15、∴Q(－，0)．
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為(4－8，0)或(－，0)．
1．在解答直角三角形的存在性問題時，具體方法如下：
(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論；
(2)找點：當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下：
①當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；
②當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所求點滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；
(3)計算：把圖形中的點坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從
16、而表示出三
角形的各邊(表示線段時，還要注意代數(shù)式的符號)，再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點的坐標(biāo)．(如P207T2(2)②)
2．除了探究直角三角形外，還常常探究等腰三角形的存在性，這個和直角三角形的方法類似：
(1)假設(shè)結(jié)論成立；
(2)找點：當(dāng)所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：
①當(dāng)定長為腰時，找已知直線或拋物線上滿足條件的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為符合條件的點；
②當(dāng)定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定
17、長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點，則交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無交點，則滿足條件的點不存在；
以上方法即可找出所有符合條件的點；
(3)計算：在求點的坐標(biāo)時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解．(如P207T1(3)，P208T3(3))
如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線BC交于點D(3，－4)．
(1)求直線BD和拋物線的解析式；
【思路
18、點撥】 由直線y＝2x＋2可求出B點的坐標(biāo)，把B，D兩點代入y＝－x2＋bx＋c中即可求出拋物線解析式，由B，D兩點可求出直線BD的解析式．
【答題示范】 ∵y＝2x＋2，
∴當(dāng)x＝0時，y＝2.
∴B(0，2)．
∵當(dāng)y＝0時，x＝－1，
∴A(－1，0)．
∵拋物線y＝－x2＋bx＋c過點B(0，2)，D(3，－4)，
∴解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2.
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋m，由題意，得
解得
∴直線BD的解析式為y＝－2x＋2.
(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點
19、的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
【思路點撥】 與△BOC相似的△MON，只有兩個直角頂點可以確定對應(yīng)，所以要分兩種情況討論，再利用△MON的兩條直角邊長恰好是點M的坐標(biāo)，與△BOC的兩直角邊對應(yīng)成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合條件．
【答題示范】 存在．由(1)知C(1，0)，設(shè)M(a，－a2＋a＋2)．
∵MN⊥x軸，∴∠BOC＝∠MNO＝90°，即點O與點N對應(yīng)，可分兩種情況討論：
①如圖1，當(dāng)△BOC∽△MNO時，＝.
∴＝，解得a1＝1，a2＝－2(舍)．∴M(1，2)；
②如圖2，當(dāng)△BOC∽△ONM時，＝.
∴＝
20、，解得a1＝，a2＝(舍)．
∴M(，)．
∴符合條件的點M的坐標(biāo)為(1，2)或(，)．,
探究三角形相似的存在性問題的一般思路：
解答三角形相似的存在性問題時，要具備分類討論的思想以及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及動態(tài)問題要以靜制動，動中求靜，具體如下：
(1)假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論．探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應(yīng)頂點(尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個三角形相似的題目)，或者涉及動點問題，因動點問題中點的位置不確定，此時應(yīng)考慮不同的對應(yīng)關(guān)系，分情況討論；
(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)：在分類時，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個相似三角形是否有對應(yīng)
21、相等的角，若有，找出對應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角對應(yīng)來分類討論；
(3)建立關(guān)系式，并計算．由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點的坐標(biāo)表示出來(其長度多借助勾股定理運算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應(yīng)的點的坐標(biāo)．(如P208T(3)①，P210T1(2))
(3)在直線BD上方的拋物線上有一動點P，過點P作PH垂直于x軸，交直線BD于點H，是否存在點P，使四邊形BOHP是平行四邊形，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】 點P在
22、拋物線上，可設(shè)出點P的坐標(biāo)，從而可表示出點H的坐標(biāo)，因為作PH⊥x軸，所以可得PH∥OB.要證四邊形BOHP是平行四邊形，只需證PH＝OB，再利用PH的長可列方程求出P點的坐標(biāo)．
【答題示范】 存在．
設(shè)P(t，－t2＋t＋2)，H(t，－2t＋2)．如圖3，
∵四邊形BOHP是平行四邊形，
∴BO＝PH＝2.
∵PH＝－t2＋t＋2＋2t－2＝－t2＋3t.
∴2＝－t2＋3t，解得t1＝1，t2＝2.
當(dāng)t＝1時，P(1，2)；
當(dāng)t＝2時，P(2，0)．
∴存在點P(1，2)或(2，0)，使四邊形BOHP為平行四邊形．
在解答平行四邊形的存在性問題時，具體方法
23、如下：
(1)假設(shè)結(jié)論成立；
(2)探究平行四邊形通常有兩類，一類是已知兩定點去求未知點的坐標(biāo)，一類是已知給定的三點去求未知點的坐標(biāo)．第一類，以兩定點連線所成的線段作為要探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€，畫出符合題意的平行四邊形；第二類，分別以已知三個定點中的任意兩個定點確定的線段為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€，畫出符合題意的平行四邊形；
(3)建立關(guān)系式，并計算．根據(jù)以上分類方法畫出所有符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進行計算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點坐標(biāo)求解．(如P208T
24、1(3))
類型1 探究線段最值問題
1．(xx·永州)如圖1，拋物線的頂點A的坐標(biāo)為(1，4)，拋物線與x軸相交于B，C兩點，與y軸交于點E(0，3)．
(1)求拋物線的表達式；
(2)已知點F(0，－3)，在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出點G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
(3)如圖2，連接AB，若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線，分別與線段AB.拋物線相交于點M，N(點M，N都在拋物線對稱軸的右側(cè))，當(dāng)MN最大時，求△PON的面積．
圖1 圖2
解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y＝a(x－1)
25、2＋4，
把(0，3)代入，得3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1.
∴拋物線的表達式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．
作點E關(guān)于對稱軸的對稱點E′，連接E′F交對稱軸于G，此時EG＋FG的值最小．
∵E(0，3)，拋物線對稱軸為直線x＝1，∴E′(2，3)．
易得直線E′F的解析式為y＝3x－3.
當(dāng)x＝1時，y＝3×1－3＝0.
∴G(1，0)．
(3)∵A(1，4)，B(3，0)，
易得直線AB的解析式為y＝－2x＋6.
過點N作NH⊥x軸于點H，交AB于點Q，
設(shè)N(m，－m2＋2m＋3)，則Q(m，－2m＋6)(1≤m≤3)．
∴N
26、Q＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2＋4m－3.
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM.
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB.
∴＝.∴＝.
∴MN＝－(m－2)2＋.
∵－＜0，∴當(dāng)m＝2時，MN有最大值．
過點N作NG⊥y軸于點G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，
∴△NGP∽△ADB.
∴＝＝＝.∴PG＝NG＝m.
∴OP＝OG－PG＝－m2＋2m＋3－m＝－m2＋m＋3.
∴S△PON＝OP·GN＝(－m2＋m＋3)·m.
當(dāng)m＝2時，S△PON＝×2(－4＋3＋3)＝2.
2．(xx·柳州)如圖，拋物
27、線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(，0)，B兩點(點B在點A的左側(cè))，與y軸交于點C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點H.
(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時，求m的值；
(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，HC為半徑作⊙H，點Q為⊙H上的一個動點，求AQ＋EQ的最小值．
解：(1)由題意，得A(，0)，
B(－3，0)，C(0，－3)，
設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－)，
把C
28、(0，－3)代入得到a＝，
∴拋物線的解析式為y＝x2＋x－3.
(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝60°.
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°.
∴OD＝OA·tan30°＝1.∴D(0，－1)．
∴直線AD的解析式為y＝x－1.
由題意，得P(m，m2＋m－3)，H(m，m－1)，F(xiàn)(m，0)．
∵FH＝PH，∴1－m＝m－1－(m2＋m－3)，解得m＝－或(舍去)．
∴當(dāng)FH＝HP時，m的值為－.
(3)如圖，
∵PF是對稱軸，∴F(－，0)，H(－，－2)．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°.EA＝2OA＝2.
∵C(0，－3)，
29、
∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4.
∴QH＝CH＝1.
在HA上取一點K，使得HK＝.
AK＝AH－HK＝.
∵HQ2＝1，HK·HA＝1，
∴HQ2＝HK·HA，可得△QHK∽△AHQ.
∴＝＝，即KQ＝AQ.
∴AQ＋QE＝KQ＋EQ.
∴當(dāng)E，Q，K共線時，AQ＋QE的值最小，最小值為EK＝＝＝.
類型2 探究角度問題
1．(xx·萊蕪)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE⊥BC于點E.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)如圖1，求線段DE長度的最大值；
(3)如圖2，設(shè)A
30、B的中點為F，連接CD，CF，是否存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等？若存在，求點D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
圖1 圖2
解：(1)由題意，得解得
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－x2＋x＋3.
(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，
由題意，得解得
∴y＝－x＋3.
設(shè)D(a，－a2＋a＋3)(0＜a＜4)，過點D作DM⊥x軸交BC于點M，
則M(a，－a＋3)，DM＝(－a2＋a＋3)－(－a＋3)＝－a2＋3a.
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC.∴＝.
∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5
31、.∴DE＝DM.
∴DE＝－a2＋a＝－(a－2)2＋.
∴當(dāng)a＝2時，DE取最大值，最大值是.
(3)假設(shè)存在這樣的點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等．
∵點F為AB的中點，
∴OF＝，tan∠CFO＝＝2.
過點B作BG⊥BC，交CD的延長線于點G，過點G作GH⊥x軸，垂足為H，
①若∠DCE＝∠CFO，
∴tan∠DCE＝＝2.∴BG＝10.
∵△GBH∽BCO，∴＝＝.
∴GH＝8，BH＝6.∴G(10，8)．
設(shè)直線CG的解析式為y＝k1x＋b1，
∴解得
∴直線CG的解析式為y＝x＋3.
∴解得x＝或x＝0(舍)．
②若∠CDE＝∠CFO，
32、同理可得，BG＝，GH＝2，BH＝，∴G(，2)．
同理可得，直線CG的解析式為y＝－x＋3.
∴解得x＝或x＝0(舍)．
綜上所述，存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，點D的橫坐標(biāo)為或.
2．(xx·揚州)如圖1，四邊形OABC是矩形，點A的坐標(biāo)為(3，0)，點C的坐標(biāo)為(0，6)，點P從點O出發(fā)，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A出發(fā)，同時點Q從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當(dāng)點P與點A重合時運動停止．設(shè)運動時間為t秒．
(1)當(dāng)t＝2時，線段PQ的中點坐標(biāo)為(，2)；
(2)當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；
(3)當(dāng)t＝
33、1時，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過P，Q兩點，與y軸交于點M，拋物線的頂點為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
圖1 圖2
解：(2)如圖1，∵當(dāng)點P與點A重合時運動停止，且△PAQ可以構(gòu)成三角形，∴0＜t＜3.
∵四邊形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°.
∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：
①當(dāng)△PAQ∽△QBC時，＝.
∴＝.解得t1＝3(舍)，t2＝.
②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時，＝.
∴＝.解得t＝.
∵0＜t＜3，∴x＝不符合題意，舍去．
34、
綜上所述，當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時，t的值是或.
(3)當(dāng)t＝1時，P(1，0)，Q(3，2)，
把P(1，0)，Q(3，2)代入拋物線y＝x2＋bx＋c中，得
解得
∴拋物線解析式y(tǒng)＝x2－3x＋2＝(x－)2－.
∴頂點K(，－)．
∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ∥x軸．
作拋物線對稱軸，交MQ于點E，
∴KM＝KQ，KE⊥MQ.
∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ.
如圖2，∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE.
設(shè)DQ交y軸于點H.
∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH.
∴＝.∴＝.
∴MH＝2.∴H(0，4)．
易得HQ的解析式為y＝－x＋
35、4.
則解得x1＝3(舍)，x2＝－.
∴D(－，)．
同理，在M的下方，y軸上存在點H，如圖3，使∠HQM＝∠MKQ＝∠QKE，
圖3
由對稱性得，H(0，0)，易得OQ的解析式為y＝x.
則解得x1＝3(舍)，x2＝.
∴D(，)．
綜上所述，點D的坐標(biāo)為(－，)或(，)．
類型3 探究面積問題
1．(xx·菏澤)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－5交y軸于點A，交x軸于點B(－5，0)和點C(1，0)，過點A作AD∥x軸交拋物線于點D.
(1)求此拋物線的表達式；
(2)點E是拋物線上一點，且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線A
36、D上，求△EAD的面積；
(3)若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運動到某一位置時，△ABP的面積最大，求出此時點P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積．
解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－5交x軸于點B(－5，0)和點C(1，0)，
∴
解得
∴此拋物線的表達式是y＝x2＋4x－5.
(2)∵拋物線y＝x2＋4x－5交y軸于點A，
∴點A的坐標(biāo)為(0，－5)．
∵AD∥x軸，點E是拋物線上一點，且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線AD上，
∴點E的縱坐標(biāo)是5，點E到AD的距離是10.
當(dāng)y＝－5時，－5＝x2＋4x－5，得x＝0或x＝－4.
∴點D的坐標(biāo)為(－4，－5)．
37、∴AD＝4.
∴S△EAD＝＝20.
(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(p，p2＋4p－5)，
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝mx＋n，由題意，得
解得
即直線AB的函數(shù)解析式為y＝－x－5.
當(dāng)x＝p時，y＝－p－5.
∵OB＝5，∴S△ABP＝·5＝[－(p＋)2＋]．
∵點P是直線AB下方的拋物線上一動點，
∴－5＜p＜0.
∴當(dāng)p＝－時，S取得最大值，此時S＝，點P的坐標(biāo)是(－，－)．
即點P的坐標(biāo)是(－，－)時，△ABP的面積最大，此時△ABP的面積是.
2．(xx·內(nèi)江)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A(－3，0)和點B(1，0)，交y軸于點
38、C，過點C作CD∥x軸，交拋物線于點D.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若直線y＝m(－3＜m＜0)與線段AD，BD分別交于G，H兩點，過點G作EG⊥x軸于點E，過點H作HF⊥x軸于點F，求矩形GEFH的最大面積；
(3)若直線y＝kx＋1將四邊形ABCD分成左、右兩個部分，面積分別為S1，S2，且S1∶S2＝4∶5，求k的值．
備用圖
解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A(－3，0)和點B(1，0)，
∴解得
∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.
39、
(2)由(1)知，拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3，
∴C(0，－3)．
由x2＋2x－3＝－3，得x＝0或x＝－2.
∴D(－2，－3)．
∵A(－3，0)和點B(1，0)，
∴直線AD的解析式為y＝－3x－9，直線BD的解析式為y＝x－1.
∵直線y＝m(－3＜m＜0)與線段AD，BD分別交于G，H兩點，
∴G(－m－3，m)，H(m＋1，m)．
∴GH＝m＋1－(－m－3)＝m＋4.
∴S矩形GEFH＝－m(m＋4)＝－(m2＋3m)
＝－(m＋)2＋3.
∴當(dāng)m＝－時，矩形GEFH有最大面積為3.
(3)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4.
∵C
40、(0，－3)，D(－2，－3)，∴CD＝2.
∴S四邊形ABCD＝×3×(4＋2)＝9.
∵S1∶S2＝4∶5，∴S1＝4.
設(shè)直線y＝kx＋1與線段AB相交于點M，與線段CD相交于點N，
∴M(－，0)，N(－，－3)．
∴AM＝－＋3，DN＝－＋2.
∴S1＝(－＋3－＋2)×3＝4.
∴k＝.
類型4 探究特殊三角形的存在性問題
1．(xx·赤峰)已知拋物線y＝－x2－x的圖象如圖所示：
(1)將該拋物線向上平移2個單位長度，分別交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，則平移后的解析式為y＝－x2－x＋2；
(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(3)在拋物線對稱軸上
41、是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：(2)當(dāng)y＝0時，－x2－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1，即B(－4，0)，A(1，0)．
當(dāng)x＝0時，y＝2，即C(0，2)．
AB＝1－(－4)＝5，AB2＝25，
AC2＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，BC2＝(－4－0)2＋(0－2)2＝20，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
(3)y＝－x2－x＋2的對稱軸是直線x＝－，設(shè)P(－，n)，
AP2＝(1＋)2＋n2＝＋n2，CP2＝＋(2－n)2，AC2＝12＋22＝5，
42、當(dāng)AP＝AC時，AP2＝AC2，＋n2＝5，方程無解；
當(dāng)AP＝CP時，AP2＝CP2，＋n2＝＋(2－n)2，解得n＝0，即P1(－，0)．
當(dāng)AC＝CP時AC2＝CP2，＋(2－n)2＝5，解得n1＝2＋，n2＝2－，P2(－，2＋)，P3(－，2－)．
綜上所述：使得以A，C，P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標(biāo)(－，0)，(－，2＋)，(－，2－)．
2．(xx·臨沂)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點B的坐標(biāo)為(1，0)．拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是直線AB上方
43、拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE＝DE.
①求點P的坐標(biāo)；
②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵B(1，0)，
∴OB＝1.
∵OC＝2OB＝2，
∴C(－2，0)．
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴＝2.∴AC＝6.∴A(－2，6)．
把A(－2，6)和B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2－3x＋4.
(2)①∵A(－2，6)，B(1，0)，易得AB的解析式為y＝－2x＋2.
設(shè)P(x
44、，－x2－3x＋4)，則E(x，－2x＋2)．
∵PE＝DE，∴－x2－3x＋4－(－2x＋2)＝(－2x＋2)，解得x＝1(舍)或－1.
∴P(－1，6)．
②∵M在直線PD上，且P(－1，6)，設(shè)M(－1，y)，
∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2.
BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2.
AB2＝(1＋2)2＋62＝45.
分三種情況：
i)當(dāng)∠AMB＝90°時，有AM2＋BM2＝AB2，
∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±.
∴M(－1，3＋)或(－1，3－)．
ii)當(dāng)∠ABM＝90°時，有AB2＋BM2＝AM2，
∴45＋
45、4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1.
∴M(－1，－1)．
iii)當(dāng)∠BAM＝90°時，有AM2＋AB2＝BM2，
∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝.
∴M(－1，)．
綜上所述，點M的坐標(biāo)為(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．
3．(xx·眉山)如圖1，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(0，3)，B(1，0)，其對稱軸為直線l：x＝2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上
46、，連接PE，PO，當(dāng)m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；
(3)如圖2，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
圖1 圖2
解：(1)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，由對稱性，得D(3，0)．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)(x－3)．
把A(0，3)代入，得3＝3a，a＝1.
∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.
(2)設(shè)P(m，m2－4m＋3)，
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝4
47、5°.
∴△AOE是等腰直角三角形．
∴AE＝OA＝3.∴E(3，3)．
易得OE的解析式為y＝x.
過P作PG∥y軸，交OE于點G，∴G(m，m)．
∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3.
∴S四邊形AOPE＝S△AOE＋S△POE＝×3×3＋PG·AE＝＋×3×(－m2＋5m－3)＝－m2＋＝－(m－)2＋.
∵－＜0，∴當(dāng)m＝時，S有最大值是.
(3)當(dāng)點P在對稱軸左側(cè)時，過點P作MN⊥y軸，交y軸于點M，交l于點N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，
易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN.
∵P(m，m2－4m＋3)，則－m2＋4m－3＝2－
48、m，
解得m＝或.
∴P的坐標(biāo)為(，)或(，)．
當(dāng)P在對稱軸右側(cè)時，過P′作M′N′⊥x軸于點N′，過F′作F′M′⊥M′N′于點M′，
同理得，△ON′P′≌△P′M′F′，∴P′N′＝F′M′.
則－m2＋4m－3＝m－2，解得x＝或；
P′的坐標(biāo)為(，)或(，)．
綜上所述，點P的坐標(biāo)是：(，)或(，)或(，)或(，)．
類型5 探究特殊四邊形存在性問題
1．(xx·自貢)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標(biāo)為－2，點P(m，n)是線段AD上的動點．
(1)求直線AD及拋物線的解析式
49、；
(2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時，PQ最長？
(3)在平面內(nèi)是否存在整點R(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))，使得P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)代入拋物線解析式，得
解得
∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.
∴當(dāng)x＝－2時，y＝－3，即D(－2，－3)．
設(shè)AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，D(－2，－3)代入，得
解得
∴直線AD的解析式為y＝x－1.
(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－
50、3)，
∴l(xiāng)＝(m－1)－(m2＋2m－3)＝－(m＋)2＋.
∴當(dāng)m＝－時，l最大＝，即PQ長度最長為.
(3)由(2)可知，0＜PQ≤.當(dāng)PQ為邊時，DR∥PQ且DR＝PQ.
∵R是整點，D(－2，－3)，∴PQ是正整數(shù)．
∴PQ＝1或2.當(dāng)PQ＝1時，DR＝1.
此時點R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋1＝－2或－3－1＝－4，
∴R(－2，－2)或R(－2，－4)．
當(dāng)PQ＝2時，DR＝2.
此時點R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋2＝－1或－3－2＝－5.
∴R(－2，－1)或R(－2，－5)．
當(dāng)QR為邊時，QR∥DP，且QR＝DP.
設(shè)點R的坐標(biāo)為(n，n＋m
51、2＋m－3)，則QR2＝2(m－n)2.
又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2.
∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2.
∴點R的坐標(biāo)為(2m＋2，m2＋3m－1)．
∵R是整點，－2＜m＜1，
∴當(dāng)m＝－1時，點R的坐標(biāo)為(0，－3)；
當(dāng)m＝0時，點R的坐標(biāo)為(2，－1)．
綜上所述，存在滿足R的點，它的坐標(biāo)為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．
2．(xx·齊齊哈爾)綜合與探究
如圖1所示，直線y＝x＋c與x軸交于點A(－4，0)，與
52、y軸交于點C，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A，C.
(1)求拋物線的解析式；
(2)點E在拋物線的對稱軸上，求CE＋OE的最小值；
(3)如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P，N.
①若以C，P，N為頂點的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為或4；
②若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點D，使以點D，F(xiàn)，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
注：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(－，)
圖1
53、 圖2
解：(1)將A(－4，0)代入y＝x＋c，∴c＝4.
將A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，
∴b＝－3.
∴拋物線解析式為y＝－x2－3x＋4.
(2)作點C關(guān)于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′，連接OC′，交直線l于點E.連接CE，此時CE＋OE的值最?。?
∵拋物線對稱軸為直線x＝－，∴CC′＝3.
由勾股定理，得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值為5.
②存在．
設(shè)M坐標(biāo)為(a，0)，
則N為(a，－a2－3a＋4)．
則P點坐標(biāo)為(a，)．
把點P坐標(biāo)代入y＝x＋4.
解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1，則P(－1，3)．
當(dāng)PF＝FM時，
54、點D在PM的垂直平分線上，則D(，)．
當(dāng)PM＝PF時，由菱形性質(zhì)得，點D坐標(biāo)為(－1＋，)或(－1－，－)．
當(dāng)MP＝MF時，M，D關(guān)于直線y＝x＋4對稱，點D坐標(biāo)為(－4，3)．
類型6 探究全等、相似三角形的存在性問題
1．(xx·衡陽)如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸，y軸于點A，B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D.
(1)若拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4，設(shè)其頂點為M，其對稱軸交AB于點N.
①求點M，N的坐標(biāo)；
②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；
(2)當(dāng)點P的橫坐
55、標(biāo)為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
解：(1)①如圖1，
圖1
∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋，
∴頂點為M的坐標(biāo)為(，)．
當(dāng)x＝時，y＝－2×＋4＝3，則點N坐標(biāo)為(，3)．
②不存在．理由如下：
MN＝－3＝.
設(shè)P點坐標(biāo)為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)，
∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m.
∵PD∥MN，
當(dāng)PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝.
56、此時P點坐標(biāo)為(，1)．
∵PN＝＝，∴PN≠MN.
∴平行四邊形MNPD不為菱形．
∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．
(2)存在．
如圖2，OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2.
圖2
當(dāng)x＝1時，y＝－2x＋4＝2，則P(1，2)．
∴PB＝＝.
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋4.
把A(2，0)代入，得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2.
∴拋物線的解析式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4.
當(dāng)x＝1時，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，則D(1，2－a)．
∴PD＝2－a－2＝－a.
∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA.
57、
∴當(dāng)＝時，△PDB∽△BOA，即＝，解得a＝－2，此時拋物線解析式為y＝－2x2＋2x＋4.
當(dāng)＝時，△PDB∽△BAO，即＝，解得a＝－，此時拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋4.
綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4.
2．如圖，拋物線y＝ax2＋c(a≠0)與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點(點C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過點C時，與x軸的另一交點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H.
(1)求a，c的值；
(2)連接OF，試判斷△OEF是
58、否為等腰三角形，并說明理由；
(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P，Q，E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
圖1 圖2
圖3 圖4
圖5 圖6
解：(1)∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OA＝BC.
又∵S△ABC＝BC·OA＝4，即OA2＝4，
∴OA＝2.
∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．
∴解得
∴a＝－，c＝2.
(2)△OEF是等腰三角形．理由如下：
如圖1，
59、∵A(0，2)，B(－2，0)，
∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝x＋2.
又∵平移后的拋物線頂點F在射線BA上，
∴設(shè)頂點F的坐標(biāo)為(m，m＋2)．
∴平移后的拋物線函數(shù)表達式為y＝－(x－m)2＋m＋2.
∵拋物線過點C(2，0)．
∴－(2－m)2＋m＋2＝0.解得m1＝0(舍去)，m2＝6.
∴平移后的拋物線函數(shù)解析式為y＝－(x－6)2＋8，即y＝－x2＋6x－10.
當(dāng)y＝0時，－x2＋6x－10＝0，
解得x1＝2，x2＝10.
∴E(10，0)，OE＝10.
又∵F(6，8)，OH＝6，F(xiàn)H＝8.
∴OF＝＝＝10.
∴OE＝OF，即△OEF為等腰三角形．
60、
(3)存在．點Q的位置分兩種情形：
情形一：點Q在射線HF上，
當(dāng)點P在x軸上方時，如圖2.
∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10.
在Rt△QHE中，QH＝＝＝2，∴Q(6，2)；
當(dāng)點P在x軸下方時，如圖3，有PQ＝OE＝10，
過P點作PK⊥HF于點K，則PK＝6.
在Rt△PQK中，QK＝＝＝8.
∵∠PQE＝90°，∴∠PQK＋∠HQE＝90°.
∵∠HQE＋∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ.
又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，
∴△PKQ∽△QHE.
∴＝，即＝，解得QH＝3.
∴Q(6，3)．
情形二：點Q在射線AF上，
當(dāng)PQ＝OE＝1
61、0時，如圖4，有QE＝PO，
∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標(biāo)為10.
當(dāng)x＝10時，y＝x＋2＝12，∴Q(10，12)．
當(dāng)QE＝OE＝10時，如圖5.
過Q點作QM⊥y軸于點M，過E點作x軸的垂線交QM于點N.
設(shè)Q的坐標(biāo)為(x，x＋2)，
∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2.
在Rt△QEN中，QE2＝QN2＋EN2，
即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±.
當(dāng)x＝4＋時，如圖5，y＝x＋2＝6＋，
∴Q(4＋，6＋)．
當(dāng)x＝4－時，如圖6，y＝x＋2＝6－，
∴Q(4－，6－)．
綜上所述，存在點Q(6，2)或(6，3)或(10，
62、12)或(4＋，6＋)或(4－，6－)，使以P，Q，E三點為頂點的三角形與△POE全等．
類型7 反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合
1．(xx·宜昌)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點A，B的坐標(biāo)分別為A(－6，0)，B(0，4)．過點C(－6，1)的雙曲線y＝(k≠0)與矩形OADB的邊BD交于點E.
(1)填空：OA＝6，k＝－6，點E的坐標(biāo)為(－，4)；
(2)當(dāng)1≤t≤6時，經(jīng)過點M(t－1，－t2＋5t－)與點N(－t－3，－t2＋3t－)的直線交y軸于點F，點P是過M，N兩點的拋物線y＝－x2＋bx＋c的頂點．
①當(dāng)點P在雙曲線y＝上時，求證：
63、直線MN與雙曲線y＝?jīng)]有公共點；
②當(dāng)拋物線y＝－x2＋bx＋c與矩形OADB有且只有三個公共點，求t的值；
③當(dāng)點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．
解：(1)∵A點坐標(biāo)為(－6，0)，∴OA＝6.
∵點C(－6，1)在雙曲線y＝上，∴k＝－6.
當(dāng)y＝4時，x＝－＝－.
∴點E的坐標(biāo)為(－，4)．
(2)①證明：設(shè)直線MN解析式為y1＝k1x＋b1.
由題意，得解得
∵拋物線y＝－x2＋bx＋c過點M，N，
∴解得
∴拋物線解析式為y＝－x2－x＋5t－2.
∴頂點P坐標(biāo)為(－1，5t－)．
64、
∵P在雙曲線y＝－上，
∴(5t－)×(－1)＝－6.∴t＝.
此時直線MN解析式為y＝x＋.
聯(lián)立
∴8x2＋35x＋48＝0.
∵Δ＝352－4×8×48＝1 225－1 536＜0，
∴直線MN與雙曲線y＝－沒有公共點．
②當(dāng)拋物線過點B，此時拋物線y＝－x2＋bx＋c與矩形OADB有且只有三個公共點，
∴4＝5t－2，得t＝.
當(dāng)拋物線頂點在線段DB上，此時拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點，
∴5t－＝4，得t＝.
∴t＝或t＝.
③∵點P的坐標(biāo)為(－1，5t－)，∴yP＝5t－.
當(dāng)1≤t≤6時，yP隨t的增大而增大，此時，點P在直線x＝－1上向上
65、運動．
∵點F的坐標(biāo)為(0，－t2＋4t－)，
∴yF＝－(t－4)2＋.
∴當(dāng)1≤t≤4時，yF隨t的增大而增大．
此時，隨著t的增大，點F在y軸上向上運動．
∴1≤t≤4.
當(dāng)t＝1時，直線MN：y＝x＋3與x軸交于點G(－3，0)，與y軸交于點H(0，3)．
當(dāng)t＝4－時，直線MN過點A.
∴當(dāng)1≤t≤4時，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為S＝S四邊形AEBO－S△GHO＝×(＋6)×4－×3×3＝.
類型8 其他問題
1．(xx·武漢)拋物線L：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A(0，1)，與它的對稱軸直線x＝1交于點B.
(1)直接寫出拋物線L的
66、解析式；
(2)如圖1，過定點的直線y＝kx－k＋4(k＜0)與拋物線L交于點M，N.若△BMN的面積等于1，求k的值；
(3)如圖2，將拋物線L向上平移m(m＞0)個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D.F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應(yīng)點P的坐標(biāo)．
圖1 圖2
解：(1)由題意，知解得
∴拋物線L的解析式為y＝－x2＋2x＋1.
(2)∵y＝kx－k＋4＝k(x－1)＋4，
∴當(dāng)x＝1時，y＝4，即該直線所過定點G坐標(biāo)為(1，4)．
∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，
∴點B(1，2)．則BG＝2.
∵S△BMN＝1，即S△BNG－S△BMG＝BG·xN－BG·xM＝1，∴xN－xM＝1.
由得x2＋(k－2)x－k＋3＝0.
解得x＝.
則xN＝，xM＝.
由xN－xM＝1，得＝1，∴k＝±3.
∵k＜0，∴k＝－3.
(3)設(shè)拋物線L1的解析式為y＝－x2＋2x＋1
（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題復(fù)習(xí)（七）函數(shù)與幾何綜合探究題練習(xí)
