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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練（二）（理）（含解析） 1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] 已知變換T將平面上的點，(0,1)分別變換為點，.設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為M. (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的特征值． 解：(1)設(shè)M＝， 則＝，＝， 即解得則M＝. (2)設(shè)矩陣M的特征多項式為f(λ)， 可得f(λ)＝＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6， 令f(λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6. B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極

2、軸建立極坐標(biāo)系．直線l：ρsin＝m(m∈R)，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．當(dāng)圓心C到直線l的距離為時，求m的值． 解：由ρsin＝m， 得ρsin θcos－ρcos θsin＝m，即x－y＋m＝0， 即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0， 圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 圓心C到直線l的距離d＝＝， 解得m＝－1或m＝－5. C．[選修4－5：不等式選講] 已知x，y，z都是正數(shù)且xyz＝8，求證：(2＋x)(2＋y)·(2＋z)≥64. 證明：因為x為正數(shù)，所以2＋x≥2. 同理2＋y≥2，2＋z≥2. 所以(2＋x)( 2＋y)( 2＋z)

3、≥2·2·2＝8. 因為xyz＝8，所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥64. 2．如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1. (1)求兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值； (2)求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值． 解：(1)以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示， 則A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，＝(－3,3,3)，＝(0，－3,2)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－， 故兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值為. (2

4、)由(1)知＝(0，－3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)， 所以＝(3,0，－1)，＝(0,0,3)． 設(shè)平面BED1F的法向量為n＝(x，y，z)， 則即令x＝1，得y＝2，z＝3，n＝(1,2,3)是平面BED1F的一個法向量． 設(shè)直線BB1與平面BED1F所成的角為α，則 sin α＝＝＝， 所以直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值為. 3．對于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，記滿足條件的所有x的和為An. (1)求A2； (2)設(shè)A

5、n＝，求f(n)． 解：(1)當(dāng)n＝2時，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1， 故滿足條件的x共有4個， 分別為x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它們的和是22，所以A2＝22. (2)由題意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法；an有n－1種取法， 由分步計數(shù)原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)， 即滿足條件的x共有nn(n－1)個， 當(dāng)a0分別取0,1,2，…，n－1時，a1，a2，…，an－1各有n種取法，an有n－1種取法， 故An中

6、所有含a0項的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)＝； 同理，An中所有含a1項的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n＝·n； An中所有含a2項的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n2＝·n2； An中所有含an－1項的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1； 當(dāng)an分別取i＝1,2，…，n－1時，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法， 故An中所有含an項的和為(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝·nn. 所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn ＝·＋·nn ＝(nn＋1＋nn－1)， 故f(n)＝nn＋1＋nn－1.