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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 自主加餐的3大題型 選修4系列強化練（一）選修4-2 矩陣與變換（理）（含解析） 題型一　常見平面變換 1．已知變換T把平面上的點(3，－4)，(5,0)分別變換成(2，－1)，(－1,2)，試求變換T對應(yīng)的矩陣M. 解：設(shè)M＝， 由題意得， ＝， ∴解得 即M＝. 2．平面直角坐標系xOy中，直線l：x＋2y＋1＝0在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－2＝0，求實數(shù)a，b的值． 解：設(shè)坐標(x，y)在矩陣M的變換后的坐標為(x′，y′)，則有＝，于是有 解得 將上述結(jié)果代入直線l的方程得 ＋＋1＝0. 化簡得(b－6)x′＋(

2、2a＋2)y′＋ab＋6＝0.(*) 于是有＝＝. 解得或 當a＝－1，b＝6時，代入(*)式得0·x′＋0·y′＋0＝0，不符合題意，舍去． 綜上所述a＝1，b＝2. 3．設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0)，若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a＋b的值． 解：設(shè)曲線C：x2＋y2＝1上任意一點P(x，y)，在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到點P1(x1，y1)， 則＝，即 又點P1(x1，y1)在曲線C′：＋y2＝1上，所以＋y＝1，則＋(by)2＝1為曲線C的方程． 又曲線C的方程為x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1， 因為a>0

3、，b>0，所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3. [臨門一腳] 1．把點A(x，y)繞著坐標原點旋轉(zhuǎn)α角的變換，對應(yīng)的矩陣是，這個矩陣不能遺忘． 2．求點被矩陣變換后的點的坐標或求曲線被矩陣變換后的曲線所用方法是求軌跡中的相關(guān)點法． 3．求直線在矩陣作用下所得直線方程，可以取兩個特殊點求解比較簡便． 題型二　矩陣的復合、矩陣的乘法及逆矩陣 1．已知a，b是實數(shù)，如果矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把點(2,3)變成點(3,4)． (1)求a，b的值； (2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2. 解：(1)由題意，得＝， 即解得 (2)由(1)，得A＝. 由矩陣的逆矩陣公式得B＝＝. 所

4、以B2＝＝. 2．設(shè)二階矩陣A，B滿足A－1＝，(BA)－1＝，求B－1. 解：設(shè)B－1＝，因為(BA)－1＝A－1B－1， 所以＝，即 解得所以B－1＝. [臨門一腳] 1．矩陣的行列式＝ad－bc，如果ad－bc≠0，則矩陣存在逆矩陣． 2．矩陣的逆矩陣為. 3．逆矩陣求解可以用定義法求解也可以用公式求解，用公式求解時要寫出原始公式． 4．若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1，乘法順序不能顛倒． 題型三　特征值和特征向量 1．已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(－1,2)變換成(－

5、2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值． 解：(1)設(shè)M＝， 由題意，M＝＝8， M＝＝， ∴解得即M＝. (2)令特征多項式f(λ)＝＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩陣M的另一個特征值為2. 2．已知矩陣A＝，A的兩個特征值為λ1＝2，λ2＝3. (1)求a，b的值； (2)求屬于λ2的一個特征向量α. 解：(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－4)＋b＝λ2－(a＋4)λ＋4a＋b＝0， 于是λ1＋λ2＝a＋4，λ1·λ2＝4a＋b.解得a＝1，b＝2. (2)設(shè)α＝，則Aα＝＝＝ 3＝，故解得x＝y(tǒng). 所以屬

6、于λ2的一個特征向量為α＝. 3．已知矩陣M＝，β＝，計算M6β. 解：矩陣M的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，對應(yīng)的一個特征向量分別為α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3. 所以M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝4×36－3×(－1)6＝. [臨門一腳] 1．A＝是一個二階矩陣，則f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc稱為A的特征多項式． 2．矩陣M＝的特征值λ滿足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，屬于λ的特征向量α＝滿足M＝λ. 3．特征值和特征向量，可以用定義求解也可以用公式求解． 4．Mnβ的計算流程要熟悉，這也是求特征值和特征向量的應(yīng)用．