《（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十六單元 概率學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十六單元 概率學(xué)案 理（36頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十六單元 概率學(xué)案 理 互斥事件與對(duì)立事件 事件 定義 性質(zhì) 互斥事件 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，(事件A，B是互斥事件)； P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(事件A1，A2，…，An任意兩個(gè)互斥) 對(duì)立事件 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，兩個(gè)試驗(yàn)不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生的事件A和稱為對(duì)立事件 P()＝1－P(A) C．0.97 D．0.08 解析：選A　記事件A：“生產(chǎn)的產(chǎn)品為甲級(jí)品”，B：“生產(chǎn)的產(chǎn)品為

2、乙級(jí)品”，C：“生產(chǎn)的產(chǎn)品為丙級(jí)品”，則P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C兩兩互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92. [清易錯(cuò)] 易忽視互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系而致誤 互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件． 在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是(　　) A．A∪B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件 B．B∪C與D是互斥事件，

3、也是對(duì)立事件 C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對(duì)立事件 D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對(duì)立事件 解析：選D　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個(gè)必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件． 古典概型 [過雙基] 1．特點(diǎn)： (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性． (2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性． 2．古典概型概率公式： P(A)＝. 　 1．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)

4、小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有9種，其中，甲、乙參加同一小組的情況有3種．故甲、乙參加同一個(gè)興趣小組的概率P＝＝. 2．5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5，從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張的所有基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)

5、，其中取出2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的基本事件為(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4個(gè)，所以從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，取出2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為＝. 3．盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個(gè)球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由題可得，滿足要求的所有基本事件數(shù)為6×9＝54，第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的基本事件數(shù)為6×5＝30.所以由古典概型可知，P＝＝. [清易錯(cuò)] 1．在計(jì)算古典概型中試驗(yàn)的所有結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生結(jié)果時(shí)，易忽視他們是否是等

6、可能的． 2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0. 1．一個(gè)袋子里裝有紅、黃、綠三種顏色的球各2個(gè)，這6個(gè)球除顏色外完全相同，從中摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由題意知，摸出2個(gè)球的事件數(shù)共15個(gè)，至少有1個(gè)是紅球的對(duì)立事件為兩個(gè)均不是紅球，事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，設(shè)兩個(gè)均不是紅球?yàn)槭录嗀，則P(A)＝＝，所以其對(duì)立事件2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率P＝1－＝. 2．從一副混合后的撲克牌(除去大、

7、小王52張)中，隨機(jī)抽取1張．事件A為“抽到紅桃K”，事件B為“抽到黑桃”，則P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)． 解析：∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. 答案： 幾何概型 [過雙基] 1．定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型． 2．特點(diǎn)： (1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能的． 3．公式： P(A)＝. 　 1．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤log(

8、x＋1)≤1”不發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　因?yàn)椋?≤log(x＋1)≤1，所以－≤x≤2，所以所求事件的概率為1－＝. 2．已知點(diǎn)P，Q為圓C：x2＋y2＝25上的任意兩點(diǎn)，且|PQ|＜6，若PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域M如圖陰影部分所示，那么在C內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為＝. 3．(2018·西寧復(fù)習(xí)檢測(cè))已知球O內(nèi)切于棱長(zhǎng)為2的正方體，若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為________． 解析：由題意知球的半徑為1，

9、其體積為V球＝，正方體的體積為V正方體＝23＝8， 則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率P＝1－＝1－. 答案：1－ 4．?dāng)?shù)軸上有四個(gè)間隔為1的點(diǎn)依次為A，B，C，D，在線段AD上隨機(jī)取一點(diǎn)E，則E點(diǎn)到B，C兩點(diǎn)的距離之和小于2的概率為________． 解析：如圖，數(shù)軸上AD＝3，而到B，C兩點(diǎn)的距離之和小于2的點(diǎn)E在線段MN內(nèi)，且MN＝－＝2，所以E點(diǎn)到B，C兩點(diǎn)的距離之和小于2的概率P＝＝. 答案： 一、選擇題 1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　　) A．至少有1個(gè)白球，都是紅球 B．至少有1個(gè)白球，至多有1個(gè)紅球 C．恰有1個(gè)

10、白球，恰有2個(gè)白球 D．至多有1個(gè)白球，都是紅球 解析：選C　從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球共有三種可能：兩個(gè)白球、兩個(gè)紅球、一個(gè)白球和一個(gè)紅球，三者互斥，“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件，“至少有1個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”不互斥，“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”互斥不對(duì)立，故選C. 2．一批產(chǎn)品次品率為4%，正品中一等品率為75%.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一等品的概率為(　　) A．0.75　　　　　　　　 B．0.71 C．0.72 D．0.3 解析：選C　由題意可知，正品率為96%， 因?yàn)檎分幸坏绕仿蕿?5%， 所以一等品率為96%

11、×75%＝72%， 所以任取一件產(chǎn)品，恰好是一等品的概率為0.72. 3．如圖，在一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長(zhǎng)為1 m的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒1 000顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)的黃豆數(shù)為375，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出該不規(guī)則圖形的面積為(　　) A.m2 B．2 m2 C.m2 D．3 m2 解析：選A　由幾何概型的概率計(jì)算公式及題意可近似得到＝，所以該不規(guī)則圖形的面積大約為＝ (m2)． 4．拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之積為6的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由題意拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)所有可能情況為(1

12、,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種情況，其中點(diǎn)數(shù)之積為6的情況為(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4種情況，故所求概率為P＝＝. 5．一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　依題意，小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心

13、且棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)，這個(gè)小正方體的體積為1，大正方體的體積為33＝27，故根據(jù)幾何概型得安全飛行的概率為P＝. 6．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．1 解析：選C　標(biāo)記5件產(chǎn)品中的次品為1,2，合格品為3,4,5.從這5件產(chǎn)品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的總數(shù)為10.“從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，

14、(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6種取法，所以恰有一件次品的概率P＝＝0.6. 7．將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次共有36種結(jié)果．方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根，則Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，其包含的結(jié)果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19種，由古典

15、概型的概率計(jì)算公式可得P＝. 8．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋(y－1)2≤1，則x－y＋2≤0的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　如圖，x2＋(y－1)2≤1表示圓心為(0,1)，半徑為1的圓面，面積為π；同時(shí)，x－y＋2≤0表示圓面內(nèi)在x－y＋2＝0左上方的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域，連接CB，則CA⊥CB，陰影部分的面積為－×1×1＝－，由幾何概型的概率公式得P＝. 二、填空題 9．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為________． 解析：如圖，可設(shè)與的長(zhǎng)度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是

16、. 答案： 10．在圓x2＋y2＝4所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，則|x|＋|y|≤2的概率為________． 解析：不等式|x|＋|y|≤2表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，則|x|＋|y|≤2的概率為P＝＝. 答案： 11．在一個(gè)不透明的空袋子里，放入僅顏色不同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球后不放回，再從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，兩次都摸到紅球的概率為________． 解析：畫樹狀圖為： 紅紅白　紅白紅　白紅紅 共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都摸到紅球的結(jié)果數(shù)為2，則隨機(jī)摸出1個(gè)球，兩次都摸到紅球的概率為. 答案： 12．高一年級(jí)某班有63名學(xué)生，現(xiàn)

17、要選一名學(xué)生標(biāo)兵，每名學(xué)生被選中是等可能的，若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的，則這個(gè)班的男生人數(shù)為________． 解析：根據(jù)題意，設(shè)該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63－x，因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中是等可能的，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是，“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故這個(gè)班的男生人數(shù)為33. 答案：33 三、解答題 13．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時(shí)間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50

18、50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑． 解：(1)由題意知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率約為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，由調(diào)查結(jié)果得：

19、 所用時(shí)間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)A1，A2分別表示甲選擇L1，L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站； B1，B2分別表示乙選擇L1，L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)>P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.

20、9， ∵P(B2)>P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2. 14．在某高校自主招生考試中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人． (1)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)； (2)若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分； (3)已知參加本考場(chǎng)測(cè)試的考生中，恰有兩人的兩科成績(jī)均為A.在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，求這兩人的兩科成績(jī)均

21、為A的概率． 解：(1)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有＝40(人)， 所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3. (2)由圖知，“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)镈的頻率為1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9. (3)因?yàn)閮煽瓶荚囍?，共?個(gè)得分等級(jí)為A，又恰有兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A，所以還有2人只有一個(gè)科目得分為A，設(shè)這四人為甲，

22、乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績(jī)都是A的同學(xué)，則在至少一科成績(jī)等級(jí)為A的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，基本事件空間為Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6個(gè)基本事件．設(shè)“隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的為事件B，所以事件B中包含的基本事件有1個(gè)，則P(B)＝.高考研究課(一) 古典概型命題2類型——簡(jiǎn)單問題、交匯問題 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 古典概型 5年4考 求古典概型的概率 古典概型的簡(jiǎn)單問題 [典例]　(1)有五條長(zhǎng)度分別為1,3,5,7,9的線段，若從這五條線段中任取三

23、條，則所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. (2)(2017·山東高考)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游． ①若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率； ②若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率． [解]　(1)由題意，從這五條線段中任取三條，有10種不同的取法，其中所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3種不同的取法，所以所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為. 答

24、案：B (2)①由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)國(guó)家，其所有可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè)． 所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè)． 則所求事件的概率為P＝＝. ②從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，其所有可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3

25、}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè)． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)， 則所求事件的概率為P＝. [方法技巧] 計(jì)算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的總個(gè)數(shù)n； (2)求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m； (3)代入公式求出概率P.解題時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇列舉法、列表法或樹狀圖法．　　 [即時(shí)演練] 1．袋中裝有大小、形狀完全相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．

26、 解析：從袋中一次摸出兩個(gè)球，總的事件個(gè)數(shù)為6.摸出兩個(gè)相同顏色球只有兩個(gè)黃球，所以2只球顏色相同的概率為，所以這2只球顏色不同的概率為1－＝. 答案： 2．一所學(xué)校計(jì)劃舉辦“國(guó)學(xué)”系列講座．由于條件限制，按男、女生比例采取分層抽樣的方法，從某班選出10人參加活動(dòng)，在活動(dòng)前，對(duì)所選的10名同學(xué)進(jìn)行了國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試，這10名同學(xué)的性別和測(cè)試成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示. (1)根據(jù)這10名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)，分別估計(jì)該班男、女生國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試的平均成績(jī)； (2)這10名同學(xué)中男生和女生的國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試成績(jī)的方差分別為s，s，試比較s與s的大小(只需直接寫出結(jié)果)； (3)若從這10名同學(xué)中

27、隨機(jī)選取一男一女兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試成績(jī)均為優(yōu)良的概率．(注：成績(jī)大于等于75分為優(yōu)良)． 解：(1)設(shè)這10名同學(xué)中男、女生的平均成績(jī)分別為1，2. 則1＝＝73.75， 2＝＝76， 故該班男、女生國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試的平均成績(jī)分別為73.75,76. (2)s

28、(a1，b6)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(a2，b6)， (a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a3，b5)，(a3，b6)， (a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a4，b5)，(a4，b6)， 共24種． 其中兩名同學(xué)均為優(yōu)良的取法有： (a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(a2，b6)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a3，b5)，(a3，b6)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a4，b5)，(a4，b6)，共12種， 所以P(A)＝＝，即兩名同

29、學(xué)成績(jī)均為優(yōu)良的概率為. 古典概型的交匯命題問題　　　　　 古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯命題，命題的角度新穎，考查知識(shí)全面，能力要求較高. 常見的命題角度有： (1)古典概型與平面向量相結(jié)合； (2)古典概型與直線、圓相結(jié)合； (3)古典概型與函數(shù)相結(jié)合； (4)古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合. 角度一：古典概型與平面向量相結(jié)合 1．(2018·威海調(diào)研)從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可知m＝(a，b)有：(

30、2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況． 因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0， 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b， 滿足條件的有(3,3)，(5,5)，共2種情況， 故所求的概率為. 角度二：古典概型與直線、圓相結(jié)合 2．某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率為________． 解析：∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是先后擲兩次骰子，共有6×6＝36種結(jié)果， 滿足條件的

31、事件是以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上， 則(x，y)為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3種結(jié)果， ∴根據(jù)古典概型的概率公式得以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率P＝＝. 答案： 角度三：古典概型與函數(shù)相結(jié)合 3．已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率； (2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 解：(1)由題意知，總的基

32、本事件的個(gè)數(shù)是3×5＝15. ∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對(duì)稱軸為x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1，即2b≤a時(shí)． 若a＝1，則b＝－1； 若a＝2，則b＝－1,1； 若a＝3，則b＝－1,1. ∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5， ∴所求事件的概率P＝＝. (2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋础鱋AB部分；構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)椤鱋AC部分． 由得交點(diǎn)坐標(biāo)C， ∴由幾何概型概率公式得

33、所求事件的概率 P＝＝. 角度四：古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合 4．某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為： [40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率； (3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率． 解：(1)因?yàn)?0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.

34、 (2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4. (3)受訪職工中評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3； 受訪職工中評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2. 從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因?yàn)樗?/p>

35、取2人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為. [方法技巧] 解決與古典概型交匯命題的問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．　　 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個(gè)不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a＞b的數(shù)組共有10個(gè)，分別為(2,1)，(3,1)，(3,

36、2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確的開機(jī)密碼只有1種，

37、∴P＝. 3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為. 4．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1

38、種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為________． 解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍(lán))，(藍(lán)，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共9種，他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種．故所求概率為P＝＝. 答案： 5．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最

39、高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為4

40、50瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． 解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)， 則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高氣溫低于20， 則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)

41、且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. 一、選擇題 1．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán)

42、)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝＝. 2．先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　骰子的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)基本事件為(x，y)，共有6×6＝36個(gè)，記兩次點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的事件為A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9個(gè)，所以兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P(A)＝＝. 3．高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽期間，某賓館隨機(jī)安排五名男生入住3個(gè)標(biāo)間(每個(gè)標(biāo)間至多住2人)，則A，B入住同一標(biāo)間的概率為(

43、　　) A. B. C. D. 解析：選B　記A，B入住同一標(biāo)間的概率為P，某賓館隨機(jī)安排五名男生入住3個(gè)標(biāo)間(每個(gè)標(biāo)間至多住2人)共有A＝90種不同的方法，A，B入住同一標(biāo)間有CA＝18種不同的方法，∴P＝＝. 4．(2018·泉州質(zhì)檢)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)，稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321

44、，共6個(gè)；同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個(gè)；由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)；由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)．所以共有4×6＝24個(gè)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,312,314,412,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”．所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 5．高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，則甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，基本事件總數(shù)n＝24＝16，甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的對(duì)立事件是4位考生都參觀甲大

45、學(xué)或4位考生都參觀乙大學(xué)，所以甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率P＝1－－＝. 6．a(chǎn)，b，c，d，e是從集合{1,2,3,4,5}中任取的5個(gè)元素(不允許重復(fù))，則abc＋de為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)，將這5個(gè)數(shù)分組可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10組，其中能使abc＋de為奇數(shù)的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，

46、(245,13)，共有4組，所以abc＋de為奇數(shù)的概率P＝＝. 7．拋擲質(zhì)地均勻的甲、乙兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則<|b－a2|<6－a成立的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意知(a，b)的所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，設(shè)“<|b－a2|<6－a成立”為事件A，則事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7種，故P(A)＝. 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0

47、,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2， 要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根， 即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b. 又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種， 故所求的概率P＝＝. 二、填空題 9．若從正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的概率是________． 解析：由任何三點(diǎn)不共線，則共有C＝56個(gè)三角形，8個(gè)

48、等分點(diǎn)可得4條直徑，可構(gòu)成直角三角形有4×6＝24個(gè)，所以構(gòu)成直角三角形的概率P＝＝. 答案： 10．從－1,0,1,3,4這五個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)記為a，則使曲線y＝的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組無解的概率為________． 解析：曲線y＝的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組無解，即7－3a>0且a≤3，所以a<，所以a可?。?,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝. 答案： 11．從－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為________． 解析：當(dāng)方程－＝1表示橢圓、雙曲線、拋

49、物線等圓錐曲線時(shí)，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7種，其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4種，所以所求概率P＝. 答案： 12．設(shè)集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，設(shè)“點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的值為________． 解析：由題意

50、知，點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有情況為(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9種． 當(dāng)n＝0時(shí)，落在直線x＋y＝0上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，共1種； 當(dāng)n＝1時(shí)，落在直線x＋y＝1上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)和(1,0)，共2種； 當(dāng)n＝2時(shí)，落在直線x＋y＝2上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3種； 當(dāng)n＝3時(shí)，落在直線x＋y＝3上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，(2,1)，共2種； 當(dāng)n＝4時(shí)，落在直線x＋y＝4上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，共1種． 因此，當(dāng)Cn的概率最大時(shí)，n＝2. 答案：2 三、解答題 1

51、3．有一枚正方體骰子，六個(gè)面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6，規(guī)定拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后面向上的那一個(gè)數(shù)字．已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)． (1)若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3，求再次拋擲骰子時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)的概率； (2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 解：(1)記“函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)”為事件A， 由題意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6， ∴所有的基本事件為(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6個(gè)． 當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2

52、＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)時(shí)，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根，即Δ＝b2－4c≥0， ∴c≤，∴c＝1或2， 即事件A包含2個(gè)基本事件， ∴函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)的概率P(A)＝＝. (2)由題意可知，所有的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36個(gè)． 記“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)”為事件B. ∵y＝f(x)的圖象開口向上， ∴要想使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)， 只需－≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6. ∴事件B包含的基本事件

53、有6個(gè)． ∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率 P(B)＝＝. 14．學(xué)校組織學(xué)生參加某項(xiàng)比賽，參賽選手必須有很好的語言表達(dá)能力和文字組織能力．學(xué)校對(duì)10位已入圍的學(xué)生進(jìn)行語言表達(dá)能力和文字組織能力的測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： 　　　語言表達(dá)能力 文字組織能力　　　 A B C A 2 2 0 B 1 a 1 C 0 1 b 由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這10位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到語言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生的概率為. (1)求a，b的值； (2)從測(cè)試成績(jī)均為A或B的學(xué)生中任

54、意抽取2位，求其中至少有一位語言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率． 解：(1)依題意可知，語言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生共有(b＋2)人， 所以＝，a＋b＝3， 解得b＝1，a＝2. (2)測(cè)試成績(jī)均為A或B的學(xué)生共有7人，其中語言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有2人，設(shè)為b1，b2，其余5人設(shè)為a1，a2，a3，a4，a5. 則基本事件空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a

55、3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}． 所以基本事件空間總數(shù)為21. 選出的2人語言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有(b1，b2)． 所以至少有一位語言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率P＝1－＝. 1．若x∈A的同時(shí)，還有∈A，則稱A是“好搭檔集合”，在集合B＝的所有非空子集中任選一集合，則該集合是“好搭檔集合”的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可得，集合B的非空子集有25－1＝31個(gè)，其中是“好搭檔集合”的有：{1}，，，，，，，共7個(gè)，所以該集合是“好搭檔集合”的概

56、率為P＝. 2．“累積凈化量(CCM)”是空氣凈化器質(zhì)量的一個(gè)重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為50%時(shí)對(duì)顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801-2015《空氣凈化器》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)空氣凈化器的累積凈化量(CCM)有如下等級(jí)劃分： 累積凈化量(克) (3,5] (5,8] (8,12] 12以上 等級(jí) P1 P2 P3 P4 為了了解一批空氣凈化器(共2 000臺(tái))的質(zhì)量，隨機(jī)抽取n臺(tái)機(jī)器作為樣本進(jìn)行估計(jì)，已知這n臺(tái)機(jī)器的累積凈化量都分布在區(qū)間(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均勻分組，

57、其中累積凈化量在(4,6]的所有數(shù)據(jù)有：4.5,4.6,5.1,5.2,5.7和5.9，并繪制了如下頻率分布直方圖． (1)求n的值及頻率分布直方圖中的x值； (2)以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)這批空氣凈化器(共2 000臺(tái))中等級(jí)為P2的空氣凈化器有多少臺(tái)？ (3)從累積凈化量在(4,6]的樣本中隨機(jī)抽取2臺(tái)，求恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率． 解：(1)∵在(4,6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個(gè)， 再由頻布直方圖得，落在(4,6]之間的頻率為0.03×2＝0.06， ∴n＝＝100. 由頻率分布直方圖的性質(zhì)得： (0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1， 解得x＝0.06

58、. (2)由頻率分布直方圖可知，落在(6,8]之間共0.12×2×100＝24臺(tái)， 又∵在(5,6]之間共4臺(tái)， ∴落在(5,8]之間共28臺(tái)， ∴估計(jì)這批空氣凈化器(共2 000臺(tái))中等級(jí)為P2的空氣凈化器有×2 000＝560臺(tái)． (3)設(shè)“恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2”為事件B， 依題意落在(4,6]之間共6臺(tái)，屬于國(guó)標(biāo)P2級(jí)的有4臺(tái)， 則從(4,6]中隨機(jī)抽取2臺(tái)，基本事件總數(shù)n＝C＝15，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝C·C＝8， ∴恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率P(B)＝＝. 高考研究課(二) 幾何概型命題3角度——長(zhǎng)度(角度)、面積、體積 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn)

59、 考查頻度 考查角度 長(zhǎng)度型 5年1考 求概率 面積型 5年2考 求概率、隨機(jī)模擬求近似值 體積型 未考查 與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型 [典例]　(1)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則直線y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率為________． (2)如圖，在等腰直角△ABC中，過直角頂點(diǎn)C作射線CM交AB于M，則使得AM小于AC的概率為________． [解析]　(1)因?yàn)橹本€y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離d＝≤1， 則－≤k≤，區(qū)間長(zhǎng)度為， 所以所求事件的概率P＝＝. (2)當(dāng)AM＝AC

60、時(shí)，△ACM為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5°. 當(dāng)∠ACM＜67.5°時(shí)，AM＜AC， 所以AM小于AC的概率 P＝＝. [答案]　(1)　(2) [方法技巧] 1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解． 2．與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．　　 [即時(shí)演練] 1．(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是_______

61、_． 解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率P＝＝. 答案： 2.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________． 解析：因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為＝. 答案： 與體積有關(guān)的幾何概型 [典例]　(2018·煙臺(tái)模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． [解析]　由題意，在正方體ABCD

62、-A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)，滿足幾何概型，記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A，則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．又V正方體ABCD-A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝·π·13＝π， ∴所求事件概率P(A)＝＝1－. [答案]　1－ [方法技巧] 與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn) 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求．　　 [即時(shí)演練] 1．在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為(　　) A．0.0

63、08　　　　　　 B．0.004 C．0.002 D．0.005 解析：選D　大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的，且結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)取出2毫升水樣有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)＝＝0.005. 2．已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則三棱錐O-PAB的體積不小于的概率為________． 解析：如圖，取AD，BC，PC，PD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，當(dāng)點(diǎn)O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時(shí)，VO-PAB

64、≥.在幾何體CDEFGH中，連接GD，GE，則VCDEFGH＝VG-CDEF＋VG-DEH＝，又VP-ABCD＝，則所求概率為＝. 答案： 與面積有關(guān)的幾何概型　　　　 與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一.,常見的命題角度有： (1)與平面圖形面積有關(guān)的問題； (2)與線性規(guī)劃交匯的問題； (3)與函數(shù)有關(guān)的問題； (4)與定積分交匯的問題. 角度一：與平面圖形面積有關(guān)的問題 1．隨機(jī)向邊長(zhǎng)為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于2的概率是________． 解析：若點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于2， 則點(diǎn)P位于圖中陰影部分， 三角

65、形在三個(gè)圓的面積之和為 ×π×22＝2π， △ABC的面積S＝×6×4＝12， 所以陰影部分的面積S＝12－2π， 故對(duì)應(yīng)的概率P＝＝1－. 答案：1－ 角度二：與線性規(guī)劃交匯的問題 2．把長(zhǎng)為80 cm的鐵絲隨機(jī)截成三段，則每段鐵絲長(zhǎng)度都不小于20 cm的概率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選A　設(shè)把長(zhǎng)為80 cm的鐵絲隨機(jī)截成三段的長(zhǎng)度分別為x，y，80－x－y，則構(gòu)成實(shí)驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)樽鞒鍪疽鈭D如圖所示，此區(qū)域?yàn)檠L(zhǎng)80 cm的等腰直角三角形OAB，則面積為×80×80＝3 200 cm2，記“這三段長(zhǎng)度均不小于20 cm”為事件M，則構(gòu)

66、成M的區(qū)域?yàn)榇藚^(qū)域?yàn)檠L(zhǎng)20 cm的等腰直角三角形CDE，則面積為×20×20＝200 cm2，所以每段鐵絲長(zhǎng)度不小于20 cm的概率P(M)＝＝. 角度三：與函數(shù)有關(guān)的問題 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率為(　　) A. B．1－ C. D. 解析：選B　由題可得，因?yàn)閒(x)≥e，且f(x)＝所以有1≤x≤e，所以由幾何概型可得，f(x)的值不小于常數(shù)e的概率P＝1－. 角度四：與定積分交匯問題 4.如圖，設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)y＝(x>0)圖象下方的區(qū)域(陰影部分)，從D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)M，則點(diǎn)M取自E內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由定積分的性質(zhì)可知，矩形內(nèi)空白部分的面積為dx＝(2x－ln x)1＝1－ln 2，故所求概率為P＝＝. [方法技巧] 與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合．　　 1.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自