《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，貝努利不等式 3.2.1　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 3.2.2　用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式 1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式. 2.了解貝努利不等式，學(xué)會貝努利不等式的簡單應(yīng)用. 3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式. 自學(xué)導(dǎo)引 1.貝努利不等式：設(shè)x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1＋x)n>1＋nx. 2.設(shè)α為有理數(shù)，x>－1，如果0<α<1，則(1＋x)α≤1＋αx；如果α<0或者α>1，則(1＋x)α≥1＋αx，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立. 基礎(chǔ)自測 1.若不等式

2、＋＋＋…＋<對于一切n∈N*恒成立，則自然數(shù)m的最小值為(　　) A.8 B.9 C.10 D.12 解析　顯然n＝1時，左邊最大為<， ∴m的最小值為8，選A. 答案　A 2.關(guān)于正整數(shù)n的不等式2n>n2成立的條件是(　　) A.n∈N＋ B.n≥4 C.n>4 D.n＝1或n>4 解析　n＝4，24＝42＝16，n＝1時，2>1， n＝5，25＝32，52＝25， ∴當(dāng)n>4時，2n>n2成立，故選D. 答案　D 3.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，則T與0的關(guān)系是________. 解析　∵a＋b＋c＝0， ∴(a＋b＋c

3、)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0， 即2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0， ∵abc>0，上述不等式兩邊同時除以2abc， 得T＝＋＋<0. 答案　T<0 知識點1　用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式 【例1】 設(shè)x1，x2，…，xn為實數(shù)，證明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|. 證明　(1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|， ∴n＝2時命題成立. (2)設(shè)命題n＝k (k≥2)時成立，即 |x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|， 于是，當(dāng)n＝k＋1時， |x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|

4、(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1| ≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1| ≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|. 即當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立. 由(1)(2)知，對于任意n∈N*命題都成立. 1.證明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N＋). 證明　(1)當(dāng)n＝1時，上式左邊＝|sin θ|＝右邊，不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1)時，命題成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|. 當(dāng)n＝k＋1時，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)| ＝|sin kθcos θ＋cos kθ·sin θ| ≤|sin kθcos

5、 θ|＋|cos kθ·sin θ| ≤|sin kθ|＋|sin θ| ≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|. 即當(dāng)n＝k＋1時不等式成立. 由(1)(2)可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立. 知識點2　用數(shù)學(xué)歸納法證明平均值不等式 【例2】 設(shè)a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時等號成立. 證明　不妨設(shè)an≥an－1≥…≥a1>0， 若a1＝an，則a1＝a2＝…＝an， 此時原不等式中等號成立. 設(shè)an>a1 (n≥2). (1)n＝2時，由基本不等式>， 所以命題對n＝2成立. (2)設(shè)n＝k時，不等式成

6、立， 即≥. 記Ak＝，所以有：(Ak)k≥a1a2…ak. 當(dāng)n＝k＋1時， 因為ak＋1>a1，ak＋1≥a2，ak＋1≥a3，…，ak＋1≥ak， 所以ak＋1－Ak＝ ＝>0， 則有ak＋1>Ak. 根據(jù)二項式定理及歸納假設(shè)得： ＝ ＝ ＝(Ak)k＋1＋(k＋1)(Ak)k＋…＋ >(Ak)k＋1＋(Ak)k(ak＋1－Ak) ＝(Ak)k＋1＋(Ak)kak＋1－(Ak)k＋1 ＝(Ak)kak＋1≥a1a2…akak＋1. 即>. 由(1)(2)知，對任意的n∈N*命題都成立. ●反思感悟：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的第二步，設(shè)n＝k時命題成立，證n

7、＝k＋1時命題也成立時，往往要通過放縮法來實現(xiàn)n＝k＋1時命題所需要的形式. 2.證明：如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an＝1，那么它們的和a1＋a2＋…＋an≥n. 證明　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝1，命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，命題成立. 即若k個正數(shù)的乘積a1a2…ak＝1， 則a1＋a2＋…＋ak≥k. 當(dāng)n＝k＋1時，已知k＋1個正數(shù)a1，a2，…，ak，ak＋1滿足條件a1a2…ak＋1＝1. 若這k＋1個正數(shù)a1，a2，…，ak，ak＋1都相等，則它們都是1，其和為k＋1，命題得證. 若這k＋1個正數(shù)a1，a2，…，ak，a

8、k＋1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)也有小于1的數(shù)(否則與a1a2…ak＋1＝1矛盾).不妨設(shè)a1>1，a2<1. 為利用歸納假設(shè)，我們把乘積a1a2看作一個數(shù)，這樣就得到k個正數(shù)a1a2，a3，…，ak，ak＋1的乘積是1，由歸納假設(shè)可以得到 a1a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1≥k ∴a3＋a4＋…＋ak＋ak＋1≥k－a1a2 ∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－(k＋1) ≥a1＋a2＋k－a1a2－k－1 ＝a1＋a2－a1a2－1＝－(a1－1)(a2－1) ∵a1>1，a2<1，∴－(a1－1)(a2－1)>0 ∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－k－1>0， 即a1

9、＋a2＋…＋ak＋ak＋1>k＋1， ∴當(dāng)n＝k＋1時命題成立 由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，如果n個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an＝1，那么它們的和a1＋a2＋…＋an≥n成立. 知識點3　用數(shù)學(xué)歸納法證明柯西不等式 【例3】 證明：|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤ ·.　 證明　(1)當(dāng)n＝2時， 因為|a1b1＋a2b2|2－(a＋a)(b＋b) ＝(a1b1＋a2b2)2－(a＋a)(b＋b) ＝ab＋2a1b1a2b2＋ab－(ab＋ab＋ab＋ab) ＝－(ab－2a1b1a2b2＋ab) ＝－(a1b2－a2b1)2≤0. 所以|a

10、1b1＋a2b2|2≤(a＋a)(b＋b). 即|a1b1＋a2b2|≤·. 也即n＝2時，柯西不等式成立. (2)設(shè)n＝k (k≥2)時， |a1b1＋a2b2＋…＋akbk| ≤·. 則當(dāng)n＝k＋1時，由三角不等式及歸納假設(shè)， 得：|a1b1＋a2b2＋…＋ak＋1bk＋1| ≤|a1b1＋a2b2＋…＋akbk|＋|ak＋1bk＋1| ≤·＋|ak＋1bk＋1| ≤· ＝·. 由(1)(2)知柯西不等式得證. ●反思感悟：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，難點不在于數(shù)學(xué)歸納法的原理，而在于如何變形.放縮以便于用上假設(shè)，再經(jīng)過變形運算使命題得證. 3.已知a，b為

11、正數(shù)，求證：當(dāng)n為正整數(shù)時，≥. 證明　(1)當(dāng)n＝1時，＝，命題成立. (2)設(shè)n＝k (k≥1)時，命題成立， 即≥， 當(dāng)n＝k＋1時，＝· ≤·，要證≤， 只須證·≤即可， 由－ ＝ ＝＝ ＝≥0. ∴·≤. 即n＝k＋1時，命題成立. 由(1)，(2)可知，對任意的n∈N*命題都成立. 知識點4　用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式 【例4】 設(shè)x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)， 則(1＋x)n>1＋nx. 證明　(1)當(dāng)n＝2時，由x≠0，知 (1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x， 因此n＝2時命題成立. (2)假設(shè)n＝k(k≥2為正整數(shù))時命

12、題成立， 即(1＋x)k>1＋kx，則當(dāng)n＝k＋1時， (1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x) ＝1＋x＋kx＋kx2 >1＋(k＋1)x. 即n＝k＋1時，命題也成立. 由(1)，(2)及數(shù)學(xué)歸納法知原命題成立. ●反思感悟：(1)在證明過程中適當(dāng)放縮或采用多種方法去嘗試. (2)要注意記憶這種形式. 4.設(shè)x>－1，x≠0，證明：>1－，對一切不小于2的正整數(shù)n都成立. 證明　∵x>－1， (1)當(dāng)x>0時，0<<1，－1<－<0. (2)當(dāng)－1|x|， ∵<0，∴－>－x>0>－1， 因此，當(dāng)x>－1

13、，x≠0時，－>－1，且－≠0， 由貝努利不等式得：＝ >1＋n＝1－. 課堂小結(jié) 數(shù)學(xué)歸納法能證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，但并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明不等式的難點在于對命題的變形.在推證n＝k＋1命題成立時，往往利用放縮法通過增加一些項(或舍去一些項)或利用二項式定理后舍去一些項達到滿足n＝k＋1時所需要的形式.有時也會利用比較法證明n＝k＋1時命題成立. 隨堂演練 1.若an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，求證：

14、1)時，＋ >＋(k＋1)＝， 又ak＋1＝ak＋ <＋ ＝＋ <＋ ＝， ∴對n＝k＋1，< ak＋1<成立. 由(1)，(2)知，對一切自然數(shù)n∈N*不等式恒成立. 2.設(shè)n為大于1的正整數(shù)，求證： …>. 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＝ ＝ ， 右邊＝＝ ＝ ， 所以左邊>右邊，故命題對n＝2成立. (2)設(shè)命題對n＝k (k≥2)成立，也就是： …>. 當(dāng)n＝k＋1時， … >·＝ >＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立. 由(1)、(2)知命題對任何不小于2的正整數(shù)n都成立. 基

15、礎(chǔ)達標 1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“n2<2n對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，n0應(yīng)取值為(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 答案　C 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>成立時，起始值n0至少應(yīng)取(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　1＋＋＋＋＋…＋＝， n－1＝6，n＝7，故n0＝8. 答案　B 3.已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推廣為x＋≥n＋1，則a的值為(　　) A.2n B.n2 C.22(n－1) D.nn 答案　D 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋1)，第一步要證明的不等

16、式是____________________. 答案　n＝2時，左邊＝1＋＋＝<2＝右邊 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋1≥n2＋n＋2 (n∈N*)時，第一步應(yīng)驗證________________________. 答案　n＝1時，22≥12＋1＋2，即4＝4 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋>1 (n>1，n∈N*). 證明　(1)當(dāng)n＝2時，＋＋＝＝>1， 即n＝2時命題成立. (2)設(shè)n＝k (k≥2)時，命題成立， 即＋＋＋…＋>1， 當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝＋…＋＋ >1＋(2k＋1)·－＝1＋. ∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，對稱軸為k＝， ∴(2

17、，＋∞)為t的增區(qū)間， ∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1， ∴>0，∴n＝k＋1時，命題也成立. 由(1)(2)知，當(dāng)n>1時，n∈N*命題都成立. 綜合提高 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊(　　) A.增加了 B.增加了＋ C.增加了＋但減少了 D.以上各種情況均不對 解析　由n＝k到n＝k＋1，左邊多了＋，但卻少了.故選C. 答案　C 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋1)”時，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是(　　) A.2k

18、－1 B.2k－1 C.2k D.2k＋1 解析　由n＝k到n＝k＋1，應(yīng)增加的項數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k項.故選C. 答案　C 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x>0和正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n應(yīng)為________. 答案　1 10.用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”時，S1等于________. 答案?。? 11.用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋< (n∈N*). 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝<1＝右邊，不等式成立. 當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＝，右邊＝. 由＋1<2

19、，得<， 即n＝2時，不等式也成立. (2)假設(shè)n＝k (k≥2)時，不等式成立， 即＋＋…＋<. 當(dāng)n＝k＋1時，兩邊同加，得 ＋＋…＋ <＋ 只須證＋<即可. 由于－> ?> ?>＋ ?(－1)>. 由于k≥2，上式顯然成立. 即n＝k＋1時，不等式成立. 由(1)、(2)知，不等式對n∈N*都成立. 12.已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}，若a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2，且對所有的自然數(shù)n恒有an>0，求證：當(dāng)n>2時，an0，故{an}是遞增數(shù)列， {an}公差d＝a2－a1，{bn}公比q＝＝. 當(dāng)n>2時，an0. 故原不等式成立. (2)假設(shè)n＝k (k≥3)時，不等式成立，即akak－ak－(a2－a1) ＝>0.即bk＋1>ak＋1. 即n＝k＋1時，命題也成立， 由(1)(2)可知，當(dāng)n>2時，an