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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 高考大題專項練 四 統(tǒng)計概率（A）理 1.(2018·大慶模擬)某人租用一塊土地種植一種瓜類作物,根據(jù)以往的年產(chǎn)量數(shù)據(jù),得到年產(chǎn)量頻率分布直方圖如圖所示,以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量,得到平均年產(chǎn)量為455 kg.已知當(dāng)年產(chǎn)量低于450 kg時,單位售價為12元/kg,當(dāng)年產(chǎn)量不低于450 kg時,單位售價為10元/kg. (1)求圖中a,b的值; (2)估計年銷售額大于3 600元小于6 000元的概率. 2.某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:除必考語文、數(shù)學(xué)和英語外,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個

2、科目作為選考科目,若一個學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.假如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案. 某學(xué)校為了解高一年級420名學(xué)生選考科目的意向,隨機選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表: 性 別 選考方案 確定情況 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治 男 生 選考方案確 定的有8人 8 8 4 2 1 1 選考方案待 確定的有6人 4 3 0 1 0 0 女 生 選考方案確 定

3、的有10人 8 9 6 3 3 1 選考方案待 確定的有6人 5 4 1 0 0 1 (1)估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人? (2)假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨立的,從選考方案確定的8位男生中隨機選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率; (3)從選考方案確定的8名男生中隨機選出2名,設(shè)隨機變量ξ= 求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ). 3.(2018·宣城二模)在一次全國高中五省大聯(lián)考中,有90萬名學(xué)生參加,考后對所有學(xué)生成績統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),

4、英語成績服從正態(tài)分布N(μ, σ2).用莖葉圖列舉了20名學(xué)生的英語成績,巧合的是這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差恰好比所有90萬個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都多0.9,且這20個數(shù)據(jù)的方差為49.9. (1)求μ,σ. (2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù): P(μ-σ

5、迎,許多人通過微信表達(dá)自己、交流思想和傳遞信息,微信是現(xiàn)代生活中進(jìn)行信息交流的重要工具,而微信支付為用戶帶來了全新的支付體驗,支付環(huán)節(jié)因此變得簡便而快捷,某商場隨機對商場購物的100名顧客進(jìn)行統(tǒng)計,其中40歲以下占,采用微信支付的占,40歲以上采用微信支付的占. (1)請完成下面2×2列聯(lián)表: 40歲以下 40歲以上 合計 使用微信支付 未使用微信支付 合計 并由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認(rèn)為“使用微信支付與年齡有關(guān)”? (2)若以頻率代替概率,采用隨機抽樣的方法從“40歲以下”的人中抽取2人,從“40歲以上”

6、的人中抽取1人,了解使用微信支付的情況,問至少有一人使用微信支付的概率為多少? 參考公式:K2=, n=a+b+c+d. 參考數(shù)據(jù): P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 1.解:(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得100(a+0.001 5+b+0.004)=1, 得100(a+b)=0.45, 由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455, 得300a+500b=2.05, 解方程組 得a=0.001 0,b=0.003 5. (2)由

7、(1)結(jié)合頻率分布直方圖知, 當(dāng)年產(chǎn)量為300 kg時,其年銷售額為3 600元, 當(dāng)年產(chǎn)量為400 kg時,其年銷售額為4 800元, 當(dāng)年產(chǎn)量為500 kg時,其年銷售額為5 000元, 當(dāng)年產(chǎn)量為600 kg時,其年銷售額為6 000元, 因為年產(chǎn)量為400 kg的頻率為0.4,即年銷售額為4 800元的頻率為0.4, 而年產(chǎn)量為500 kg的頻率為0.35,即年銷售額為5 000元的頻率為0.35, 故估計年銷售額大于3 600元小于6 000元的概率為0.05+0.4+0.35+0.075=0.875. 2.解:(1)由題意可知,選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生

8、有4人,選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有6人, 該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有××420=140人, (2)由數(shù)據(jù)可知,選考方案確定的8位男生中選出1人選考方案中含有歷史學(xué)科的概率為=;選考方案確定的10位女生中選出1人選考方案中含有歷史學(xué)科的概率為.所以該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率為×=. (3)由數(shù)據(jù)可知,選考方案確定的男生中有4人選擇物理、化學(xué)和生物;有2人選擇物理、化學(xué)和歷史 ;有1人選擇物理、化學(xué)和地理;有1人選擇物理、化學(xué)和政治. 由已知得ξ的取值為1,2. P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, (或P(ξ=2)=1-P

9、(ξ=1)=). 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 P 所以E(ξ)=1×+2×=. 3.解:(1)因為通過計算可得這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=90,所以由題可得μ=90- 0.9=89.1,σ==7. (2)①因為μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ), 所以該生英語成績在(82.1,103.1)的概率為 =0.818 6. ②由題可得X服從二項分布B(10 000,0.818 6), 所以E(X)=10 000×0.818 6=8 186. 4.解:(1)由已知可得,40歲以下的有100×=60人, 使用微信支付的有60×=40

10、人, 40歲以上使用微信支付的有40×=10人. 所以2×2列聯(lián)表為 40歲以下 40歲以上 合計 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合計 60 40 100 由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算可得K2的觀測值為k==,由于>10.828,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“使用微信支付與年齡有關(guān)”. (2)若以頻率代替概率,采用隨機抽樣的方法從“40歲以下”的人中抽取2人,這兩人使用微信支付分別記為A,B,則P(A)=P(B)=,從“40歲以上”的人中抽取1人,這個人使用微信支付記為C,則P(C)=,顯然A,B,C相互獨立,則至少有一人使用微信支付的概率為1-P( )=1-××=,故至少有一人使用微信支付的概率 為.