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1、2022年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)分類(lèi)練習(xí) 二次函數(shù)壓軸題 1.已知二次函數(shù)y=x2-（a-1）x+a-2，其中a是常數(shù)． （1）求證：不論a為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點(diǎn)； （2）當(dāng)a=4時(shí)，該二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A，與x軸交于B，D兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積． 2.已知拋物線y=x2+1如圖所示 （1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　，　?。瑢?duì)稱軸是　 ??； （2）如圖，已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）如圖，在第二

2、問(wèn)的基礎(chǔ)上，在拋物線有一點(diǎn)C（x，y），連接AC、OC、BC、PC，當(dāng)△OAC的面積等于△BCP的面積時(shí)，求C的橫坐標(biāo)． 3.已知二次函數(shù)是常數(shù)． （1）求該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示； （2）當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)C在第二、四象限的角平分線上？ 4.已知二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D． （1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)； （2）過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E．若△CBO與△DAE相似O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試討論與的關(guān)系； （3）在同一直角坐標(biāo)系中

3、，若該二次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像組合成一個(gè)新的圖像，則這個(gè)新圖形的對(duì)稱軸為 ． 5.閱讀材料，解答問(wèn)題． 例 用圖像法解一元二次不等式：x2－2x－3>0． 解：設(shè)y＝x2－2x－3，則y是x的二次函數(shù)． ∵a＝1>0，∴拋物線開(kāi)口向上， 又∵當(dāng)y＝0時(shí)，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3． ∴由此得拋物線y＝x2－2x－3的大致圖像如圖12所示， 觀察函數(shù)圖像可知：當(dāng)x<－1或x>3時(shí)，y>0． ∴x2－2x－3>0的解集是：x<－1或x>3． (1)觀察圖像，直接寫(xiě)

4、出一元二次不等式：x2－2x－3<0的解集是________． (2)仿照上例，用圖像法解一元二次不等式：x2－1>0． 6.如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y的正半軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E． （1）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為　　　　　　，點(diǎn)A的坐標(biāo)為　　　　　??； （2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線，與直線BC交于點(diǎn)M，與拋

5、物線交于點(diǎn)N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′．在圖②中探究：是否存在點(diǎn)Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 7.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)． （1）求該拋物線的表達(dá)式； （2）求直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線的表達(dá)式； （3）點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍． 8.研究發(fā)現(xiàn)，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0，1)的距離與到直線l：的距離相等.如圖1所示，若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，PH⊥l

6、于點(diǎn)H，則. 基于上述發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為d，稱d為點(diǎn)M關(guān)于拋物線的關(guān)聯(lián)距離；當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)M為拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn). （1）在點(diǎn)，，，中，拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是______ ； （2）如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)，點(diǎn)C( t. ①若t=4，點(diǎn)M在矩形ABCD上，求點(diǎn)M關(guān)于拋物線的關(guān)聯(lián)距離d的取值范圍； ②若矩形ABCD上的所有點(diǎn)都是拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則t的取值范圍是__________. 9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，其中，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個(gè)，記第四個(gè)頂點(diǎn)分別為，如圖所示. （1）若，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（

7、 ），（ ），（ ）； （2）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)在同一條拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在x軸正半軸上,OB的長(zhǎng)度為2m,以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB,拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,A,B三點(diǎn). （1）當(dāng)m=2時(shí),a= ,當(dāng)m=3時(shí),a= ； （2）根據(jù)（1）中的結(jié)果,猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點(diǎn),PQ的長(zhǎng)度為2n,當(dāng)△APQ為等腰

8、直角三角形時(shí),a和n的關(guān)系式為 a= ； （4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求△AOB與△APQ的面積比． 11.如圖，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D． 求拋物線的解析式； 求的值； 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)線段EF最長(zhǎng)？求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)． 12.如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知

9、點(diǎn)，點(diǎn). (1)求拋物線的函數(shù)解析式，并求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo); (2)若點(diǎn)是拋物線在第一象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)， ①當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo); ②若為的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn)，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍. 13.如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）． （1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論； （3）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一

10、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，求m的值． 14.如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3，6）． （1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長(zhǎng)度； （2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過(guò)點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由； （3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠

11、AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？ 15.如圖，二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，2）． （1）求拋物線的函數(shù)解析式，并求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若點(diǎn)D是拋物線在第一象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)， ①當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； ②若E為BC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交線段AB于點(diǎn)F，當(dāng)△BEF為鈍角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍． 16.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且滿足(為常數(shù)). (1)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn). ①當(dāng)、時(shí)，求的值; ②若隨的增大而減小，求的取值范圍. (2)當(dāng)且、時(shí)，判斷直線與軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由; (3)點(diǎn)、的位置隨著的變化而變化，設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的路線與軸分別相交于點(diǎn)、，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎？如果不變，求出的長(zhǎng);如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.