《（全國通用版）2018-2019版高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入 3.2 復數代數形式的四則運算 3.2.2 復數代數形式的乘除運算學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2018-2019版高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入 3.2 復數代數形式的四則運算 3.2.2 復數代數形式的乘除運算學案 新人教A版選修2-2（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 3.2.2　復數代數形式的乘除運算 學習目標　1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算.2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.3.理解共軛復數的概念． 知識點一　復數的乘法及其運算律 思考　怎樣進行復數的乘法運算？ 答案　兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要把已得結果中的i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并即可． 梳理　(1)復數的乘法法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數，那么它們的積 (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)復數乘法的運算律 對于任意z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1z2＝z2z1

2、 結合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知識點二　共軛復數 當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，z的共軛復數用表示．即z＝a＋bi，則＝a－bi. 知識點三　復數的除法法則 思考　類比根式除法的分母有理化，比如＝，你能寫出復數的除法法則嗎？ 答案　設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 則＝＝＋i. 1．復數加減乘除的混合運算法則是先乘除，再加減．(　√　) 2．兩個共軛復數的和與積是實數．(　√　) 3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，則z1＝z2＝

3、0.(　×　) 類型一　復數代數形式的乘除運算 例1　計算： (1)(1＋i)； (2)； (3). 考點　復數的乘除法運算法則 題點　乘除法的運算法則 解　(1)(1＋i) ＝(1＋i) ＝(1＋i) ＝＋i ＝－＋i. (2)＝ ＝＝＝＋i. (3)＝ ＝＝ ＝＝＝1－i. 反思與感悟　(1)按照復數的乘法法則，三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算，混合運算和實數的運算順序一致，在計算時，若符合乘法公式，則可直接運用公式計算． (2)根據復數的除法法則，通過分子、分母都乘以分母的共軛復數，使“分母實數化”，這個過程與“分母

4、有理化”類似． 跟蹤訓練1　計算： (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)＋； (3). 考點　復數的乘除法運算法則 題點　乘除法的運算法則 解　(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)＋ ＝＋＝i－i＝0. (3)＝ ＝＝ ＝＝＝－1＋i. 類型二　i的運算性質 例2　計算：(1)＋2 016； (2)i＋i2＋…＋i2 017. 考點　虛數單位i及其性質 題點　虛數單位i的運算性質 解　(1)原式＝＋

5、1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008 ＝i－1＋i4×252 ＝i－1＋1 ＝i. (2)方法一　原式＝＝ ＝＝ ＝＝＝i. 方法二　因為in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)， 所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017 ＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i. 反思與感悟　(1)等差、等比數列的求和公式在復數集C中仍適用，i的周期性要記熟，即in＋in＋1＋in

6、＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)記住以下結果，可提高運算速度 ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②＝－i，＝i； ③＝－i. 跟蹤訓練2　(1)2 017＝________. 考點　虛數單位i及其性質 題點　虛數單位i的運算性質 答案　i 解析　2 017＝2 017＝2 017 ＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i. (2)化簡i＋2i2＋3i3＋…＋100i100. 考點　虛數單位i及其性質 題點　虛數單位i的運算性質 解　設S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，① 所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i1

7、01，② ①－②得 (1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101 ＝－100i101＝0－100i＝－100i. 所以S＝＝＝ ＝50－50i. 所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i. 類型三　共軛復數及其應用 例3　把復數z的共軛復數記作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z. 考點　共軛復數的定義與應用 題點　利用定義求共軛復數 解　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi， 由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i， 由復數相等的定義知，得a＝2，b＝1， 所以z＝2＋i. 引申探究　 例

8、3條件改為(z＋2)＝4＋3i，求z. 解　設z＝x＋yi(x，y∈R)．則＝x－yi， 由題意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i. 得 解得或 所以z＝－i或z＝－i. 反思與感悟　當已知條件出現復數等式時，常設出復數的代數形式，利用復數相等的充要條件轉化為實數問題求解． 跟蹤訓練3　已知復數z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數，求z的共軛復數. 考點　共軛復數的定義與應用 題點　利用定義求共軛復數 解　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝＝1， 即a2＋b2＝1.① 因為(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i是純

9、虛數，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.② 由①②聯立，解得或 所以＝－i或＝－＋i. 1．設復數z滿足iz＝1，其中i為虛數單位，則z等于(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 考點　復數的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復數中的未知數 答案　A 解析　z＝＝－i. 2．若z＝4＋3i(i為虛數單位)，則等于(　　) A．1 B．－1 C.＋i D.－i 考點　復數的乘除法運算法則 題點　乘除法的運算法則 答案　D 解析　z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i. 3．已知＝1＋i(i為虛數單位)，則復數z等于(　　) A．1＋i

10、 B．1－i C．－1＋i D．－1－i 考點　復數四則運算的綜合應用 題點　復數的混合運算 答案　D 解析　因為＝1＋i， 所以z＝＝＝＝－1－i. 4．設i是虛數單位，是復數z的共軛復數，若z＝，則＝________. 考點　共軛復數的定義與應用 題點　利用定義求共軛復數 答案?。?＋i 解析　z＝＝＝－1－i， 所以＝－1＋i. 5．已知復數z滿足：z·＋2zi＝8＋6i，求復數z的實部與虛部的和． 考點　共軛復數的定義與應用 題點　與共軛復數有關系的綜合問題 解　設z＝a＋bi(a，b∈R)， 則z·＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi

11、)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i， ∴解得 ∴a＋b＝4， ∴復數z的實部與虛部的和是4. 1．復數代數形式的乘除運算 (1)復數代數形式的乘法類似于多項式乘以多項式，復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律． (2)在進行復數代數形式的除法運算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復數，化簡后可得，類似于以前學習的分母有理化． 2．共軛復數的性質可以用來解決一些復數問題． 3．復數問題實數化思想． 復數問題實數化是解決復數問題的基本思想方法，其橋梁是設復數z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數相等的充要條件轉化.

12、 一、選擇題 1．i為虛數單位，＋＋＋等于(　　) A．0 B．2i C．－2i D．4i 考點　虛數單位i及其性質 題點　虛數單位i的運算性質 答案　A 解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i， ∴＋＋＋＝0. 2．復數(1＋i)2(2＋3i)的值為(　　) A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i 考點　復數的乘除法運算法則 題點　乘除法的運算法則 答案　D 解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3．已知復數z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i

13、 D．2＋i 考點　復數的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復數中的未知數 答案　C 解析　由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，則有z－1＝1－i，所以z＝2－i. 4．已知復數z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是實數，則實數b等于(　　) A．6 B．－6 C．0 D. 考點　復數的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復數中的未知數 答案　A 解析　∵＝＝ ＝是實數， ∴6－b＝0，∴實數b的值為6，故選A. 5．已知i為虛數單位，圖中復平面內的點A表示復數z，則表示復數的點是(　　) A．M B．N C．P D．Q 考點　復數的乘除法

14、運算法則 題點　運算結果與點的對應關系 答案　D 解析　由圖可知z＝3＋i， 所以復數＝＝＝＝2－i表示的點是Q(2，－1)．故選D. 6．設復數z滿足＝i，則|z|等于(　　) A．1 B. C. D．2 考點　復數的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復數中的未知數 答案　A 解析　由＝i， 得z＝＝＝＝i， |z|＝|i|＝1. 7．若z＋＝6，z·＝10，則z等于(　　) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 考點　共軛復數的定義與應用 題點　與共軛復數有關的綜合問題 答案　B 解析　設z＝a＋bi(a，b∈R)， 則

15、＝a－bi， 所以解得則z＝3±i. 8．計算＋的值是(　　) A．0 B．1 C．2i D．i 考點　復數四則運算的綜合應用 題點　復數的混合運算 答案　C 解析　原式＝＋ ＝＋ ＝＋i＝＋i ＝＋i＝2i. 二、填空題 9．已知a，b∈R，i是虛數單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則的值為________． 考點　復數的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復數中的未知數 答案　2 解析　因為(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a， 又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0， 得a＝2，b＝1，所以＝2. 10．若復數z滿足(3－4i

16、)z＝4＋3i(i是虛數單位)，則|z|＝________. 考點　復數的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復數中的未知數 答案　1 解析　因為(3－4i)z＝4＋3i， 所以z＝＝＝＝i. 則|z|＝1. 11．定義一種運算：＝ad－bc.則復數 的共軛復數是________． 考點　共軛復數的定義與應用 題點　利用定義求共軛復數 答案?。?－3i 解析　＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i， ∴其共軛復數為－1－3i. 三、解答題 12．已知z，ω為復數，(1＋3i)z為純虛數，ω＝，且|ω|＝5，求ω. 考點　復數的乘除法運算法則 題點　乘除法的綜合應用

17、解　設z＝a＋bi(a，b∈R)， 則(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i. 由題意得a－3b＝0,3a≠－b. 因為|ω|＝＝5， 所以|z|＝＝5， 將a＝3b代入，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5， 故ω＝±＝±(7－i)． 13．已知復數z＝1＋i. (1)設ω＝z2＋3－4，求ω； (2)若＝1－i，求實數a，b的值． 考點　復數四則運算的綜合應用 題點　與混合運算有關的未知數求解 解　(1)因為z＝1＋i， 所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)因為z＝1＋i， 所以＝＝1－i， 即＝1－i， 所以(

18、a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i， 所以解得 四、探究與拓展 14．投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n，則復數(m＋ni)(n－mi)為實數的概率為________． 考點　復數的乘除法運算法則 題點　乘除法的綜合應用 答案　 解析　易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i. 若復數(m＋ni)(n－mi)為實數， 則m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6種情況， 所以所求概率為＝. 15．設z是虛數，ω＝z＋是實數，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的實部的取值范圍； (2)設μ＝，求證：μ為純虛數． 考點　復數四則運算的綜合應用 題點　與四則運算有關的問題 (1)解　因為z是虛數， 所以可設z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)， 則ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i. 因為ω是實數，且y≠0， 所以y－＝0， 即x2＋y2＝1. 所以|z|＝1，此時ω＝2x. 又－1<ω<2，所以－1<2x<2. 所以－