2、 A B C D
①反比例函數(shù)圖象除一般常規(guī)的性質(zhì)外，還有一條重要性質(zhì)——對(duì)稱性，反比例函數(shù)圖象既是軸對(duì)稱對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．
②判斷同一坐標(biāo)系中反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存的方法：假設(shè)其中反比例函數(shù)解析式與圖象吻合，確定k的取值范圍，然后確定一次函數(shù)的圖象，看是否相符．Ｋ
注意反比例函數(shù)的增減性需要強(qiáng)調(diào)“在每個(gè)象限內(nèi)”.
【變式訓(xùn)練1】 (xx·濱州)若點(diǎn)A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函數(shù)y＝(k為常數(shù))的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為y2＜y1＜y3．
【變式訓(xùn)練2】 (xx·菏澤)直線y＝
3、kx(k>0)與雙曲線y＝交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)，則3x1y2－9x2y1的值為36．
重難點(diǎn)2 反比例函數(shù)中k的幾何意義
(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象交矩形OABC的邊AB于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E，且BE＝2EC.
①若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為3．
方法一：坐標(biāo)法(通法)
第一步：設(shè)點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，0)．
第二步：標(biāo)其他點(diǎn)
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，∴代入得yE＝，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(a，)．
∵BE＝2EC，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，)．
又∵點(diǎn)D與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)一樣，且點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，
4、∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．
第三步：列方程
∵S四邊形ODBE＝S四邊形ODBC－S△OCE＝6，∴代入各點(diǎn)坐標(biāo)后解得，k＝3．
方法二：面積法
連接OB，∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)D，E在反比例函數(shù)圖象上，
∴S△OAD＝S△OCE＝.
又∵BE＝2EC，∴S△OBE＝2S△OCE＝k.
∵OB是矩形的對(duì)角線，
∴S△AOB＝S△BOC＝.
∴S△OBD＝S△OBE＝k.
∴S四邊形ODBE＝S△ODB＋S△OBE＝2k＝6，即k＝3.
②【拓展提問】 連接DE，若△BDE的面積為6，則k＝9．
(2)如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)D，垂
5、足為C.若△ADO的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為－．
(3)(xx·玉林)如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線y＝(x＞0)上，點(diǎn)C在雙曲線y＝(x＞0)上．若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC＝BC，則AB等于(B)
A. B．2 C．4 D．3
(4)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB＝，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，則△AOF的面積等于(D)
A．60 B．80
6、 C．30 D．40
坐標(biāo)法求k的幾何意義的步驟：第一步→設(shè)點(diǎn)．用未知數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，通常從較小的點(diǎn)開始；第二步→標(biāo)其他點(diǎn)．將圖中所用到的點(diǎn)都用假設(shè)的未知數(shù)表示；第三步→列方程．根據(jù)已知條件，一般是利用面積或?qū)Ⅻc(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式．(請(qǐng)務(wù)必將此方法學(xué)會(huì)，以應(yīng)對(duì)題型的變化)
如圖，則S△OAB＝S梯形ABCD.
如圖，結(jié)論：矩形ABCO與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則＝.
在運(yùn)用k的幾何意義確定k值時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)圖象確定k取值的范圍，否則易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤．
幾何圖形與“兩條”雙曲線相交
(4)題如果用面積法怎么做？
提示：連
7、接AB，則S△AOB＝S△AOF
重難點(diǎn)3 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
(xx·淄博改編)如圖，直線y1＝－x＋4，y2＝x＋b都與雙曲線y＝交于點(diǎn)A(1，m)，這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點(diǎn)．
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x＋b＞的解集；
(3)若點(diǎn)P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成1∶3兩部分，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【思路點(diǎn)撥】 (1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y＝，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)觀察圖象即可得出解集；(3)分兩種情況討論，CP＝3PB或CP＝BP.
【自主解答】 解：(1)將A(1，m)代
8、入y1＝－x＋4，可得
m＝－1＋4＝3.∴A(1，3)．
將A(1，3)代入雙曲線y＝，可得k＝1×3＝3.
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝.
(2)∵A(1，3)，∴當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x＋b＞的解集為x＞1.
(3)y1＝－x＋4，令y＝0，則x＝4.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．
把A(1，3)代入y2＝x＋b.可得3＝＋b.∴b＝.
∴y2＝x＋.
令y＝0，則x＝－3，即C(－3，0)．∴BC＝7.
∵AP把△ABC的面積分成1∶3兩部分，
∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝.
∴OP＝3－＝，或OP＝4－＝.∴P(－，0)或(，0)．
對(duì)于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題
9、，常涉及以下幾個(gè)方面：
1．求交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立方程組求解即可．
2．確定函數(shù)解析式：將交點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝可求k，由兩交點(diǎn)A，B坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求y＝ax＋b.
3．利用函數(shù)圖象確定不等式ax＋b＞或ax＋b＜的解集時(shí)，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析判斷：
(1)先找交點(diǎn)，以交點(diǎn)為界；
(2)觀察交點(diǎn)左右兩邊區(qū)域的兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系；
(3)根據(jù)：圖象在上方，函數(shù)值較大，圖象在下方，函數(shù)值較小，即可求出自變量的取值范圍．
4．涉及與面積有關(guān)的問題時(shí)，要善于把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形邊長的長度，對(duì)于所求圖形的邊均不在x軸、y軸或不與坐標(biāo)軸平行的時(shí)候，不便直接求，可分割為易求的規(guī)則圖形面積
10、進(jìn)行相關(guān)轉(zhuǎn)化．Ｋ
【拓展提問】 (4)設(shè)y1＝－x＋4與雙曲線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，在x軸上找一點(diǎn)Q使得QA＋QD的值最小，并寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)：(，0)．
【變式訓(xùn)練3】 (xx·濰坊改編)如圖，直線y＝3x－5與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A(2，m)，B(n，－6)兩點(diǎn)，連接OA，OB.
(1)則k＝3，n＝－；
(2)求△AOB的面積．
解：設(shè)直線y＝3x－5分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，
當(dāng)y＝0時(shí)，即3x－5＝0，x＝，∴OC＝.
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3×0－5＝－5，∴OD＝5.
∵點(diǎn)A(2，m)在直線y＝3x－5上，
∴m＝3×2－5＝1，即A(2，1)．
∴S△A
11、OB＝S△AOC＋S△COD＋S△BOD＝×(×1＋×5＋×5)＝.
求兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的關(guān)鍵點(diǎn)與例題相同——一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；求三角形面積時(shí)可采用割補(bǔ)法．
考點(diǎn)1 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．(xx·柳州)已知反比例函數(shù)的解析式為y＝，則a的取值范圍是(C)
A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)≠－2 C．a(chǎn)≠±2 D．a(chǎn)＝±2
2．(xx·海南)已知反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)P(－1，2)，則這個(gè)函數(shù)的圖象位于(D)
A．二、三象限 B．一、三象限
12、C．三、四象限 D．二、四象限
3．(xx·廣東)如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝(k2≠0)相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(A)
A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－1) D．(－2，－2)
4．(xx·衡陽)對(duì)于反比例函數(shù)y＝－，下列說法不正確的是(D)
A．圖象分布在第二、四象限
B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大
C．圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，－2)
D．若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在圖象上，且x1＜x2，則y1
13、＜y2
5．反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝－kx－k在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(C)
6．(xx·蘭州)如圖，反比例函數(shù)y＝(x<0)與一次函數(shù)y＝x＋4的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為－3，－1，則關(guān)于x的不等式
14、數(shù)的應(yīng)用
8．碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時(shí)間y(min)與裝載速度x(t/min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖(雙曲線y＝的一支)．如果以5 t/min的速度卸貨，那么卸完貨物需要時(shí)間是120min.
考點(diǎn)3 反比例函數(shù)中k的幾何意義
9．(xx·郴州)如圖，A，B是反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和4，則△OAB的面積是(B)
A．4 B．3 C．2 D．1
10．(xx·貴陽)如圖，過x軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y＝(x＞0)，y＝
15、－(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.若C為y軸任意一點(diǎn)，連接AB，BC，則△ABC的面積為．
11．(xx·煙臺(tái))如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P，已知點(diǎn)A，C，D在坐標(biāo)軸上，BD⊥DC，?ABCD的面積為6，則k＝－3．
考點(diǎn)4 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
12．(xx·成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于B(a，4)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)設(shè)M是直線AB上一點(diǎn)，過M作MN∥x軸，交反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象于點(diǎn)N.若A，O，M，N為頂點(diǎn)的四邊
16、形為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：(1)∵一次函數(shù)y＝x＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，
∴－2＋b＝0.∴b＝2.
∴y＝x＋2.
∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)
y＝(x＞0)交于B(a，4)，
∴a＋2＝4.∴a＝2.∴B(2，4)．
∴y＝(x＞0)．
(2)設(shè)M(m－2，m)，N(，m)．
當(dāng)MN∥AO且MN＝AO時(shí)，四邊形AOMN是平行四邊形．
即|－(m－2)|＝2且m＞0，
解得m＝2或m＝2＋2.
∴M的坐標(biāo)為(2－2，2)或(2，2＋2)．
13．(xx·濟(jì)南)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上一點(diǎn)，直線y＝kx＋b過點(diǎn)A并且與兩
17、坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，連接DC.若△BOC的面積是4，則△DOC的面積是2－2．
14．(xx·孝感)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，1)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第三象限的雙曲線y＝上，過點(diǎn)C作CE∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，連接BE，則△BCE的面積為7．
15．(xx·北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝(x＞0)的圖象與直線y＝x－2交于點(diǎn)A(3，m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知點(diǎn)P(n，n)(n＞0)，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，交直線y＝x－2于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y＝(x＞0)
18、的圖象于點(diǎn)N.
①當(dāng)n＝1時(shí)，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若PN≥PM，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．
解：(1)將A(3，m)代入y＝x－2，
∴m＝3－2＝1.
∴A(3，1)．
將A(3，1)代入y＝，∴k＝3×1＝3.
(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，P(1，1)．
令y＝1代入y＝x－2，∴x＝3.
∴M(3，1)．
∴PM＝2.
令x＝1代入y＝，∴y＝3.
∴N(1，3)．
∴PN＝2.
∴PM＝PN.
②P(n，n)，n＞0，P在直線y＝x上，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，交直線y＝x－2于點(diǎn)M，M(n＋2，n)，
∴PM＝2.
∵PN≥PM，即PN≥2，
∵PN＝|－n|，|－n|≥2.
∴0＜n≤1或n≥3.
（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三單元 函數(shù) 第11講 反比例函數(shù)練習(xí)
