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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第十三篇 推理證明、算法、復數(shù) 第4講　數(shù)學歸納法教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．數(shù)學歸納法的原理及其步驟． 2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題． 【復習指導】 復習時要抓住數(shù)學歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學歸納法在證明命題中的應用技巧． 基礎梳理 1．歸納法 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法． 2．數(shù)學歸納法 (1)數(shù)學歸納法：設{Pn}

2、是一個與正整數(shù)相關的命題集合，如果：①證明起始命題P1(或P0)成立；②在假設Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立． (2)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題時，其步驟為： ①歸納奠基：證明當取第一個自然數(shù)n0時命題成立； ②歸納遞推：假設n＝k，(k∈N*，k≥n0)時，命題成立，證明當n＝k＋1時，命題成立； ③由①②得出結(jié)論． 兩個防范 數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證明方法，第一步是遞推的“基礎”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個步驟缺一不可，在證明過程中要防范以下兩點： (1) 第一步驗證n＝n0時，n0不一定為

3、1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，在證明n＝k＋1時，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學歸納法．第二步關鍵是“一湊假設，二湊結(jié)論”． 三個注意 運用數(shù)學歸納法應注意以下三點： (1)n＝n0時成立，要弄清楚命題的含義． (2)由假設n＝k成立證n＝k＋1時，要推導詳實，并且一定要運用n＝k成立的結(jié)論． (3)要注意n＝k到n＝k＋1時增加的項數(shù)． 雙基自測 1．在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗第一個值n0 等于(　　)． A．1 B．2 C．3

4、 D．0 解析　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 答案　C 2．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的過程，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了(　　)． A．1項 B．k項 C．2k－1項 D．2k項 解析　1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k項，故選D. 答案　D 3．用數(shù)學歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　)． A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 4．某個命題與自然數(shù)n有關，若

5、n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(　　)． A．n＝6時該命題不成立 B．n＝6時該命題成立 C．n＝4時該命題不成立 D．n＝4時該命題成立 解析　法一　由n＝k(k∈N*)成立，可推得當n＝k＋1時該命題也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．現(xiàn)知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立． 法二　其逆否命題“若當n＝k＋1時該命題不成立，則當n＝k時也不成立”為真，故“n＝5時不成立”?“n＝4時不成立”． 答案　C 5．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的

6、左邊增加的式子是________． 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案　 　　 考向一　用數(shù)學歸納法證明等式 【例1】?用數(shù)學歸納法證明： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N*，n≥2)． [審題視點] 注意第一步驗證的值，在第二步推理證明時要注意把假設作為已知． 證明　(1)當n＝2時，右邊＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*且k≥2)時，等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan

7、 kα＝－k， 那么當n＝k＋1時， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1) ＝＋－(k＋1) ＝－(k＋1)． 這就是說，當n＝k＋1時等式也成立． 由(1)(2)知，對任何n∈N*且n≥2，原等式成立． 用數(shù)學歸納法證明等式時，要注意第(1)步中驗證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應在歸納假設的基礎上正確地使用正切的差角公式． 【訓練1】 用數(shù)學歸納法證明： 對任意的n

8、∈N*，＋＋…＋＝. 證明　(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，左邊＝右邊，所以等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*且k≥1)時等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式都成立． 考向二　用數(shù)學歸納法證明整除問題 【例2】?是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由． [審題視點] 觀察所給函數(shù)式，湊出推理要證明所需的項． 解　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋

9、9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36. 下面用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝1時，顯然成立； (2)假設n＝k(k∈N*且k≥1)時，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當n＝k＋1時，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，這就是說，當n＝k＋1時，f(n)也能被36整除． 由(1)(2)可知對一切正整數(shù)n都有f(n

10、)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36. 證明整除問題的關鍵“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出n＝k時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證． 【訓練2】 用數(shù)學歸納法證明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除． 證明　(1)當n＝1時，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除． (2)假設n＝k(k∈N*且k≥1)時， ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當n＝k＋1時， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋

11、a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假設可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除， 即n＝k＋1時命題也成立， ∴對任意n∈N*原命題成立． 考向三　用數(shù)學歸納法證明不等式 【例3】?用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式·…·>均成立． [審題視點] 本題用數(shù)學歸納法證明不等式，在推理過程中用放縮法，要注意放縮的“度”． 證明　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝. ∵左

12、邊>右邊，∴不等式成立． (2)假設n＝k(k≥2，且k∈N*)時不等式成立， 即·…·>. 則當n＝k＋1時， ·…· >·＝＝ >＝＝. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 在由n＝k到n＝k＋1的推證過程中，應用放縮技巧，使問題得以簡化，用數(shù)學歸納法證明不等式問題時，從n＝k到n＝k＋1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等． 【訓練3】 已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解　∵f′

13、(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想： ①當n＝1時，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時結(jié)論成立，即ak≥2k－1，則當n＝k＋1時，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時，結(jié)論也成立

14、． 由①、②知，對任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n，∴≤， ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n＜1. 考向四　歸納、猜想、證明 【例4】?數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想． [審題視點] 利用Sn與an的關系式求出{an}的前幾項，然后歸納出an，并用數(shù)學歸納法證明． 解　(1)當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

15、當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. 由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明　①當n＝1時，左邊＝a1＝1，右邊＝＝1，左邊＝右邊，結(jié)論成立． ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，結(jié)論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak， ∴ak＋1＝＝＝， 這表明n＝k＋1時，結(jié)論成立， 由①②知猜想an＝成立． (1)歸納、猜想、證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例從特例入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般

16、規(guī)律． (2)數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學歸納法所運用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學歸納法解決． 【訓練4】 由下列各式1＞， 1＋＋＞1， 1＋＋＋＋＋＋＞， 1＋＋＋…＋＞2， 1＋＋＋…＋＞， …，你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明． 答案　猜想：第n個不等式為1＋＋＋…＋＞(n∈N*)． (1)當n＝1時，1＞，猜想正確． (2)假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時猜想正確， 即1＋＋＋…＋＞， 那么，當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋＝. 即當n＝k＋1時，不

17、等式成立． ∴對于任意n∈N*，不等式恒成立． 　　 閱卷報告20——由于方法選擇不當導致失誤 【問題診斷】 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式命題時，關鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項，其難點在于歸納假設后，如何推證對下一個正整數(shù)值命題也成立. 【防范措施】 把歸納假設當做已知條件參加推理.明確對下一個正整數(shù)值命題成立的目標，通過適當?shù)淖儞Q達到這個目標，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學歸納法. 【示例】? 在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an

18、＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋＜. 實錄　(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，由上可得結(jié)論成立． ②假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時，結(jié)論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當n＝k＋1時，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋

19、1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2， 所以當n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． 錯因　第二問由于不等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強不等式后，用數(shù)學歸納法證明．(2)當n＝1時 ＝＜ 假設n＝k(k∈N*)時不等式成立 即＋＋…＋＜ 當n＝k＋1時 ＋＋…＋＋＜＋ 到此無法用數(shù)學歸納法證明． 正解　(1)用實錄(1) (2)證明：＝＜. n≥2時，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故＋＋…＋ ＜＋ ＝＋ ＝＋＜＋＝. 綜上，原不等式成立．