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1、2022年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題03 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（第四季）壓軸題必刷題 理 1．函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且 ，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______． 【答案】 【解析】 ∴故x=是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．∵函數(shù)f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＜0，則 即a2＞4得a＞2（舍）或a＜-2． ②當(dāng)a＞0時(shí)＜0，當(dāng)x＜或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減． ∴x=是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)． ∵f（0）=-1＜0， ∴函數(shù)f（x）在

2、（0，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不滿足條件． 綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）． 故答案為：（-∞，-2）． 2．函數(shù)，若與有相同值域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________。 【答案】 【解析】 由題知，，()，令，()， 則，()， 當(dāng)時(shí)，，而，即， 當(dāng)時(shí)，，而，即， 當(dāng)時(shí)，， 故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增。 因?yàn)?， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以在時(shí)取得最小值為，故的值域?yàn)椤? 因?yàn)榕c有相同值域，則要求的范圍包含，且為正， 所以，即. 故答案為. 3．已知函數(shù)f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f

3、1（x）+f2（x），設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)____． 【答案】 【解析】 f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x， f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立， 即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立， ﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化為（a+3）x+2（1﹣a）＞0， ，解得﹣3≤a≤5①； 3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化為2a＞﹣x2+2x+2， 而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1

4、）2+3＜3， ∴2a≥3，即②， 由①②可得， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為． 4．若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】 實(shí)數(shù)λ＞0，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立， 即為（eλx ）min≥0， 設(shè)f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx， 令f′（x）＝0，可得eλx， 由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象， 可得y＝eλx和y有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 設(shè)為（m，n），當(dāng)x＞m時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增； 當(dāng)0＜x＜m時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減． 即有f（x）在x＝m處取得極小值，且為最小值

5、． 即有eλm，令eλm0， 可得m＝e，λ． 則當(dāng)λ時(shí)，不等式eλx0恒成立． 故答案為. 5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)，，則的解集為_(kāi)__________． 【答案】 【解析】 設(shè)， 則， 則等價(jià)于， 又對(duì)任意， 即在上單調(diào)遞增， 則的解集為， 即的解集為，故答案為. 6．已知函數(shù)關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____ 【答案】 【解析】 由， 令，解得， 令，解得， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為， 故的最大值是， 時(shí)，時(shí)，且， 故在時(shí)，，在時(shí)，， 函數(shù)的圖象如圖， ①時(shí)，由不等式得或， 而時(shí)無(wú)整數(shù)解，的解集為， 整

6、數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意； ②時(shí)，由不等式得解集為， 整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意； ③時(shí)，由不等式，得或， 的解集為無(wú)整數(shù)解， 只需的解集整數(shù)解只有一個(gè)， 且在上遞增，在遞減， 而，這一正整數(shù)只能為3， ， ， 綜上所述，的取值范圍是，故答案為. 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線﹣t2y2＝1（t∈[2，3]）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線的漸近線的垂線，垂足為H，則△OFH面積的取值范圍為_(kāi)____． 【答案】 【解析】 在雙曲線中， ， 右焦點(diǎn)為，漸近線方程為， ，， 面積， ， 令，解得 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

7、 ， ， ， ， 故面積的取值范圍為，故答案為. 8．已知函數(shù)f（x）＝k（x﹣lnx）+（k∈R），如果函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____． 【答案】 【解析】 函數(shù)， ， 令，解得或， 令，可得， 可得時(shí)，函數(shù)取得極小值，， 可得時(shí)，令， 沒(méi)有根，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)1； 時(shí), 有根，但不是極值點(diǎn)， 此時(shí)函數(shù)也只有一個(gè)極值點(diǎn)1 ,滿足題意； 時(shí)，有解，函數(shù)有兩個(gè)或三個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件，舍去， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為. 9．是定義在上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為．若，則不等式 (其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為_(kāi)_

8、_______． 【答案】 不等式的解集為， 故答案為. 10．設(shè)函數(shù),若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________. 【答案】 【解析】 已知函數(shù)對(duì)其求導(dǎo)得 ,令求得 當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,且恒成立 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故 ,又因?yàn)樵谏?存在x使得，所以當(dāng)直線與有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)， 由題意知，有6個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，設(shè) 則關(guān)于t的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且 即在內(nèi)有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 由于當(dāng)時(shí)，等式成立 當(dāng)時(shí)，，故a的范圍為 11．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【

9、答案】 【解析】 ，則， 因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)增，可得在上恒成立， 即，令，則，， 所以，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)， 所以其最大值為， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 12．對(duì)于三次函數(shù)，有如下定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程=0有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。若點(diǎn)是函數(shù)的“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為_(kāi)____． 【答案】2 【解析】 函數(shù) ， 因?yàn)槭呛瘮?shù)的“拐點(diǎn)” ，且是函數(shù)圖象上的點(diǎn)， 所以， 即 解得，， 所以， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為 ，故答案為2. 13．已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_____ 【答

10、案】 【解析】 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)， 所以恰有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在恰有一個(gè)零點(diǎn)， 令，得，所以與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 解法二：如圖， 由于，函數(shù)的圖象與直線有一個(gè)公共點(diǎn)為， 當(dāng)函數(shù)的圖象與直線切于原點(diǎn)時(shí)，，，由圖可知，的取值范圍為. 14．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=的取值范圍是______． 【答案】[-1，1] 【解析】 ∵0， ∴由， 得， 由y，得y′0在（﹣∞，+∞）上恒成立， 可得y在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，則x≥﹣y． ∴?． 而z． 由約束條件畫(huà)出可行域如圖： 的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定

11、點(diǎn)P（2，0）連線的斜率， 聯(lián)立，解得，則B（﹣1，1）． ∵，． ∴z的取值范圍為[﹣1，1]， 故答案為：[﹣1，1]． 15．函數(shù)，對(duì)于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___． 【答案】 【解析】 由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在為單調(diào)遞增， 且，，即，即 ①作出與的圖象，直線作為曲線切線可求得， 當(dāng)時(shí)，； ②作出與的圖象，時(shí)，， 故， 綜上可得. 16．函數(shù)f（x），g（x）的定義域都是D，直線x=x0（x0∈D），與y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|的值是不等于0的常數(shù)，則稱(chēng)曲線y=f（x），y=g（x）為“平行曲線”，設(shè)

12、f（x）=ex-alnx+c（a>0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）為區(qū)間（0，+）的“平行曲線”，g（1）=e，g（x）在區(qū)間（2，3）上的零點(diǎn)唯一，則a的取值范圍是_________. 【答案】（，）． 【解析】 因?yàn)?與 是在（0，+）上的平行曲線，且|AB|≠0，所以可將的圖像上下平移得到的圖像。 因?yàn)椋O(shè)，因?yàn)?，代入可得 所以 令，分離參數(shù) ，得。令 因?yàn)樵冢?,3）上存在唯一零點(diǎn)，即 與在（2,3）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。 因?yàn)樵?時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增。 若滿足即 與在（2,3）有且僅有一個(gè)交點(diǎn) 所以，代入 即 的取值范圍為 17．函數(shù)在上的零

13、點(diǎn)有__________個(gè). 【答案】5 【解析】 由得，. 令則. 在 上單減， 在 上單增. 令，其中 , 則， 在 上單減，且，所以存在唯一的，使得 ,因此函數(shù)在 上單增，在上單減,又因?yàn)?所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),而在 上的圖象與函數(shù) 的圖象有3個(gè)交點(diǎn). 函數(shù)在上的零點(diǎn)有5個(gè)，故正確答案是5 18．已知函數(shù), 若函數(shù)有唯一零點(diǎn),則以下四個(gè)命題中正確的是______（填寫(xiě)正確序號(hào)） ①. ②.函數(shù)在處的切線與直線平行 ③.函數(shù)在上的最大值為 ④.函數(shù)在 上單調(diào)遞減 【答案】①②④ 【解析】 令，化簡(jiǎn)得，化為兩個(gè)函數(shù)，，，由于兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，

14、故在交點(diǎn)處有相同的交點(diǎn)坐標(biāo)以及相同的斜率.即，（1）式兩邊乘以，然后減去（2）式，得，注意到當(dāng)時(shí)，等式成立，故，代入（1）求得.所以①正確.由，，當(dāng)時(shí)，，而直線斜率為，故②正確.對(duì)于③，，其導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)有最大值為，故③錯(cuò)誤.對(duì)于④，，其導(dǎo)數(shù)，故函數(shù)在上遞減，所以也在上遞減，故④正確.綜上所述，正確的有①②④. 19．已知，為曲線：上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，過(guò)，分別作曲線的切線，則兩條切線與軸圍成的三角形面積的最小值為_(kāi)______． 【答案】 【解析】 因?yàn)镻，Q為曲線：上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，設(shè)，，且，又因?yàn)榍€：在點(diǎn)的切線斜率為，所以曲線在P，Q兩點(diǎn)處的切線分別為和，與x軸交點(diǎn)分別為，，直線和的交點(diǎn)為，所求圖形面積，即，令，假設(shè)時(shí)，才能取最小值，令，則，當(dāng)，即時(shí)，，同理，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且時(shí)，最小，解得，， 20．已知實(shí)數(shù)，，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么的最小值為_(kāi)_______ 【答案】 因?yàn)?，求曲線上與直線平行的切線 即，解得 ，所以切點(diǎn)為， 該切點(diǎn)到直線的距離 ，就是所求兩曲線間的最小距離， 所以的最小值為 。