《（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.12 函數(shù)模型及其應(yīng)用講義 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.12 函數(shù)模型及其應(yīng)用講義 文（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.12 函數(shù)模型及其應(yīng)用講義 文 一、基礎(chǔ)知識批注——理解深一點 1．常見的8種函數(shù)模型 (1)正比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)； (2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝(k為常數(shù)，k≠0)； (3)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)； (4)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)； (5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)； (6)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)； (7)冪

2、函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)； (8)“對勾”函數(shù)模型：y＝x＋(a>0)． (1)形如f(x)＝x＋(a>0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型，“對勾”函數(shù)的性質(zhì)： ①該函數(shù)在(－∞，－]和[，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－，0)和(0，]上單調(diào)遞減． ②當(dāng)x>0時，x＝時取最小值2，當(dāng)x<0時，x＝－時取最大值－2. (2)函數(shù)f(x)＝＋(a>0，b>0，x>0)在區(qū)間(0，]內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間[，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增． 2．三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增

3、減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax0)可以描述增長幅度不同的變化，當(dāng)n,值較小(n≤1)時，增長較慢；當(dāng)n值較大(n>1)時，增長較快. 二、基礎(chǔ)小題強化——功底牢一點 (1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(　　) (2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增長速度越來越快的形象

4、比喻．(　　) (3)冪函數(shù)增長比直線增長更快．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× (二)選一選 1．在某個物理實驗中，測量后得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 則對x，y最適合的擬合函數(shù)是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 　B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：選D　由x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；由x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意． 2

5、．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　) A．36萬件 B．18萬件 C．22萬件 D．9萬件 解析：選B　設(shè)利潤為L(x)，則利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時，L(x)有最大值． 3．某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是(　　) A．減少7.84% B．增加7.84% C．減少9.5% D．不增不減 解析：選A

6、　設(shè)某商品原來價格為a，依題意得： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， 所以(0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%. (三)填一填 4．某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行程千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是____________． 解析：由題意可得y＝ 答案：y＝ 5.有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一

7、塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為________ m2.(圍墻厚度不計) 解析：設(shè)圍成的矩形場地的長為x m，則寬為 m， 則S＝x·＝(－x2＋200x)． 當(dāng)x＝100時，Smax＝2 500 (m2)． 答案：2 500 [典例]　國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15 000元． (1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)； (

8、2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？ [解]　(1)設(shè)每團人數(shù)為x，由題意得0

9、，需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域在坐標(biāo)系中對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解． (2)對于分段函數(shù)模型的最值問題，應(yīng)該先求出每一段上的最值，然后比較大?。? (3)在利用基本不等式求解最值時，一定要檢驗等號成立的條件，也可以利用函數(shù)單調(diào)性求解最值． [題組訓(xùn)練] 1．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)＝已知某家庭2018年前三個月的煤氣費如表： 月份 用氣量 煤氣費 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　) A．11.

10、5元　　　　　　　 　B．11元 C．10.5元 D．10元 解析：選A　根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5. 2．A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度． (1)求x的取值范圍； (2)把月供電總費用y表示

11、成x的函數(shù)； (3)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使月供電總費用y最少？ 解：(1)由題意知x的取值范圍為[10,90]． (2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)． (3)因為y＝5x2＋(100－x)2 ＝x2－500x＋25 000 ＝2＋， 所以當(dāng)x＝時，ymin＝. 故核電站建在距A城 km處，能使月供電總費用y最少． [典例]　某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線． (1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；　 (

12、2)據(jù)進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間． [解]　(1)由題圖，設(shè)y＝ 當(dāng)t＝1時，由y＝4，得k＝4， 由1－a＝4，得a＝3.所以y＝ (2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5. 故服藥一次后治療疾病有效的時間是5－＝(小時)． [解題技法] 1．掌握2種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧 (1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型． (2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

13、問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)． 2．建立函數(shù)模型解應(yīng)用問題的4步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型． (2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型． (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論． (4)還原：將利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原到實際問題中． 以上過程用框圖表示如下： [題組訓(xùn)練] 1．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(

14、不考慮其他費用)為(　　) A．略有盈利 B．略有虧損 C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況 解析：選B　設(shè)該股民購進這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a

15、：(1)當(dāng)聲強為10－6 W/m2時， 由公式Y(jié)＝10lg， 得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分貝)． (2)當(dāng)Y＝0時，由公式Y(jié)＝10lg， 得10lg＝0. ∴＝1，即I＝10－12 W/m2， 則最低聲強為10－12 W/m2. 1．(2018·福州期末)某商場銷售A型商品．已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表所示： 銷售單價/元 4 5 6 7 8 9 10 日均銷售量/件 400 360 320 280 240 200 160 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價(單

16、位：元/件)應(yīng)為(　　) A．4　　　　　　　　　 　B．5.5 C．8.5 D．10 解析：選C　由數(shù)據(jù)分析可知，當(dāng)單價為4元時銷售量為400件，單價每增加1元，銷售量就減少40件．設(shè)定價為x元/件時，日均銷售利潤為y元，則y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]＝－402＋1 210，故當(dāng)x＝＝8.5時，該商品的日均銷售利潤最大，故選C. 2．(2019·綿陽診斷)某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費；用水超過10立方米的，超過的部分按每立方米5 元收費．某職工某月的水費為55元，則該職工這個月實際用水為(　　)

17、 A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 解析：選C　設(shè)該職工某月的實際用水為x立方米時，水費為y元，由題意得y＝即y＝易知該職工這個月的實際用水量超過10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15. 3．利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表示為y＝－30x＋4 000，則每噸的成本最低時的年產(chǎn)量為(　　) A．240噸 B．200噸 C．180噸 D．160噸 解析：選B　依題意，得每噸的成本為＝＋－30，則≥2 －30＝10， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時取等號，

18、因此，當(dāng)每噸成本最低時，年產(chǎn)量為200噸． 4．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的函數(shù)關(guān)系為P＝P0e－kt(k，P0均為正常數(shù))．如果在前5個小時的過濾過程中污染物被排除了90%，那么排放前至少還需要過濾的時間是(　　) A.小時 B.小時 C．5小時 D．10小時 解析：選C　由題意，前5個小時消除了90%的污染物． ∵P＝P0e－kt， ∴(1－90%)P0＝P0e－5k， ∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln 0.1， ∴k＝－ln 0.1. 由1%

19、P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，得－kt＝ln 0.01， ∴t＝ln 0.01，∴t＝10. ∴排放前至少還需要過濾的時間為t－5＝5(時)． 5．(2019·蚌埠模擬)某種動物的繁殖數(shù)量y(單位：只)與時間x(單位：年)的關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，若這種動物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到________只． 解析：由題意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，當(dāng)x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它們發(fā)展到300只． 答案：300 6.某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了從12月21日至1月8日自己種

20、植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克． 解析：前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(1,10)和點(10,30)代入函數(shù)解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，則當(dāng)x＝6時，y＝. 答案： 7．候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：v＝a＋blog3(其中a，b是實數(shù))．據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1 m/s. (1)求出a，b的值； (

21、2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，求其耗氧量至少要多少個單位？ 解：(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時，它的速度為0 m/s，此時耗氧量為30個單位， 故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0. 當(dāng)耗氧量為90個單位時，速度為1 m/s， 故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1. 解方程組得 (2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3. 所以要使飛行速度不低于2 m/s，則有v≥2， 所以－1＋log3≥2， 即log3≥3，解得≥27，即Q≥270. 所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個單位． 8.據(jù)

22、氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于沿海M地的臺風(fēng)一直向正南方向移動，其移動速度v(單位：km/h)與時間t(單位：h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積為時間t內(nèi)臺風(fēng)所經(jīng)過的路程s(單位：km)． (1)當(dāng)t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場臺風(fēng)是否會侵襲到N城，如果會，在臺風(fēng)發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 解：(1)由圖象可知，直線OA的方程是v＝3t(0≤t≤10)，直線BC的方程是v＝－2t＋70(20

23、35)． 當(dāng)t＝4時，v＝12，所以s＝×4×12＝24. (2)當(dāng)0≤t≤10時，s＝×t×3t＝t2； 當(dāng)10