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1、高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第2講 數(shù)形結(jié)合思想 理 1．數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)． 2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則： (1)等價性原則．在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形

2、的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應． (2)雙方性原則．既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯． (3)簡單性原則．不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合．具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線． 3．數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種： (1)構建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍． (2)構建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍． (3)構建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之

3、間的大小關系． (4)構建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式． (5)構建立體幾何模型研究代數(shù)問題． (6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題． (7)構建方程模型，求根的個數(shù)． (8)研究圖形的形狀、位置關系、性質(zhì)等． 4．數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度．具體操作時，應注意以下幾點： (1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域． (2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首

4、先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解． 熱點一　利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根 例1　(xx·山東)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1,2) D．(2，＋∞) 答案　B 解析　先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當直線g(x)＝kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)＝kx過A點時斜率為，故f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根時，k的范圍為(，1)．

5、 思維升華　用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． 　設函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2， 解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝ 作出函數(shù)y＝f(x)及y＝x的函數(shù)圖象如圖所示，

6、 由圖可得交點有3個． 熱點二　利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、求參數(shù)范圍 例2　(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(1)＝0，則滿足x·f(x)<0的x的取值范圍是________． (2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1對x∈R恒成立，則a的取值范圍是________． 答案　(1)(－1,0)∪(0,1)　 (2) 解析　(1)作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可，由圖可知x·f(x)<0的x的取值范圍是(－1,0)∪(0,1)． (2)作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的簡圖，依題意知應有2a≤2－2a， 故a≤

7、. 思維升華　求參數(shù)范圍或解不等式問題時經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉(zhuǎn)化數(shù)量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答． 　(1)設A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，則使A?B成立的實數(shù)m的取值范圍是__________． (2)若不等式≤k(x＋2)－的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝________. 答案　(1)[－1，＋∞)　(2) 解析　(1)集合A是一個圓x2＋(y－1)2＝1上的點的集合，集合B是一個不等式x＋y＋m≥0表示的平

8、面區(qū)域內(nèi)的點的集合， 要使A?B，則應使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線x＋y＋m＝0應與圓相切或相離(在圓的下方)，而當直線與圓相切時有＝1，又m>0， 所以m＝－1， 故m的取值范圍是m≥－1. (2)令y1＝， y2＝k(x＋2)－，在同一個坐標系中作出其圖象，因≤k(x＋2)－的解集為[a，b]且b－a＝2. 結(jié)合圖象知b＝3，a＝1，即直線與圓的交點坐標為(1,2)． 又因為點(－2，－)在直線上， 所以k＝＝. 熱點三　利用數(shù)形結(jié)合思想解最值問題 例3　(1)已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線

9、，A、B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________． (2)已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是(　　) A．[2,4] B．[2,16] C．[4,10] D．[4,16] 答案　(1)2　(2)B 解析　(1)從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線l時，S四邊

10、形PACB應有唯一的最小值， 此時|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. 所以(S四邊形PACB)min ＝2××|PA|×|AC|＝2. (2)畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為|QA|2＝16. ∵d2＝()2＝()2＝2. ∴取值范圍是[2,16]． 思維升華　(1)在幾何的一些最值問題中，可以根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形上點的條件進行轉(zhuǎn)換，快速求得最值． (2)如果(不)等式、代數(shù)式的結(jié)構蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想

11、方法來解題，即所謂的幾何法求解． 　(1)(xx·重慶)設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 (2)若實數(shù)x、y滿足則的最小值是____． 答案　(1)B　(2)2 解析　(1)由題意，知圓的圓心坐標為(3，－1)，圓的半徑長為2，|PQ|的最小值為圓心到直線x＝－3的距離減去圓的半徑長，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故選B. (2)可行域如圖所示． 又的幾何意義是可行域內(nèi)的點與坐標原點連線的斜率k. 由圖知，過點A的直線OA的斜率最小． 聯(lián)立得A(1,2)，

12、 所以kOA＝＝2.所以的最小值為2. 1．在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關系，達到解題的目的． 2．有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結(jié)論，這就要對圖形進行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達到解題的目的． 3．利用數(shù)形結(jié)合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象． 4．數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式(或向量的模、復數(shù)的模)；點到直線的距離公式等. 真題感悟 1．(xx·重慶)已知圓C

13、1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 答案　A 解析　設P(x,0)，設C1(2,3)關于x軸的對稱點為C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝＝5. 而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4. 2．(xx·江西)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(　　)

14、 A.π B.π C．(6－2)π D.π 答案　A 解析　∵∠AOB＝90°，∴點O在圓C上． 設直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點D， 則點C與點O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離， ∴點C在以O為焦點，以直線2x＋y－4＝0為準線的拋物線上， ∴當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|. 又|OD|＝＝， ∴圓C的最小半徑為， ∴圓C面積的最小值為π()2＝π. 3．(xx·課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 答案

15、　D 解析　函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖． ①當a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立． ②當a>0時，只需在x>0時， ln(x＋1)≥ax成立． 比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度． 顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立． ③當a<0時，只需在x<0時，x2－2x≥ax成立． 即a≥x－2成立，所以a≥－2. 綜上所述：－2≤a≤0.故選D. 4．(xx·天津)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為________． 答案　(0,1)∪(9，＋∞) 解析　設y1＝f

16、(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|， 在同一直角坐標系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示． 由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個互異的實數(shù)根等價于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個不同的交點．當4個交點橫坐標都小于1時， 有兩組不同解x1，x2， 消y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋9>0， 且x1＋x2＝a－3<2，x1x2＝a<1，聯(lián)立可得00， 且x3

17、＋x4＝a－3>2，x3x4＝a>1，聯(lián)立可得a>9， 綜上知，09. 押題精練 1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　(數(shù)形結(jié)合法) ∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的圖象如圖， ∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個交點． 2．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案　

18、A 解析　f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正確選項為A. 3．經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點，則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________，________. 答案　[－1,1]　[0，]∪[，π) 解析　如圖所示，結(jié)合圖形：為使l與線段AB總有公共點，則kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時，傾斜角α為鈍角，k＝0時，α＝0，k>0時，α為銳角． 又kPA＝＝－1， kPB＝＝1，

19、∴－1≤k≤1. 又當0≤k≤1時，0≤α≤； 當－1≤k<0時，≤α<π.故傾斜角α的取值范圍為α∈[0，]∪[，π)． 4．(xx·山東)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是________． 答案　 解析　由題意知原點O到直線x＋y－2＝0的距離為|OM|的最小值． 所以|OM|的最小值為＝. 5．(xx·江西)過點(，0)引直線l與曲線y＝相交于A、B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率為________． 答案　－ 解析　∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤. 當∠AOB

20、＝時，S△AOB面積最大． 此時O到AB的距離d＝. 設AB方程為y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0. 由d＝＝得k＝－. 6．設函數(shù)f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它們在x＝1處的切線互相平行． (1)求b的值； (2)若函數(shù)F(x)＝且方程F(x)＝a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍． 解　函數(shù)g(x)＝bx2－ln x的定義域為(0，＋∞)， (1)f′(x)＝3ax2－3a?f′(1)＝0， g′(x)＝2bx－?g′(1)＝2b－1， 依題意得2b－1＝0，所以b＝. (2)x∈(0,1)時，g′(x)＝x－

21、<0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， x∈(1，＋∞)時，g′(x)＝x－>0，即g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當x＝1時，g(x)取得極小值g(1)＝； 當a＝0時，方程F(x)＝a2不可能有四個解； 當a<0，x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減， x∈(－1,0)時，f′(x)>0， 即f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增， 所以當x＝－1時，f(x)取得極小值f(－1)＝2a， 又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖(1)所示， 從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有四個解． 當a>0，x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增， x∈(－1,0)時，f′(x)<0， 即f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減， 所以當x＝－1時，f(x)取得極大值f(－1)＝2a. 又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖(2)所示， 從圖(2)看出，若方程F(x)＝a2有四個解，則