《（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數學 4.3.2 平面直角坐標系中的伸縮變換學案 蘇教版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數學 4.3.2 平面直角坐標系中的伸縮變換學案 蘇教版選修4-4（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 4.3.2　平面直角坐標系中的伸縮變換 1．了解平面直角坐標系中的伸縮變換，能運用伸縮變化進行簡單的變換． 2．體會平面直角坐標系中的伸縮變換給圖形帶來的變化． [基礎·初探] 1．橫坐標的伸縮變換 一般地，由(k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數為k向著y軸的伸縮變換(當k＞1時，表示伸長；當0＜k＜1時，表示壓縮)，即曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x，y)是變換前的點，(x′，y′)是變換后的點)． 2．縱坐標的伸縮變換 一般地，由(k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數為k向著x軸的伸縮變換(當k＞1時，表示伸長；當0＜k＜1時，表

2、示壓縮)，即曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x，y)是變換前的點，(x′，y′)是變換后的點)． 3．伸縮變換 一般地，設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱為伸縮變換． [思考·探究] 1．如果x軸的單位長度保持不變，y軸的單位長度縮小為原來的，圓x2＋y2＝4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？ 【提示】　x2＋y2＝4的圖形變?yōu)闄E圓：＋y2＝1. 伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀．

3、2．如何理解平面直角坐標系中的伸縮變換？ 【提示】　在平面直角坐標系中進行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長度，將會對圖形產生影響．其特點是坐標系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對應的方程不發(fā)生變化．如在下列平面直角坐標系中，分別作出f(x，y)＝0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長度；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍；(3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的.第(1)種坐標系中的意思是x軸與y軸上的單位長度一樣，f(x，y)＝0的圖形就是我們以前學過的平面直角坐標系中的f(x，y)＝0的圖形；第(2)種坐標系中的意思是如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，此

4、時f(x，y)＝0表示的圖形與第(1)種坐標系中的圖形是不同的；第(3)種坐標系中的意思是如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的，此時f(x，y)＝0表示的圖形與第(1)種坐標系中的圖形是不同的． [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：______________________________

5、_______________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 伸縮變換 　對下列曲線進行伸縮變換(k≠0，且k≠1)． (1)y＝kx＋b； (2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 【自主解答】　設P(x，y)是變換前的點，P′(x′，y′)是

6、變換后的點，由題意，得即 (1)由y′＝k(x′)＋b，y′＝kx′＋kb，得直線y＝kx＋b經過伸縮變換后的方程為y＝kx＋kb，仍然是一條直線． 當b＝0時，該直線和原直線重合；當b≠0時，該直線和原直線平行． (2)由(x′－a)2＋(y′－b)2＝r2，(x′－ka)2＋(y′－kb)2＝(kr)2，得圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2經過伸縮變換后的方程為(x－ka)2＋(y－kb)2＝(kr)2，它是一個圓心為(ka，kb)，半徑為|kr|的圓． [再練一題] 1．在同一平面直角坐標系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 【解】　設

7、變換為， 代入直線方程2x′－y′＝4 得：2λx－μy＝4，即λx－y＝2， 比較系數得： λ＝1，μ＝4， 即直線x－2y＝2圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得到直線2x′－y′＝4. 伸縮變換的應用 　曲線y＝2sin 3x變換成曲線y＝3sin 2x，求它的一個伸縮變換． 【導學號：98990021】 【思路探究】　設代入y′＝3sin 2x′，所得式再與y＝2sin 3x比較即可求λ、μ. 【自主解答】　將變換后的曲線y＝3sin 2x改成y′＝3sin 2x′. 設伸縮變換代入y′＝3sin 2x′； 得μy＝3sin(2λx) 即y

8、＝sin(2λx)，與y＝2sin 3x比較系數， 得即 所以伸縮變換為 確定一個伸縮變換，實際上就是求其變換方法，將新舊坐標分清，代入對應的曲線方程，然后比較系數即可． [再練一題] 2．(1)圓x2＋y2＝a2經過什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)椋?(0＜b＜a)? (2)分析圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線和經過該弦中點的直徑所在直線經過上述伸縮變換后的位置關系． 【解】　(1)橢圓＋＝1可以化為x2＋＝a2， 設即 所以圓x2＋y2＝a2經過向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數k＝，可以使方程變?yōu)椋?. (2)若圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線的斜率存

9、在且不為0，設其方程為y＝kx＋m，根據垂徑定理，經過該弦中點的直徑所在直線的方程為y＝－x. 由y′＝kx′＋m，得y′＝x′＋m.所以直線y＝kx＋m經過變換，方程可變?yōu)閥＝x＋m. 由y′＝－x′，得y′＝－x′，所以直線y＝－x經過變換，方程可變?yōu)閥＝－x. 此時，兩條直線的斜率乘積是定值－. 若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為x＝n，則經過其中點的直徑所在直線的方程為y＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤＝n，y＝0.此時兩直線依然垂直． 若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為y＝n，則經過其中點的直徑所在直線的方程為x＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥＝n，x＝0.此時

10、兩直線依然垂直． [真題鏈接賞析] 　(教材第41頁習題4.3第8題)對下列曲線向著x軸進行伸縮變換，伸縮系數k＝2： (1)x2－4y2＝16；(2)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 　求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2＋y2＝1變成曲線＋＝1. 【命題意圖】　本題主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換． 【解】　設變換為代入方程＋＝1，得＋＝1.與x2＋y2＝1比較，將其變形為x2＋y2＝1，比較系數得λ＝3，μ＝2. ∴即將圓x2＋y2＝1上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得橢圓＋＝1. 1．直線x＋4y－6＝0按伸縮系數向著x軸的伸縮變換后，直

11、線的方程是________． 【答案】　x＋8y－6＝0 2．直線2x－3y＝0按伸縮系數3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是________． 【答案】　2x－9y＝0 3．曲線x2＋y2＝4按伸縮系數2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是________． 【導學號：98990022】 【答案】?。? 4．y＝cos x經過伸縮變換后，曲線方程變?yōu)開_____． 【解析】　由，得，代入y＝cos x， 得y′＝cos x′， 即y′＝3cos x′. 【答案】　y＝3cos 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 5