中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合題 課時(shí)2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合同步訓(xùn)練
《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合題 課時(shí)2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合同步訓(xùn)練》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合題 課時(shí)2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合同步訓(xùn)練(15頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合題 課時(shí)2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合同步訓(xùn)練 角度問題 1.(xx·廣東省卷)如圖,已知頂點(diǎn)為C(0,-3)的拋物線y=ax2+b(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),直線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B. (1)求m的值; (2)求函數(shù)y=ax2+b(a≠0)的解析式; (3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得∠MCB=15°?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 2.(xx·天津)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)A(1,0).已知拋物線y=x2+mx-2m(m是常數(shù)).頂點(diǎn)為P. (
2、Ⅰ)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),求頂點(diǎn)P的坐標(biāo); (Ⅱ)若點(diǎn)P在x軸下方,當(dāng)∠AOP=45°時(shí),求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式; (Ⅲ)無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H,當(dāng)∠AHP=45°時(shí),求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式. 面積問題 3.(xx·黃岡)已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x. (1)求證:直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)設(shè)直線l與該拋物線兩交點(diǎn)為A,B,O為原點(diǎn),當(dāng)k=-2時(shí),求△OAB的面積. 4.(xx·陜西)已知拋物線L:
3、y=x2+x-6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C. (1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),并求△ABC的面積; (2)將拋物線L向左或向右平移,得到拋物線L′,且L′與x軸相交于A′、B′兩點(diǎn)(點(diǎn)A′在點(diǎn)B′的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C′,要使△A′B′C′和△ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式. 5.(xx·廈門質(zhì)檢)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+t-1,t<0. (1)當(dāng)t=-2時(shí), ①若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-4),(-1,0),求a,b的值; ②若2a-b=1,對(duì)于
4、任意不為零的實(shí)數(shù)a,是否存在一條直線y=kx+p(k≠0),始終與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)?若存在,求出該直線的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說明理由. (2)若點(diǎn)A(-1,t),B(m,t-n)(m>0,n>0)是二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且S△AOB=n-2t,當(dāng)-1≤x≤m時(shí),點(diǎn)A是該函數(shù)圖象的最高點(diǎn),求a的取值范圍. 特殊三角形存在性問題 6.(xx·山西)綜合與探究 如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)P作PM⊥x
5、軸,垂足為點(diǎn)M,PM交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F. (1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo); (2)試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由; (3)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長(zhǎng),并求出m為何值時(shí)QF有最大值. 7.(xx·河南)如圖,拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線y=x-5經(jīng)過點(diǎn)B,C. (1)求拋物線的解析式; (2)過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M. ①當(dāng)AM⊥BC時(shí),過拋物線上一動(dòng)
6、點(diǎn)P(不與點(diǎn)B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo); ②連接AC,當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo). 第7題圖 備用圖 8.(xx·泉州質(zhì)檢)已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B(-3,0),頂點(diǎn)為C(-1,-2). (Ⅰ)求該二次函數(shù)的解析式; (Ⅱ)如圖,過A,C兩點(diǎn)作直線,并將線段AC沿該直線向上平移,記點(diǎn)A,C分別平移到點(diǎn)D,E處,若點(diǎn)F在這個(gè)二次函
7、數(shù)的圖象上,且△DEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形,求點(diǎn)F的坐標(biāo); (Ⅲ)試確定實(shí)數(shù)p,q的值,使得當(dāng)p≤x≤q時(shí),p≤y≤. 參考答案 1.解: (1)將(0,-3)代入y=x+m,得m=-3. (2)將y=0代入y=x-3,得x=3. ∴B(3,0). 將(0,-3),(3,0)分別代入y=ax2+b, 得,解得∴y=x2-3. (3)存在,分以下兩種情況: ①若M在BC上方,設(shè)MC交x軸于點(diǎn)D, 則∠ODC=45°+15°=60°. ∴OD=OC·tan30°=. 設(shè)直線DC為y=kx-3,代入(,0),得k=.
8、 聯(lián)立方程組解得 ∴M1(3,6). ②若M在BC下方,設(shè)MC交x軸于點(diǎn)E, 則∠OEC=45°-15°=30°, ∴OE=OC·tan60°=3. 設(shè)直線EC為y=kx-3,代入(3,0),得k=. 聯(lián)立方程組解得 ∴M2(,-2). 綜上所述,M的坐標(biāo)為(3,6)或(,-2). 2.解: (Ⅰ)∵拋物線y=x2+mx-2m經(jīng)過點(diǎn)A(1,0), ∴0=1+m-2m,解得m=1. ∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2+x-2. ∵化為頂點(diǎn)式為y=(x+)2-. ∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-). (Ⅱ)拋物線y=x2+mx-2m的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-). 由點(diǎn)A(1,0
9、)在x軸正半軸上,點(diǎn)P在x軸下方, ∠AOP=45°, 過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,則∠POQ=∠OPQ=45°, 可知PQ=OQ,即=-, 解得m1=0,m2=-10. 當(dāng)m=0時(shí),點(diǎn)P不在第四象限,舍去. ∴m=-10. ∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2-10x+20. (Ⅲ)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知, 當(dāng)x=2時(shí),無論m取何值,y都等于4. 得點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,4). 過點(diǎn)A作AD⊥AH,交射線HP于點(diǎn)D,分別過點(diǎn)D,H作x軸的垂線,垂足分別為E,G,則∠DEA=∠AGH=90°, ∵∠DAH=90°,∠AHD=45°, ∴∠ADH=45°,
10、∴AH=AD. ∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°, ∴∠DAE=∠AHG. ∴△ADE≌△HAG. ∴DE=AG=1,AE=HG=4. 可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)或(5,-1). ①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)時(shí), 可得直線DH的解析式為y=x+. ∵點(diǎn)P(-,-)在直線y=x+上, ∴-=×(-)+, 解得m1=-4,m2=-. 當(dāng)m=-4時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)H重合,不符合題意, ∴m=-. ②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-1)時(shí), 可得直線DH的解析式為y=-x+. ∵點(diǎn)P(-,-)在直線y=-x+上, ∴-=-×(-)+, 解得m1=-4(舍),m2=
11、-. ∴m=-. 綜上,m=-或-. 故拋物線解析式為y=x2-x+或y=x2-x+. 3.(1)證明:聯(lián)立 化簡(jiǎn)可得:x2-(4+k)x-1=0, ∵Δ=(4+k)2+4>0, ∴直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)解:當(dāng)k=-2時(shí),∴y=-2x+1, 過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E,如解圖. ∴聯(lián)立 解得:或 ∴A(1-,2-1),B(1+,-1-2). ∴AF=2-1,BE=1+2. 易求得:直線y=-2x+1與x軸的交點(diǎn)C為(,0). ∴OC=. ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC =OC·AF+OC·BE =OC(AF+BE
12、) =××(2-1+1+2) =. 4.解: (1)令y=0,得x2+x-6=0. 解得x=-3或x=2. ∴A(-3,0),B(2,0). 令x=0,得y=-6. ∴C(0,-6). ∴AB=5,OC=6. ∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15. (2)由題意,得A′B′=AB=5. 要使S△A′B′C′=S△ABC,只要拋物線L′與y軸交點(diǎn)為C′(0,-6)或C′(0,6)即可. 設(shè)所求拋物線L′:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6. 又知,拋物線L′與拋物線L的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同, ∴=,=. 解得m=±7,n=±1(n=1舍去). ∴拋物線L′:y=
13、x2+7x+6,y=x2-7x+6 或y=x2-x-6. 5.解: (1)①當(dāng)t=-2時(shí),二次函數(shù)為y=ax2+bx-3. 把(1,-4),(-1,0)分別代入y=ax2+bx-3, 得解得 即a=1,b=-2. ②解法一:∵2a-b=1, ∴二次函數(shù)為y=ax2+(2a-1)x-3. ∵當(dāng)x=-2時(shí),y=-1;當(dāng)x=0時(shí),y=-3. ∴二次函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(-2,-1),(0,-3). 因?yàn)榻?jīng)過這兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+p(k≠0), 所以把(-2,-1),(0,-3)分別代入, 可求得該直線表達(dá)式為y=-x-3. 即直線y=-x-3始終與二次函數(shù)圖象交于(
14、-2,-1),(0,-3)兩點(diǎn). 解法二:當(dāng)直線與二次函數(shù)圖象相交時(shí),有kx+p=ax2+(2a-1)x-3. 整理可得ax2+(2a-k-1)x-3-p=0. 可得Δ=(2a-k-1)2+4a(3+p). 若直線與二次函數(shù)圖象始終有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則Δ>0. 化簡(jiǎn)可得4a2-4a(k-p-2)+(1+k)2>0. ∵無論a取任意不為零的實(shí)數(shù),總有4a2>0,(1+k)2≥0, ∴當(dāng)k-p-2=0時(shí),總有Δ>0. 可取p=1,k=3. 對(duì)于任意不為零的實(shí)數(shù)a,存在直線y=3x+1始終與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn). (2)把A(-1,t)代入y=ax2+bx+t-1,可得b=a-
15、1. ∵A(-1,t),B(m,t-n)(m>0,n>0), 則直線AB的解析式為y=-(x+1)+t, 令x=0,解得y=-+t<0, 則S△AOB=×(-t+)(m+1), 又∵S△AOB=n-2t, ∴×(-mt-t+n)=n-2t,解得m=3. ∴A(-1,t),B(3,t-n). ∵n>0,所以t>t-n. ①當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為最低點(diǎn),當(dāng)-1≤x≤3時(shí),若點(diǎn)A為該函數(shù)圖象最高點(diǎn),則yA≥yB, 分別把A(-1,t),B(3,t-n) 代入y=ax2+bx+t-1,得 t=a-b+t-1,t-n=9a+3b+t-1. ∵t>t-n, ∴a-b+t
16、-1>9a+3b+t-1. 可得2a+b<0. 即2a+(a-1)<0. 解得a<.所以0<a<. ②當(dāng)a<0時(shí),由t>t-n,可知 若A,B在對(duì)稱軸的異側(cè),當(dāng)-1≤x≤3時(shí),圖象的最高點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)而不是點(diǎn)A;若A,B在對(duì)稱軸的左側(cè),因?yàn)楫?dāng)x≤-時(shí),y隨x的增大而增大,所以當(dāng)-1≤x≤3時(shí),點(diǎn)A為該函數(shù)圖象最低點(diǎn);若A、B在對(duì)稱軸的右側(cè), ∵當(dāng)≥-時(shí),y隨x的增大而減小, ∴當(dāng)-1≤x≤3時(shí), 點(diǎn)A為該函數(shù)圖象最高點(diǎn),則-≤-1. 即-≤-1.解得a≥-1. 所以-1≤a<0. 綜上,0<a<或-1≤a<0. 6.解:(1)由y=0,得x2-x-4=0. 解,得x
17、1=-3,x2=4. ∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(-3,0),B(4,0). 由x=0,得y=-4,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,-4). (2)Q1(,-4),Q2(1,-3). (3)過點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G, 則FG∥x軸,由B(4,0),C(0,-4),得△OBC為等腰直角三角形. ∴∠OBC=∠QFG=45°,∴GQ=FG=FQ. ∵PE∥AC,∴∠1=∠2. ∵FG∥x軸,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3. ∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP∽△AOC. ∴=,即=. ∴GP=FG=×FQ=FQ. ∴QP=GQ+GP=FQ+FQ=FQ. ∴FQ=QP. ∵PM⊥x
18、軸,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,∠MBQ=45°, ∴QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4. ∴QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)= -m2+m. ∴QF=QP=(-m2+m)= -m2+m. ∵-<0,∴QF有最大值.且當(dāng)m=-=2時(shí),QF有最大值. 7.解:(1)∵直線y=x-5交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C, ∴B(5,0),C(0,-5). ∵拋物線y=ax2+6x+c過點(diǎn)B,C, ∴,∴, ∴拋物線的解析式為y=-x2+6x-5. (2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90°,∴∠ABC=45°. ∵拋物線y=-x2+6x-5交x軸于A,B兩點(diǎn), ∴A(1,
19、0),∴AB=4. ∵AM⊥BC,∴AM=2, ∵PQ∥AM,∴PQ⊥BC, 若以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形, 則PQ=AM=2, 過點(diǎn)P作PD⊥x軸交直線BC于點(diǎn)D,則∠PDQ=45°,∴PD=PQ=4. 設(shè)P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5). 分兩種情況討論如下: (ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí), PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4, ∴m1=1(舍去),m2=4. (ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí), PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4, ∴m3=,m4=. 綜上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或或. ②M(,-)
20、或(,-). 8.解: (Ⅰ)∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)為C(-1,-2), ∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)2-2. 把B(-3,0)代入得a(-3+1)2-2=0, 解得a=. ∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)2-2. (Ⅱ)由(x+1)2-2=0得x1=-3,x2=1, ∴點(diǎn)A(1,0). 過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H,如解圖, ∵點(diǎn)C(-1,-2),∴CH=2,OH=1, 又∵AO=1,∴AH=2=CH, ∴∠1=45°,AC==2. 在等腰Rt△DEF中,DE=DF=AC=2,∠FDE=90°, ∴∠2=45°,EF==4, ∴∠1=∠2, ∴EF∥CH
21、∥y軸. 由A(1,0),C(-1,-2)可求得直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x-1. 由題意設(shè)點(diǎn)F(其中m>1),則點(diǎn)E(m,m-1), ∴EF=-(m-1)=m2-=4, 解得m1=3,m2=-3(舍去). ∴點(diǎn)F(3,6), (Ⅲ)當(dāng)y=時(shí),(x+1)2-2=,解得x1=-4,x2=2. 拋物線y=(x+1)2-2,根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知, 當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小,當(dāng)x>-1時(shí),y隨x的增大而增大, 當(dāng)x=-1時(shí),y的最小值為-2. ∵p≤x≤q,p≤y≤, ∴可分三種情況討論. ①當(dāng)p≤q≤-1時(shí),由增減性得: 當(dāng)x=p=-4時(shí),y最大=,當(dāng)x=q時(shí),y最?。絧=-4<-2,不合題意,舍去; ②當(dāng)p<-1≤q時(shí), (i)若(-1)-p>q-(-1),由增減性得: 當(dāng)x=p=-4時(shí),y最大=,當(dāng)x=-1時(shí),y最小=-2≠p,不合題意,舍去; (ii)若(-1)-p≤q-(-1),由增減性得: 當(dāng)x=q=2時(shí),y最大=,當(dāng)x=-1時(shí),y最?。絧=-2,符合題意, ∴p=-2,q=2. ③當(dāng)-1≤p<q時(shí),由增減性得: 當(dāng)x=q=2時(shí),y最大=,當(dāng)x=p時(shí),y最?。絧, 把x=p,y=p代入y=(x+1)2-2,得p=(p+1)2-2, 解得p1=,p2=-<-1(不合題意,舍去). ∴p=,q=2. 綜上,或
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