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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練（一）（理）（含解析） 1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，B＝.求矩陣C，使得AC＝B. 解：因為＝2×3－1×1＝5, 所以A－1＝， 又AC＝B，所以C＝A－1B＝ ＝. B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)和點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解：法一：因為圓心C在極軸上且過極點(diǎn)， 所以設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝acos θ， 又因為點(diǎn)在圓C上， 所以3＝acos ，解得a＝6. 所以圓C

2、的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ. 法二：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,3)， 因為圓C過點(diǎn)(0,0)，(3,3)， 所以圓心C在直線為x＋y－3＝0上． 又圓心C在極軸上， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋y2＝9. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ. C．[選修4－5：不等式選講] 已知x，y，z為不全相等的正數(shù)．求證：＋＋>＋＋. 證明：因為x，y，z都是正數(shù)， 所以＋＝≥. 同理可得＋≥，＋≥，將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋. 由于x，y，z不全相等，因此上述三個不等式中等號至少有一個取不到， 所以＋＋>＋＋. 2．在平面直角坐標(biāo)系

3、xOy中，直線l：x＝－1，點(diǎn)T(3,0)．動點(diǎn)P滿足PS⊥l，垂足為S，且·＝0.設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)設(shè)Q是曲線C上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，且直線PQ過點(diǎn)(1,0)，線段PQ的中點(diǎn)為M，直線l與x軸的交點(diǎn)為N.求證：向量與共線． 解：(1)設(shè)P(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn) . 因為PS⊥l，垂足為S，又直線l：x＝－1，所以S(－1，y)． 因為T(3,0)，所以＝(x，y)，＝(4，－y)． 因為·＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x. 所以曲線C的方程為y2＝4x. (2)證明：因為直線PQ過點(diǎn)(1,0)， 故設(shè)直線PQ的方程為x＝my

4、＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 聯(lián)立方程消去x，得y2－4my－4＝0. 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 因為M為線段PQ的中點(diǎn)，所以M的坐標(biāo)為，即M(2m2＋1,2m)． 又因為S(－1，y1)，N(－1,0)， 所以＝(2m2＋2,2m－y1)，＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2). 因為(2m2＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2)y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0. 所以向量與共線． 3．一條直路上依次有2n＋1棵樹，分別為T1，T2，…，T2n＋1(n為給

5、定的正整數(shù))，一個醉漢從中間位置的樹Tn＋1出發(fā)，并按以下規(guī)律在這些樹之間隨機(jī)游走n分鐘：當(dāng)他某一分鐘末在樹Ti(2≤i≤2n)位置時，下一分鐘末他分別有，，的概率到達(dá)Ti－1，Ti，Ti＋1的位置． (1)求該醉漢第n分鐘末處在樹Ti(1≤i≤2n＋1)位置的概率； (2)設(shè)相鄰2棵樹之間的距離為1個單位長度，試求該醉漢第n分鐘末所在位置與起始位置(即樹Tn＋1)之間的距離的數(shù)學(xué)期望(用關(guān)于n的最簡形式表示)． 解：(1)不妨假設(shè)2n＋1棵樹T1，T2，…，T2n＋1從左向右排列，每2棵樹的間距為1個單位長度． 因為該醉漢下一分鐘末分別有，，的概率到達(dá)Ti－1，Ti，Ti＋1的位置，

6、 所以該醉漢將以的概率向左或向右走． 我們規(guī)定，事件“以的概率向左或向右走0.5個單位長度”為一次“隨機(jī)游走”， 故原問題等價于求該醉漢從樹Tn＋1位置出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機(jī)游走后處在樹Ti位置的概率為Pi. 對某個i(1≤i≤2n＋1)，設(shè)從Tn＋1出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機(jī)游走到達(dá)Ti的全過程中，向右走0.5個單位長度和向左走0.5個單位長度分別有k次和2n－k次， 則n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－(i－1)次向左游走， 而這樣的情形共C種，故所求的概率Pi＝(1≤i≤2n＋1)． (2)對i＝1,2，…，2n＋1，樹Ti與Tn＋1相距|n＋1－i|個單位長度，而該醉漢到樹Ti的概率為Pi，故所求的數(shù)學(xué)期望E＝n＋1－i|. 而n＋1－i|C＝n－j|C ＝2(n－j)C＝2C－2C ＝2n－2nC ＝2n×(C＋)－4n ＝n(C＋22n)－4n× ＝n(C＋22n)－2n·22n－1＝nC，因此E＝.