中有 ________個(gè)菱形； (2)如果第n幅圖中有2 019個(gè)菱形，求n. 2．(2018黔南州)“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，…….按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)． 我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同(如圖)，這樣圖1中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是61＝6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是62＝12個(gè)；圖3中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是63＝18個(gè)；……所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是________、________． 請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊，再完成以下問題： (1)第5個(gè)點(diǎn)陣中有________個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有____________________個(gè)圓圈． (2)小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣． 3．(2019瑤海區(qū)一模)下列每一幅圖都是由白色小正方形和黑色小正方形組成． (1)第10幅圖中有________個(gè)白色小正方形， ________個(gè)黑色小正方形； (2)第n個(gè)圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個(gè)數(shù)總和等于________(用n表示，n是正整數(shù))． 4．(2019合肥市長(zhǎng)豐縣模擬)用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按下圖方式拼正方形． 第①個(gè)圖形中有1個(gè)正方形； 第②個(gè)圖形中有1＋3＝4個(gè)小正方形； 第③個(gè)圖形中有1＋3＋5＝9個(gè)小正方形； 第④個(gè)圖形中有________個(gè)小正方形(直接寫出結(jié)果)； (1)根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝ ________(用含n的代數(shù)式表示)； (2)請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：①1＋3＋5＋7＋…＋99＝________； ②101＋103＋105＋…＋199＝________． 5．(2019蕪湖縣二模)如圖，正方形ABCD內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊)： 　　　　 (1)填寫下表： 正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù) 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的個(gè)數(shù) 4 6 __ __ … __ (2)原正方形能否被分割成2 016個(gè)三角形？若能，求此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由． 6．(2019蕪湖二模)某廣場(chǎng)用如圖1所示的同一種地磚拼圖案，第一次拼成圖案如圖2所示，共用地磚4塊；第二次拼成的圖案如圖3所示，共用地磚4＋24＝12塊；第三次拼成的圖案如圖4所示，共用地磚4＋24＋26＝24塊，…… (1)直接寫出第四次拼成的圖案共用地磚________塊； (2)按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，求第n次拼成的圖案共用地磚的數(shù)量(先用含n的式子表示，后化簡(jiǎn))． 7．(2019南陵縣一模)【問題背景】在△ABC內(nèi)部，有點(diǎn)P1，可構(gòu)成3個(gè)不重疊的小三角形(如圖1)． 【探究發(fā)現(xiàn)】當(dāng)△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)(如圖1～3)，探究三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)情況． (1)填表： 三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)n 1 2 3 4 … 不重疊三角形個(gè)數(shù)S __ __ __ __ … (2)當(dāng)△ABC內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)(P1，P2，…，Pn)時(shí)，三角形內(nèi)不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)S＝2 019，求n的值． 8．(2019安徽模擬)如圖，是由邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的幾何圖形，Sn(n≥1)表示第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)． (1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空： 圖1 圖2 (2)根據(jù)(1)中的兩個(gè)結(jié)論填空： S12＝________，Sn＝________(用含有n的代數(shù)式表示)． 參考答案 【專題類型突破】 類型一 【例1】 [規(guī)律探究]每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n－1＋2＋n＝2n＋1， ∵每個(gè)三角形數(shù)陣中共有1＋2＋3＋…＋n＝個(gè)圓圈， ∴三個(gè)空依次填2n＋1；；. [解決問題]　1 345 跟蹤訓(xùn)練 1．解：(1)＝15 (2)＝3n 證明：等式左邊＝＝＝＝3n＝等式右邊． 2．解：(1)46＋1＝52　911＋1＝102 (2)第n個(gè)式子為(n－1)(n＋1)＋1＝n2， 證明：∵左邊＝n2－1＋1＝n2， 右邊＝n2， ∴左邊＝右邊， 即(n－1)(n＋1)＋1＝n2. 3．解：(1)56 (2)n－1　2n－1 [解法提示]設(shè)第 n 行第 2 個(gè)數(shù)為 an(n≥2，且n 為正整數(shù))，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∵a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝4，a6＝5, ∴an＝n－1；∵第 1 行數(shù)字之和 1＝20，第 2 行數(shù)字之和 2＝21，第 3 行數(shù)字之和 4＝22，第 4 行數(shù)字之和 8＝23，∴第 n 行數(shù)字之和為 2n－1. 4. 解：(1)第6個(gè)等式：＝＋ (2)＝＋ 證明：∵右邊＝＋＝＝＝左邊，∴等式成立． 5．解：(1)第5個(gè)式子為：(11＋9)2－(11－9)2＝4119. (2)第n個(gè)式子：[(2n＋1)＋(2n－1)]2－[(2n＋1)－(2n－1)]2＝4(2n＋1)(2n－1)， 證明：左邊＝(4n)2－22＝4[(2n)2－12]＝4(2n＋1)(2n－1)＝右邊，等式成立． 類型二 【例2】 (1)42　n2 (2)2n＋1　2n2＋2n＋1 [解法提示]由(1)可知題圖中第(n＋1)行的黑球個(gè)數(shù)為2n＋1；1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1. 跟蹤訓(xùn)練 1．解：(1)9　(2n－1) (2)2n－1＝2 019，n＝1 010. 2．解：60　6n (1)61　3n2－3n＋1 (2)依題意得3n2－3n＋1＝271， 解得n1＝10，n2＝－9(不合題意，舍去)． 所以小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，是第10個(gè)點(diǎn)陣． 3．解：(1)100　 40 (2)n2＋4n [解法提示]第1個(gè)圖形：白色小正方形1個(gè)，黑色小正方形41＝4個(gè)，共有1＋4＝5個(gè)； 第2個(gè)圖形：白色小正方形22＝4個(gè)，黑色小正方形42＝8個(gè)，共有4＋8＝12個(gè)； 第3個(gè)圖形：白色小正方形33＝9個(gè)，黑色小正方形43＝12個(gè)，共有9＋12＝21個(gè)； …… 第n個(gè)圖形：白色小正方形n2個(gè)，黑色小正方形4n個(gè)，共有n2＋4n個(gè)． 4．解：25 (1)n2 (2)①2 500?、? 500 5．解：(1)8　10　2(n＋1) (2)能 設(shè)點(diǎn)數(shù)為n， 則2(n＋1)＝2 016， 解得n＝1 007. 答：原正方形能被分割成2 016個(gè)三角形，此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有1 007個(gè)點(diǎn)． 6．解：(1)40 (2)第一次拼成如圖1所示的圖案共用4塊地磚，4＝2(12)， 第二拼成如圖2所示的圖案共用12塊地磚，12＝2(23)， 第三次拼成如圖3所示的圖案共用24塊地磚，24＝2(34)， 第四次拼成如圖4所示的圖案共用40塊地磚，40＝2(45)， ...... 第n次拼成的圖案共用2n(n＋1)＝2(n2＋n)塊地磚． 7．解：(1)3　5　7　9 (2)圖1中，當(dāng)△ABC內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成3個(gè)互不重疊的小三角形； 圖2中，當(dāng)△ABC內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成5個(gè)互不重疊的小三角形； 圖3中，當(dāng)△ABC內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成7個(gè)互不重疊的小三角形； 當(dāng)△ABC內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分割成9個(gè)互不重疊的小三角形； ...... 根據(jù)以上規(guī)律，當(dāng)△ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)(P1，P2，…，Pn)時(shí)，可以把△ABC分割成S＝2n＋1個(gè)互不重疊的小三角形， 當(dāng)S＝2 019時(shí)，2n＋1＝2 019， ∴n＝1 009. 8．解：(1)n　n2 (2)78　 [解法提示]由Sn－Sn－1＝n，Sn＋Sn－1＝n2，得 S12－S11＝12，S12＋S11＝122， 2S12＝12＋122＝156， ∴S12＝78. ∵Sn－Sn－1＝n，Sn＋Sn－1＝n2， ∴2Sn＝n2＋n， ∴Sn＝.