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1、2022年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練15 直線與圓 文 1.圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為(　　) A.1 B.2 C. D.2 2.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為(　　) A. B. C. D. 3.直線y=kx+3與圓(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥2,則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 4.過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|=(　　) A.2 B.8 C.4 D.10

2、5.(2018全國Ⅰ,文15)已知直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=　　　　　.? 6.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是　　　　　,半徑是　　　　　.? 7.若直線=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為　　　　　.? 8.已知P是拋物線y2=4x上的動點,過P作拋物線準線的垂線,垂足為M,N是圓(x-2)2+(y-5)2=1上的動點,則|PM|+|PN|的最小值是　　　　　.? 9.在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線x-y=4相切. (1)求☉O的方程; (

3、2)若☉O上有兩點M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程; (3)設(shè)☉O與x軸相交于A,B兩點,若圓內(nèi)的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍. 10. 已知☉O:x2+y2=4,點A(,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于☉O,記點B的軌跡為Γ. (1)求曲線Γ的方程; (2)直線AB交☉O于C,D兩點,當B為CD的中點時,求直線AB的方程. 11.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與☉C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點. (1)求k的取值范圍; (2)若=12,其中O為坐標原點,求|M

4、N|. 二、思維提升訓練 12.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(　　) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 13.(2018全國Ⅲ,文8)已知直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(　　) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] 14.在平面直角坐標系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若≤20,則點P

5、的橫坐標的取值范圍是　　　　　.? 15.在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P';當P是原點時,定義P的“伴隨點”為它自身.現(xiàn)有下列命題: ①若點A的“伴隨點”是點A',則點A'的“伴隨點”是點A; ②單位圓上的點的“伴隨點”仍在單位圓上; ③若兩點關(guān)于x軸對稱,則它們的“伴隨點”關(guān)于y軸對稱; ④若三點在同一條直線上,則它們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是　　　　　.(寫出所有真命題的序號)? 16. 在平面直角坐標系xOy中,已知☉C1:(x+3)2+(y-1)2=4和☉C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直線l過點A

6、(4,0),且被☉C1截得的弦長為2,求直線l的方程; (2)設(shè)P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與☉C1和☉C2相交,且直線l1被☉C1截得的弦長與直線l2被☉C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標. 17. 如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4). (1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程; (3)設(shè)點T(t,0)

7、滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍. 專題能力訓練15　直線與圓 一、能力突破訓練 1.C　解析 由題意可知圓心坐標為(-1,0),故圓心到直線y=x+3的距離d=,故選C. 2.B　解析 由題意知,△ABC外接圓的圓心是直線x=1與線段AB垂直平分線的交點,設(shè)為P,而線段AB垂直平分線的方程為y-,它與x=1聯(lián)立得圓心P坐標為,則|OP|=. 3.B　解析 當|MN|=2時,在弦心距、半徑和半弦長構(gòu)成的直角三角形中,可知圓心(1,-2)到直線y=kx+3的距離為=1,即=1,解得k=-.若使|MN|≥2,則k≤-. 4.C　解析 設(shè)圓的方程為x2+y2+D

8、x+Ey+F=0,將點A,B,C代入,得解得 則圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0得y2+4y-20=0, 設(shè)M(0,y1),N(0,y2),則y1,y2是方程y2+4y-20=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|==4. 5.2　解析 圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=, 所以弦長|AB|=2=2=2. 6.(-2,-4)　5　解析 由題意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.當a=-1時,方程為x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2

9、)2+(y+4)2=25,故圓心為(-2,-4),半徑為5;當a=2時,方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,+(y+1)2=-不表示圓. 7.8　解析 ∵直線=1過點(1,2), ∴=1. ∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8. 當且僅當b=2a時“=”成立. 8.-1　解析 拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),圓(x-2)2+(y-5)2=1的圓心為C(2,5),根據(jù)拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離,進而推斷出當P,C,F三點共線時,點P到點C的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值為|FC|=,故|PM|+|PN|的最小值是

10、|FC|-1=-1. 9.解 (1)依題意,☉O的半徑r等于原點O到直線x-y=4的距離, 即r==2.所以☉O的方程為x2+y2=4. (2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0. 則圓心O到直線MN的距離d=. 由垂徑定理,得+()2=22,即m=±. 所以直線MN的方程為2x-y+=0或2x-y-=0. (3)設(shè)P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列, 得=x2+y2, 即x2-y2=2. 因為=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1), 且點P在☉O內(nèi),所以由此得y2<1. 所以的取值

11、范圍為[-2,0). 10. 解 (1)設(shè)AB的中點為M,切點為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4. 取A關(guān)于y軸的對稱點A',連接A'B,則|A'B|=2|OM|, 所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|. 所以點B的軌跡是以A',A為焦點,長軸長為4的橢圓.其中,a=2,c=,b=1,故曲線Γ的方程為+y2=1. (2)因為B為CD的中點,所以O(shè)B⊥CD, 則.設(shè)B(x0,y0), 則x0(x0-)+=0. 又=1, 解得x0

12、=,y0=±. 則kOB=±,kAB=?,則直線AB的方程為y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0. 11.解 (1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1. 因為l與C交于兩點,所以<1. 解得

13、,所以|MN|=2. 二、思維提升訓練 12.B　解析 圓M的方程可化為x2+(y-a)2=a2,故其圓心為M(0,a),半徑R=a. 所以圓心到直線x+y=0的距離d=a. 所以直線x+y=0被圓M所截弦長為2=2a, 由題意可得a=2,故a=2. 圓N的圓心N(1,1),半徑r=1. 而|MN|=, 顯然R-r<|MN|

14、]　解析 設(shè)P(x,y),由≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20. 把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由可得 由2x-y+5≤0表示的平面區(qū)域及P點在圓上,可得點P在圓弧EPF上,所以點P橫坐標的取值范圍為[-5,1]. 15.②③　解析 對于①,若令P(1,1),則其伴隨點為P',而P'的伴隨點為(-1,-1),而不是P,故①錯誤;對于②,令單位圓上點的坐標為P(cos x,sin x),其伴隨點為P'(sin x,-cos x)仍在單位圓上,所以②正確;③設(shè)A(x,y)與B(x,-y)為關(guān)于x軸對稱的兩點,則A的“伴隨點”為A',B

15、點的伴隨點為B',A'與B'關(guān)于y軸對稱,故③正確;對于④,取直線l:y=1. 設(shè)其“伴隨曲線”為C,其上任一點M(x,y), 與其對應(yīng)的直線l上的點為N(t,1). 則由定義可知 ①2+②2得x2+y2==x, 整理得x2+y2-x=0,顯然不是一條直線. 故④錯誤.所以正確的序號為②③. 16.解 (1)設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂徑定理,得圓心C1到直線l的距離d==1. 由點到直線距離公式,得=1,化簡,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-. 當k=0時,直線l的方程為y=0; 當k=-時,直線l的方程為y=-(x-4),即7x+

16、24y-28=0. 故所求直線l的方程為y=0或7x+24y-28=0. (2)設(shè)點P坐標為(m,n),直線l1,l2的方程分別為y-n=k(x-m)和y-n=-(x-m), 即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0. ∵直線l1被☉C1截得的弦長與直線l2被☉C2截得的弦長相等,兩圓半徑相等, ∴由垂徑定理得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等. ∴, 化簡,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5. ∵關(guān)于k的方程有無窮多解, ∴ 解得 故點P坐標為. 17.解 圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,

17、7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0). 因為圓N與x軸相切,與圓M外切, 所以0