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1、（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五講 解題的必備積淀—把根留住講義 理 許多考生雖然做了大量的習(xí)題，但遇到類似的題目仍不知所措，“這道題我好像做過(guò)，但還是做不出來(lái)”是學(xué)生普遍反映的現(xiàn)象；“這道題，我上課講過(guò)的，學(xué)生怎么還是不會(huì)”，這是一線教師的口頭禪；學(xué)生平時(shí)解題也知道要進(jìn)行化歸，但總找不到歸根何處．這就是平時(shí)只顧埋頭做題，不注重歸納領(lǐng)悟而造成的高耗低能現(xiàn)象． 為什么會(huì)有這樣的偏差？ 什么是數(shù)學(xué)的“根”？ 如何把“根”留?。? 　　高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，又考查對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平．如果學(xué)習(xí)中僅就題論題，對(duì)問(wèn)題的理解只停留在知識(shí)、方法表象

2、層次上，而沒(méi)有體會(huì)到問(wèn)題背后的“根”，那么做再多的習(xí)題，也只是事倍功半. 它應(yīng)該是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)核心價(jià)值的理解、數(shù)學(xué)理性精神(依靠思維能力對(duì)感性材料進(jìn)行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理)的體驗(yàn)等. 可通過(guò)研究問(wèn)題的變式，留住知識(shí)之“根”；通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題的解法，留住方法之“根”．只有這樣，高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)才能強(qiáng)“根”固本，枝繁葉茂. 一、研究問(wèn)題的變式，留住知識(shí)之“根” 一題多變，總結(jié)規(guī)律．可培養(yǎng)思維的探索性和深刻性，通過(guò)對(duì)變式問(wèn)題的研究，可以解決一類問(wèn)題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開(kāi)拓解題思路．在分析解決問(wèn)

3、題的過(guò)程中，既構(gòu)建知識(shí)橫向聯(lián)系，又養(yǎng)成多角度思考問(wèn)題的習(xí)慣． [例1]　在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，則·＝________. [解析]　因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)， 所以＝(＋)，又因?yàn)椋剑? 所以·＝(＋)·(－) ＝(2－2)＝(52－32)＝8. [答案]　8 [變式1]　在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為△ABC的外心，則·＝________. [解析]　取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD， 則＝＋， 所以·＝(＋)·＝·＋·. 因?yàn)辄c(diǎn)P為△ABC的外心，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)， 所以⊥，則·＝0. 于是·＝·＝(＋)·(－)＝(

4、2－2)＝8. [答案]　8 [變式2]　在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D為BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P為線段BC垂直平分線上的任意一點(diǎn)，求證：·＝(n2－m2)． [證明]　由題意，可得⊥，所以·＝0，從而·＝(＋)·＝·＋·＝·. 又因?yàn)椋?＋)，＝－， 所以·＝(＋)·(－) ＝(2－2)＝(n2－m2)． [反思領(lǐng)悟]　以平面幾何圖形作為命題背景的向量數(shù)量積問(wèn)題是高考命題的常見(jiàn)題型．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，有兩種體系，一是數(shù)量積的幾何運(yùn)算，二是向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．對(duì)于三角形中相關(guān)線段構(gòu)成的向量數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，其中三角形中線的向量表示、向量加減法的三角形法則是求解這類問(wèn)題的突破口

5、． 二、優(yōu)化問(wèn)題的解法，留住方法之“根” 一題多解，觸類旁通．培養(yǎng)發(fā)散思維能力，培養(yǎng)思維的靈活性．一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系．從各種途徑，用多種方法思考問(wèn)題，可開(kāi)拓解題思路，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并從多種解法的對(duì)比中選出最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提高． [例2]　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則(　　) A．c≤3　　　　　　　　 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c>9 [解析]　法一：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得 ?? 則f(x)＝x3＋6x

6、2＋11x＋c， 而0＜f(－1)≤3， 故0＜－6＋c≤3， 所以6＜c≤9，故選C. 法二：設(shè)f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝k，則0＜k≤3. 設(shè)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋k，則c＝k＋6， 所以6＜c≤9，故選C. 法三：由題意，f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋c－6，得0＜c－6≤3，所以6＜c≤9，故選C. 法四：取f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝3，則c＝9，故選C. [答案]　C [反思領(lǐng)悟]　法一直接利用已知條件求出系數(shù)a，b，代入后求解不等式，為常規(guī)解法，運(yùn)算量較大；法四為特殊值法，有一定的偶然性，較之法一簡(jiǎn)潔，是一種行之有效的解決選擇題的方法，此處也可取f(－1)＝1等值；法二、三則蘊(yùn)含了函數(shù)的零點(diǎn)與解析式之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，是問(wèn)題解決的基本方法，并可將問(wèn)題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為類似的更高次數(shù)的函數(shù)問(wèn)題． 數(shù)學(xué)是一門(mén)工具性學(xué)科，它研究的是空間形式與數(shù)量的關(guān)系，數(shù)學(xué)的本性是“智慧”，是“人的思維”．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過(guò)程的引導(dǎo)、啟發(fā)．因此，做數(shù)學(xué)題要從根本處抓起，通過(guò)研究問(wèn)題的變式，優(yōu)化解題的方法等方式，跳出無(wú)邊無(wú)際的“書(shū)山題?！?，通過(guò)對(duì)解題過(guò)程的“反芻”，留住知識(shí)之“根”、方法之“根”．只有從“根”處澆灌知識(shí)之營(yíng)養(yǎng)，數(shù)學(xué)之“花”才能燦爛綻放．