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1、2022年高三數(shù)學(xué) 黃金考點(diǎn)匯編11 定積分的概念與微積分基本定理 理（含解析） 【考點(diǎn)分類】 熱點(diǎn)1 定積分的基本計(jì)算 1．【xx江西高考理第8題】若則 （ ） A． B． C． D．1 2．【xx陜西高考理第3題】定積分的值為 （ ） 3．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)理】若 ，則s1，s2，s3的大小關(guān)系為

2、 （ ） A． s1＜s2＜s3 B． s2＜s1＜s3 C． s2＜s3＜s1 D． s3＜s2＜s1 4．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）】若 ． 【答案】3． 【解析】∵x2dx＝x3＝＝9，∴T＝3． 5．【xx福建理15】當(dāng)時(shí)，有如下表達(dá)式： 兩邊同時(shí)積分得： 從而得到如下等式： 請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算： 【方法規(guī)律】 計(jì)算簡(jiǎn)單定積分的步驟： （1）把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或

3、差； （2）利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個(gè)定積分的和或差； （3）分別用求導(dǎo)公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)； （4）利用牛頓－萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值； （5）計(jì)算所求定積分的值． 【解題技巧】 求定積分的常用技巧： （1）求被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求積分； （2）求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，分段積分再求和； （3）對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要先去掉絕對(duì)值號(hào)才能積分； （4）若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)dx＝0 熱點(diǎn)2 定積分幾何意義的應(yīng)用 1．【xx山

4、東高考理第6題】直線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為 （ ） A. B． C． D．4 【答案】 【解析】由已知得，，故選． 考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用． 2．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試北京卷理】直線l過(guò)拋物線C： x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于 （ ） A． B．2 C． D． 【方法規(guī)律】 1．定積分的幾何意義：定積分表示在區(qū)間上的曲線與直線、以及軸所圍成

5、的平面圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和，即．（在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積取負(fù)號(hào)）． 2．求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟： （1）畫出圖形，確定圖形的范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．定出積分的下、下限； （2）確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的下、下位置； （3）寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式； （4）運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積． 利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 概念理解錯(cuò)誤 例．【xx北京西城】求曲線f(x)＝sin x，x∈[0，π]與x軸圍

6、成的圖形的面積． 熱點(diǎn)3 定積分物理意義的應(yīng)用 1．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷理7】一輛汽車在高速公路下行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（t的單位：s，v的單位：m/s）行駛至停止． 在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位：m）是（ ） B． C． D． 【答案】C． 【解析】令，則，汽車剎車的距離是，故選C． 【方法規(guī)律】 利用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求． ①變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

7、：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程，等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即． ②變力作功：物體在變力的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與相同的方向從移動(dòng)到，那么變力所作的功． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 如xx湖北卷理7試題可能出現(xiàn)以下錯(cuò)誤： （1）未形成應(yīng)用定積分解題的意識(shí)，造成思維受阻． （2）不知如何確定剎車后汽車?yán)^續(xù)行駛的時(shí)間，從而不能正確確定積分區(qū)間． （3）求錯(cuò)被積函數(shù)的原函數(shù)致誤． 防范措施： （1）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要知道知識(shí)方法形成的背景以及應(yīng)用的方面，不能孤立地看待一個(gè)知識(shí)方法，要用聯(lián)系的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)； （2）分析剎車的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，由速度為零可以得到汽車?yán)^續(xù)行駛的時(shí)間．由此可見(jiàn)

8、，分析過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【考點(diǎn)剖析】 1．最新考試說(shuō)明： （1）考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． （2）利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程． 考點(diǎn) 考綱要求 考查角度 定積分 了解定積分的基本思想；了解定積分的概念 求由曲線圍成的平面圖形的面積 微積分基本定理 了解微積分基本定理的含義；會(huì)用牛頓－萊布尼茨公式求被積函數(shù)是簡(jiǎn)單的冪函數(shù)，正、余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定積分 定積分的計(jì)算 2．命題方向預(yù)測(cè)： 從近兩年的高考試題看，本節(jié)內(nèi)容要求較低，定積分的簡(jiǎn)單計(jì)算與利用定積分求平面圖形的面積是考查的重點(diǎn)，與幾何概型概率的計(jì)

9、算相結(jié)合是近幾年高考的亮點(diǎn)，題型為選擇題或填空題，難度中等偏下．預(yù)測(cè)xx年利用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題等是定積分命題的主要方向，一般以客觀題形式出現(xiàn)． 3．課本結(jié)論總結(jié)： （1）用定義求定積分的一般方法是： ①分割：n等分區(qū)間[a，b]；②近似代替：取點(diǎn)ξi∈[xi－1，xi]；③求和：f(ξi)·；④取極值： f(x)dx＝f(ξi)·． （2）定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1：； 性質(zhì)2：（為常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）； 性質(zhì)3：（定積分的線性性質(zhì)）； 推廣： 性質(zhì)4：（其中）（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性） 推廣： 說(shuō)明：定積分的定義中，限定下限小于上限，即

10、a＜b，為了方便計(jì)算，人們把定積分的概念擴(kuò)大，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：． （3）微積分基本定理 一般地，如果f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓－萊布尼茲公式． （4）常用定積分公式： ①（為常數(shù)）；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩． 4．名師二級(jí)結(jié)論： 一種思想 定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無(wú)限”過(guò)程的問(wèn)題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等．恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微

11、積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就． 一種關(guān)系 由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算． 三條性質(zhì) （1）常數(shù)可提到積分號(hào)外；（2）和差的積分等于積分的和差；（3）積分可分段進(jìn)行． 四種求定積分的方法 ①利用定義求定積分；②利用微積分基本定理求定積分；③利用定積分的幾何意義求定積分．如：定積分dx的幾何意義是求單位圓面積的，所以dx＝；④利用積分的性質(zhì)． 兩類典型的計(jì)算曲邊梯形面積的方法 （1）型區(qū)域： ①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））； ②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖

12、（2））； ③由一條曲線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積： （如圖（3））； ④由兩條曲線（與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（4）） （2）型區(qū)域： ①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由得，然后利用求出（如圖（5））； ②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（6））； ③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，，然后利用求出（如圖（7））； 5．課本經(jīng)典習(xí)題： （1）【人教新課標(biāo)A版2-2第47頁(yè)例1】利用定積分的定義，計(jì)算的值． 【經(jīng)典理由】典型的應(yīng)用定義計(jì)算定積分

13、（2）【人教新課標(biāo)A版2-2第56頁(yè)，例1】計(jì)算由曲線所圍成圖形的面積． 【變式】由曲線所圍成圖形的面積為_(kāi)___________． 分，∴． 6．考點(diǎn)交匯展示： （1） 定積分計(jì)算與幾何概型交匯 例1【廣東省梅州市xx屆高三3月質(zhì)檢】．如圖，設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)為2的正方形區(qū)域．，E是函數(shù)的圖像與x軸及圍成的陰影區(qū)域，項(xiàng)D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入E中的概率為 ( ) A． B． C． D． （2） 定積分的計(jì)算與函數(shù)的性質(zhì)交匯 例2【xx年高考原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷（浙江理科）】．若，則等于

14、 ． 【答案】 【解析】，． （3） 定積分的計(jì)算與二項(xiàng)式定理的應(yīng)用交匯 例3【xx屆安徽六校教育研究會(huì)高三2月聯(lián)考數(shù)學(xué)理】．已知?jiǎng)t二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ． 【考點(diǎn)特訓(xùn)】 xO y O 1．【河南省安陽(yáng)一中xx屆高三第一次月考8】如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則陰影部分的面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】Ｂ 2．【河北省“五個(gè)一名校聯(lián)盟” xx屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）13】直線與拋物線所圍圖形的面積等于_____________ 【答案】 【解

15、析】 3．【xx屆高三原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷理科數(shù)學(xué)試卷4（安徽版）】設(shè)，則下列關(guān)系式成立的是 （ ） A． B． C． D． 4．【高考沖刺關(guān)門卷新課標(biāo)全國(guó)卷（理）】由直線，曲線以及軸圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_______． 5．【廣州市珠海區(qū)xx年高三8月摸底考試12】圖中陰影部分的面積等于 ． 【答案】1． 【解析】由定積分的幾何意義得：． 考點(diǎn)：定積分的幾何意義． 6．【xx年哈爾濱師大附中 東北師大附中 遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第一次聯(lián)合模擬考試】( ) A． 0

16、 B． C． D． 7．【唐山一中xx下學(xué)期調(diào)研考試試卷】直線的方向向量為且過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則直線與拋物線圍成的封閉圖形面積為( ) A． B． C． D． 8．【穩(wěn)派xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】設(shè)，若曲線與直線，，所圍成封閉圖形的面積為2，則（ ） A．2 B．e C．2e D． 9．【xx黑龍江哈爾濱】下列值等于的定積分是（ ）

17、 10．【xx遼寧】如圖，陰影部分的面積是 (　 　) A．2 B．2－ C． D． 【答案】C ． 【解析】直線y=2x與拋物線y=3﹣x2，解得交點(diǎn)為（﹣3，﹣6）和（1，2），拋物線y=3﹣x2與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)（﹣，0）．設(shè)陰影部分面積為s，則 ==，所以陰影部分的面積為 ，故答案選：C． 【思路點(diǎn)撥】求陰影部分的面積，先要對(duì)陰影部分進(jìn)行分割到三個(gè)象限內(nèi)，分別對(duì)三部分進(jìn)行積分求和即可． 11．【xx山西

18、山大附中高三5月月考理科】 (　 　) A． B． C． D． 12．【xx湖南雅禮中學(xué)模擬】曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖（如圖所示陰影部分），其面積是 （ ） A．1 B． C． D． 13．【xx江西師大附中高三三模理科】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，又知，且，，則為

19、 （ ） A．33 B．46 C．48 D．50 14．【xx南京調(diào)研】給出如下命題： ①dx＝dt＝b－a(a，b為常數(shù)且a＜b)；②； ③曲線y＝sin x，x∈[0，2π]與直線y＝0圍成的兩個(gè)封閉區(qū)域的面積之和為2． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由定積分的性質(zhì)知①錯(cuò)；對(duì)于②，兩個(gè)積分都表示個(gè)單位圓的面積， 15．【xx浙江五校聯(lián)考】已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k＞0)的圖象所圍成的陰影部分

20、的面積為，則(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 16．【xx廣州綜合測(cè)試】函數(shù)F(x)＝t(t－4)dt在[－1，5]上 (　　 ) A．有最大值0，無(wú)最小值 B．有最大值0，最小值－ C．有最大值－，無(wú)最大值 D．既無(wú)最大值也無(wú)最小值 【答案】B． 17．【xx福建莆田高三質(zhì)檢】如圖，由函數(shù)f(x)＝ex－e的圖象，直線x＝2及x軸所圍成的陰影部分面積等于

21、 (　 　) A．e2－2e－1 B．e2－2e C． D．e2－2e＋1 【答案】B 【解析】面積S＝f(x)dx＝(ex－e)dx＝(ex－ex)＝(e2－2e)－(e1－e)＝e2－2e． 18．【xx山東淄博模擬】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，則S30為(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 19．【xx湖北孝感高

22、中高三5月摸底理科】若在R上可導(dǎo)，，則____________． 20．【xx中山一模】設(shè)f(x)＝若f[f（1）]＝1，則a＝________． 【答案】1． 【解析】∵f（1）＝lg 1＝0，∴f[f（1）]＝f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，∴a3＝1得a＝1． 21．【xx上海模擬】已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是折線段ABC，其中A(0，0)、B(，5)、C(1，0)．函數(shù)y＝xf(x)(0≤x≤1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為_(kāi)_______． 22．【xx湖北孝感高中高三5月摸底理科】如圖， 甲、乙、丙中的四邊形ABCD都是邊長(zhǎng)為2的正方形， 其中甲、乙兩圖中陰影

23、部分分別以AB的中點(diǎn)、B點(diǎn)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向上的拋物線(皆過(guò)D點(diǎn))下方的部分， 丙圖中陰影部分是以C為圓心、半徑為2的圓弧下方的部分． 三只麻雀分別落在這三塊正方形木板上休息， 且它們落在所在木板的任何地方是等可能的， 若麻雀落在甲、乙、丙三塊木板上陰影部分的概率分別是， 則的大小關(guān)系是 ． 23．【海淀區(qū)高三年紀(jì)第二學(xué)期其中練習(xí)理】函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉圖形的面積等于_______． 24．【河北省邯鄲市xx屆高三上學(xué)期第二次模擬考試】= _______． 25．【xx年遼寧省大連市高三雙基考試】_______． 26．【xx江西鷹潭】

24、設(shè)，若曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為2，則 ． 【知識(shí)點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用． 【答案解析】 解析 ：解：如圖， 27．【xx吉林一中】設(shè)，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為 【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】 1．【熱點(diǎn)1預(yù)測(cè)】若則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】． 2．【熱點(diǎn)2預(yù)測(cè)】曲線與直線y=圍成的封閉圖形的面積為（ ）A． B． C． D． 3．【熱點(diǎn)3預(yù)測(cè)】一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，設(shè)汽車在時(shí)刻t的速度為v(t)=-t2+4，（t）（t的單位：h， v的單位：km/h）則這輛車行駛的最大位移是______km