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專(zhuān)題六　二次函數(shù)綜合題 類(lèi)型一 代數(shù)問(wèn)題 (2019安徽)一次函數(shù)y＝kx＋4與二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)． (1)求k，a，c的值； (2)過(guò)點(diǎn)A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y軸的直線(xiàn)與二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記W＝OA2＋BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值． 【分析】 (1)把(1，2)分別代入y＝kx＋4和y＝ax2＋c，得k＋4＝－2和a＋c＝2，然后求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，可得c＝4，然后計(jì)算得到a的值； (2)由A(0，m)(0＜m＜4)可得OA＝m，令y＝－2x2＋4＝m，求出B，C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出BC長(zhǎng)度，將OA，BC代入W＝OA2＋BC2中得到W關(guān)于m的函數(shù)解析式，求出最小值即可． 【自主解答】 1．(2019長(zhǎng)春)已知函數(shù) (1)當(dāng)n＝5， ①點(diǎn)P(4，b)在此函數(shù)圖象上，求b的值； ②求此函數(shù)的最大值． (2)已知線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，2)、B(4，2)，當(dāng)此函數(shù)的圖象與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出n的取值范圍． (3)當(dāng)此函數(shù)圖象上有4個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于4，求n的取值范圍． 2．(2014安徽)若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱(chēng)這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”． (1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)； (2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)．若y1＋y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值． 3．(2019陜西)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)L：y＝ax2＋(c－a)x＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(0，－6)，L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)為L(zhǎng)′. (1)求拋物線(xiàn)L的表達(dá)式； (2)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)L′上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 4．(2019廣州)已知拋物線(xiàn)G：y＝mx2－2mx－3有最低點(diǎn)． (1)求二次函數(shù)y＝mx2－2mx－3的最小值(用含m的式子表示)； (2)將拋物線(xiàn)G向右平移m個(gè)單位得到拋物線(xiàn)G1.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線(xiàn)G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍； (3)記(2)所求的函數(shù)為H，拋物線(xiàn)G與函數(shù)H的圖象交于點(diǎn)P，結(jié)合圖象，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍． 5．(2019長(zhǎng)沙)已知拋物線(xiàn)y＝－2x2＋(b－2)x＋(c－2 020)(b，c為常數(shù))． (1)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，求b，c的值； (2)若拋物線(xiàn)上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求c的取值范圍； (3)在(1)的條件下，存在正實(shí)數(shù)m，n(m＜n)，當(dāng)m≤x≤n時(shí)，恰好≤≤，求m，n的值． 類(lèi)型二 幾何問(wèn)題 (2018泰州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)． (1)當(dāng)m＝－2時(shí)，求二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)過(guò)點(diǎn)P(0，m－1)作直線(xiàn)l⊥y軸，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)A在直線(xiàn)l與x軸之間(不包含點(diǎn)A在直線(xiàn)l上)，求m的范圍； (3)在(2)的條件下，設(shè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)B，求△ABO的面積最大時(shí)m的值． 【分析】(1)先將m＝－2代入，得出函數(shù)解析式，再列一元二次方程即可求解；(2)先對(duì)函數(shù)圖象的大概位置有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，結(jié)合題干中的條件“圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸的下方，且在直線(xiàn)l上方，這樣可以根據(jù)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)列不等式組求解；(3)在(2)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步明確拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A在第三象限，用含m的代數(shù)式表示出△ABO的底AB和高，就可以列出其面積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的最值解決問(wèn)題． 【自主解答】 1．如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(－1，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C. (1)求m的值； (2)求直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式； (3)該二次函數(shù)的圖象上有點(diǎn)D(x，y)(不與點(diǎn)C重合)，使S△ABD＝S△ABC，求點(diǎn)D坐標(biāo)． 2．(2019合肥包河區(qū)一模)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)、B(4，0)，E是線(xiàn)段OB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與O、B重合)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，交線(xiàn)段BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為點(diǎn)F. (1)求該拋物線(xiàn)的解析式； (2)試求線(xiàn)段DF的長(zhǎng)h關(guān)于點(diǎn)E的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并求出h的最大值． 3．(2019甘肅)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1，0)、B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C. (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)． 4．(2019本溪)拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸CD上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與C，D重合)．過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)PB的垂線(xiàn)交PB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F. (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)當(dāng)△PCF的面積為5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)當(dāng)△PCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 參考答案 【專(zhuān)題類(lèi)型突破】 類(lèi)型一 【例1】 解：(1)由題意得，k＋4＝2，解得k＝－2， 則一次函數(shù)解析式為：y＝－2x＋4. 又∵二次函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為0， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)． ∴c＝4. 把(1，2)代入二次函數(shù)表達(dá)式得a＋c＝2，解得a＝－2. (2)∵由(1)得二次函數(shù)解析式為y＝－2x2＋4，令y＝m，得2x2＋m－4＝0. ∴x＝，設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，m)(x2，m)，則|x1|＋|x2|＝2， ∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7. ∴當(dāng)m＝1時(shí)，W取得最小值7. 跟蹤訓(xùn)練 1．解：(1)當(dāng)n＝5時(shí)， y＝， ①將P(4，b)代入y＝－x2＋x＋，得b＝； ②當(dāng)x≥5時(shí)，當(dāng)x＝5時(shí)有最大值為5； 當(dāng)x<5時(shí)，當(dāng)x＝時(shí)有最大值為， ∴函數(shù)的最大值為； (2)將點(diǎn)(4，2)代入y＝－x2＋nx＋n中， 得n＝， 當(dāng)4，∴n>8， 當(dāng)x＝時(shí)，y＝＋， ＋≤4，∴n≥， 當(dāng)x＝n時(shí)，y＝－n2＋n2＋n＝n， n<4； ∴函數(shù)圖象上有4個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于4時(shí)，n>8或n≤<4. 2．解：(1)定義翻譯：“同簇二次函數(shù)”即兩個(gè)二次函數(shù)y1與y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)一樣，且二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)性相同． 本題是開(kāi)放題，答案不唯一，符合題意即可．如y1＝2x2，y2＝x2，頂點(diǎn)坐標(biāo)都為(0，0)，且二次項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，故符合． (2)∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m1＝m2＝1， ∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1. ∵y1＋y2與y1為“同簇二次函數(shù)”， ∴可設(shè)y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k>0)， 則y2＝k(x－1)2＋1－y1＝(k－2)(x－1)2. 由題意可知函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，5)， 則(k－2)(－1)2＝5.∴k－2＝5. ∴y2＝5(x－1)2＝5x2－10x＋5. 根據(jù)y2的函數(shù)圖象性質(zhì)可知：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)12 020. (3)由(1)可知拋物線(xiàn)y＝－2x2＋4x－1＝－2(x－1)2＋1， ∴y≤1， ∵01， ∴2n2－2n－1＝0， 解得n1＝(舍去)，n2＝. 同理，由②得到：(m－1)(2m2－2m－1)＝0， ∵1≤m≤n， ∴2m2－2m－1＝0， 解得m1＝1，m2＝(舍去)，m3＝(舍去)． 綜上所述，m＝1，n＝. 類(lèi)型二 【例2】 (1)當(dāng)m＝－2時(shí)， 函數(shù)為y＝x2＋4x＋2， 令y＝0，則x2＋4x＋2＝0， 解得x1＝－2＋，x2＝－2－， 則函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2＋，0)，(－2－，0)． (2)∵y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2＝(x－m)2＋2m＋2， ∴A(m，2m＋2)． ∵拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且開(kāi)口向上， ∴點(diǎn)A在x軸下方， 由題意，得 解得－3＜m＜－1. (3)如解圖，由(2)知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝m，頂點(diǎn)為A(m，2m＋2)， ∵－3＜m＜－1，∴A在第三象限． ∵B為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與l的交點(diǎn)， ∴B(m，m－1)且點(diǎn)m在點(diǎn)A下方． ∴AB＝2m＋2－(m－1)＝m＋3. ∴S△ABO＝(－m)(m＋3)＝－(m＋)2＋. ∴當(dāng)m＝－時(shí)，S△ABO最大＝. 綜上所述，△ABO的面積最大時(shí)m的值為－. 跟蹤訓(xùn)練 1．解：(1)將點(diǎn)B(－1，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得： －1－2＋m＝0，m＝3，即m的值為3. (2)由(1)知，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3， 當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. 則A(3，0)，B(－1，0)． 設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx＋b，有： 解得 故直線(xiàn)AC：y＝－x＋3. (3)以AB為底，若S△ABD＝S△ABC，則點(diǎn)C，D到直線(xiàn)AB的距離相等． ∵D(x，y)，則y＝3，代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式中，有： y＝3時(shí)，－x2＋2x＋3＝3， 解得x1＝0，x2＝2，∴D1(2，3)； y＝－3時(shí)，－x2＋2x＋3＝－3， 解得x3＝1＋，x4＝1－， ∴D2(1＋，－3)，D3(1－，－3)． 綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3)，(1＋，－3)，(1－，－3)． 2．解：(1)∵拋物線(xiàn) y＝ax2＋bx＋3過(guò)點(diǎn) A(－1，0)，B (4，0)， 可得解得 則拋物線(xiàn)的解析式為y＝－x2＋x＋3. (2)∵DF⊥BC^，DE⊥AB^，OC⊥AB， ∴OC∥DE，∴∠DGF＝∠OCB. ∴sin∠OCB＝sin∠DGF，∴＝. ∴DF＝DG. ∵OC＝3，OB＝4，∴BC＝5，∴DF＝DG. ∵直線(xiàn)BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4，0)，C(0，3)， ∴yBC＝－x＋3. ∴點(diǎn)G坐標(biāo)為(x，－x＋3)． ∵點(diǎn)D坐標(biāo)為(x，－x2＋x＋3)， ∴DG＝－x2＋x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x， ∴DF＝h＝(－x2＋3x) ＝－x2＋x ＝－(x－2)2＋. ∴當(dāng)x＝2時(shí)，h取最大值，h最大值＝. 3．解：(1)用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3； 故二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2－4x＋3； (2)①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時(shí)，如解圖1， 解圖1 則AB＝PF＝2， 則點(diǎn)P坐標(biāo)為(4，3)， 當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即點(diǎn)C的位置，點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形， 故：點(diǎn)P(4，3)或(0，3)； ②當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖2， 解圖2 AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)． 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：， 即：＝2，解得：m＝2， 故點(diǎn)P(2，－1)； 故：點(diǎn)P(4，3)或(0，3)或(2，－1)； (3)直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y＝－x＋3， 解圖3 設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x，x2－4x＋3)，則點(diǎn)D(x，－x＋3)， S四邊形AEBD＝AB(yD－yE)＝－x＋3－x2＋4x－3＝－x2＋3x， ∵－1＜0，故四邊形AEBD面積有最大值， ∴當(dāng)x＝，其最大值為，此時(shí)點(diǎn)E(，－)． 4．解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋x＋； (2)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，則點(diǎn)C(2，2)， 設(shè)點(diǎn)P(2，m)，一次函數(shù)解析式為y＝sx＋t， 將點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx＋t可求解得 函數(shù)PB的表達(dá)式為：y＝－mx＋①， ∵CE⊥PE，∴直線(xiàn)CE表達(dá)式中的k值為， 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式， 同理可得直線(xiàn)CE的表達(dá)式為：y＝x＋(2－)②， 將y＝0代入②并解得：x＝2－， 故點(diǎn)F(2－，0)， S△PCF＝PCDF＝(2－m)(2－－2)＝5， 解得：m＝5或－3(舍去5)， 故點(diǎn)P(2，－3)； (3)由(2)確定點(diǎn)F的坐標(biāo)得：(2－，0)， CP2＝(2－m)2，CF2＝()2＋4，PF2＝()2＋m2， ①當(dāng)CP＝CF時(shí)，即：(2－m)2＝()2＋4，解得：m＝0或(0舍去)， ②當(dāng)CP＝PF時(shí)，(2－m)2＝()2＋m2，解得：m＝或－9－， ③當(dāng)CF＝PF時(shí)，同理可得：m＝2(舍去2)， 故點(diǎn)P(2，)或(2，)或(2，－2)或(2，)．