《2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第4課時 基本不等式練習(xí) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第4課時 基本不等式練習(xí) 理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第4課時 基本不等式練習(xí) 理 1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2　　　　　　　 B．2 C．2ab D．a(chǎn)＋b 答案　D 解析　只需比較a2＋b2與a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2

2、為{x|x∈R，且x≠0}，函數(shù)沒有最小值；B中若sinx＝取到最小值4，則sin2x＝4，顯然不成立．D中沒有最小值．故選C. 3．設(shè)0

3、2] 答案　D 解析　∵2x＋2y≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時等號成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故選D. 5．若x，y是正數(shù)，則(x＋)2＋(y＋)2的最小值是(　　) A．3 B. C．4 D. 答案　C 解析　原式＝x2＋＋＋y2＋＋≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時取“＝”號． 6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，則的最小值為(　　) A. B．4 C. D．2 答案　C 解析　∵4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝2時取等號． 7．若x<0，則函數(shù)y＝x2＋－x－的最小值是(　　) A．－ B．0 C．

4、2 D．4 答案　D 解析　y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取等號． 8．(2015·湖南，文)若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2. 方法二：由題設(shè)易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時取“＝”號，選C. 9．(2017·金山模擬)函數(shù)y＝(x>1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 答案　A 解析　∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝＝＝ ＝＝x－1＋

5、＋2≥2＋2＝2＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝1＋時，取等號． 10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2， 當(dāng)且僅當(dāng)a·＝，即ax2＝y(tǒng)2時“＝”成立． ∴(x＋y)(＋)的最小值為(＋1)2≥9. ∴a≥4. 11．設(shè)實數(shù)x，y，m，n滿足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是(　　) A. B．2 C. D. 答案　A 解析　方法一：設(shè)x＝sinα，y＝cosα，m＝sin

6、β，n＝cosβ，其中α，β∈R. ∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故選A. 方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤. 12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值為(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 答案　A 13．(2017·四川成都外國語學(xué)校)若正數(shù)a，b滿足：＋＝1，則＋的最小值為(　　) A．16 B．9 C．6 D．1 答案　C 解

7、析　方法一：因為＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6. 方法二：因為＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6. 方法三：因為＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6. 14．(1)當(dāng)x>1時，x＋的最小值為________； (2)當(dāng)x≥4時，x＋的最小值為________． 答案　(1)5　(2) 解析　(1)∵x>1，∴x－1>0. ∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5. (當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝.即x＝3時“＝”號成立) ∴x＋的最小值為5. (2)∵x≥4，∴x－1≥3

8、. ∵函數(shù)y＝x＋在[3，＋∞)上為增函數(shù)， ∴當(dāng)x－1＝3時，y＝(x－1)＋＋1有最小值. 15．若a>0，b>0，a＋b＝1，則ab＋的最小值為________． 答案　 解析　ab≤()2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號． y＝x＋在x∈(0，]上為減函數(shù)． ∴ab＋的最小值為＋4＝. 16．已知a>b>0，求a2＋的最小值． 答案　16 思路　由b(a－b)求出最大值，從而去掉b，再由a2＋，求出最小值． 解析　∵a>b>0，∴a－b>0. ∴b(a－b)≤[]2＝. ∴a2＋≥a2＋≥2＝16. 當(dāng)a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝時等號成立． ∴a2

9、＋的最小值為16. 17．(2017·江西重點中學(xué)盟校聯(lián)考)設(shè)x，y均為正實數(shù)，且＋＝，求xy的最小值． 答案　16 解析　由＋＝，化為3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理為xy＝x＋y＋8.∵x，y均為正實數(shù)，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時取等號，∴xy的最小值為16. 18．(2018·遼寧撫順一中月考)某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心x(0

10、已知臭氧發(fā)生孔工作時，對左腳的干擾度與x2成反比，比例系數(shù)為4；對右腳的干擾度與400－x2成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)x＝10時，對左腳和右腳的干擾度之和為0.065. (1)將臭氧發(fā)生孔工作時對左腳和右腳的干擾度之和y表示為x的函數(shù)； (2)求臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和y的最小值． 答案　(1)y＝＋(0

11、”． 所以臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和y的最小值為. 1．下列命題中正確的是(　　) A．函數(shù)y＝x＋的最小值為2 B．函數(shù)y＝的最小值為2 C．函數(shù)y＝2－3x－(x>0)的最小值為2－4 D．函數(shù)y＝2－3x－(x>0)的最大值為2－4 答案　D 解析　y＝x＋的定義域為{x|x≠0}，當(dāng)x>0時，有最小值2，當(dāng)x<0時，有最大值－2，故A項不正確； y＝＝＋≥2， ∵≥，∴取不到“＝”，故B項不正確； ∵x>0時，3x＋≥2·＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝時取“＝”， ∴y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C項不正確，D項正確． 2．(2014·重慶

12、)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 答案　D 解析　因為log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號，選擇D項． 3．(2016·人大附中月考)設(shè)a，b，c均大于0，則“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析

13、?。?， 當(dāng)abc＝1時，≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c. 故abc＝1?＋＋≤a＋b＋c. 反過來，若a＝b＝1，c＝4，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1， ∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要條件． 4．(2017·山東師大附中月考)已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.＋＋≥2 D．a(chǎn)bc(a＋b＋c)≤ 答案　B 解析　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加可知2(a2＋b2＋c2)≥2(bc＋a

14、b＋ac)，∴a2＋b2＋c2≥1.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.∴(a＋b＋c)2≥3. 5．已知a>0，b>0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　由題意知ab＝1，則m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立)． 6．已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，則W＝＋的最大值為________． 答案　2 解析　方法一：由≤可得＋≤＝＝2，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y，即x＝，y＝時等號成立． 方法二：易知W>0，W

15、2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2＋()2＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤2，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y，即x＝，y＝時等號成立． 7．已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則＋的最小值為________． 答案　 解析　由條件可知a，b，c>0且b2＝ac，即b＝，故≥＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，令＝t，則y＝t＋在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，故其最小值為2＋＝，即＋的最小值為. 8．(2018·河南鄭州外國語學(xué)校月考)某城鎮(zhèn)人口第二年比第一年增長m%，第三年比第二年增長n%，若這兩年的平均增長率為p%，則p與的大小關(guān)系為(　　) A．p> B．p＝ C．p≤ D．

16、p≥ 答案　C 解析　依題意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝≤＝1＋，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時等號成立，所以p≤，故選C. 9．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集為{x|x>4或x<1}． (1)求實數(shù)a，b的值； (2)若00的解集為{x|x>4或x<1}， 所以x2－5ax＋b＝0的兩根分別為1和4， 由根與系數(shù)的關(guān)系得5a＝1＋4，b＝1×4， 所以a＝1，b＝4. (2)由(1)知f(x)＝＋， 所以f(x)＝＋＝(＋)

17、[x＋(1－x)]＝5＋＋，因為00，>0，所以f(x)≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時等號成立． 所以f(x)的最小值為9. 10.如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2 m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60 m2，問a，b各為多少m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔面積忽略不計)． 答案　a＝6 m，b＝3 m 解析　設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)， 根據(jù)題意可知：y＝，其中k是比

18、例系數(shù)且k>0. 依題意要使y最小，只需求ab的最大值． 由題設(shè)，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)． ∵a＋2b≥2，∴2·＋ab≤30. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取“＝”號，ab有最大值． ∴當(dāng)a＝2b時有2·＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0. 解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6. 故當(dāng)a＝6 m，b＝3 m時經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小． 11．某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1 800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，每次購買面粉需支付運費900元．

19、 (1)該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？ (2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次性購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，該廠是否應(yīng)考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由． 答案　(1)10天　(2)應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件 解析　(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，則其購買量為6x噸．由題意知，面粉的保管等其他費用為3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)． 設(shè)每天所支付的總費用為y1元，則 y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800 ＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989， 當(dāng)且僅當(dāng)9x＝，即x＝10

20、時取等號． 所以該廠每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少． (2)若該廠家接受此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉．設(shè)該廠接受此優(yōu)惠條件后，每隔x(x≥35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2，則 y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，則f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋) ＝.因為x2>x1≥35， 所以x1－x2<0，x1·x2>100，即x1x2－100>0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)