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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 橢圓練習(xí)（含解析） 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)為C上一點(diǎn)，且軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為 A. B. C. D. （正確答案）A 解：由題意可設(shè)，，， 令，代入橢圓方程可得， 可得， 設(shè)直線AE的方程為， 令，可得，令，可得， 設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得， 由B，H，M三點(diǎn)共線，可得， 即為， 化簡(jiǎn)可得，即為， 可得． 故選：A． 由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE

2、的方程為，分別令，，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值． 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運(yùn)用和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題． 2. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為、，離心率為，過的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則C的方程為 A. B. C. D. （正確答案）A 解：的周長(zhǎng)為， 的周長(zhǎng)， ， ， 離心率為， ，， ， 橢圓C的方程為． 故選：A． 利用的周長(zhǎng)為，求出，根據(jù)離心率為，可得，求出b，即可得出橢圓

3、的方程． 本題考查橢圓的定義與方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 3. 曲線的方程為 ，若直線l與曲線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是 A. B. C. D. （正確答案）A 試題分析：方程 表示的是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為2，即有P的軌跡為線段， 直線l為恒過定點(diǎn)的直線， ， ， 直線l與曲線有公共點(diǎn)，等價(jià)為，即為 ． 4. 若橢圓C：的短軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓的離心率為 A. B. C. D. （正確答案）C 解：依題意可知，而 橢圓的離心率． 故選：C． 先根據(jù)題意可知，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，

4、離心率可得． 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)屬基礎(chǔ)題． 5. 已知中，A、B的坐標(biāo)分別為和，若三角形的周長(zhǎng)為10，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 A. B. C. D. （正確答案）B 解：，三角形的周長(zhǎng)為10，， 根據(jù)橢圓的定義知，頂點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且，， ，故橢圓的方程為， 故選：B． 根據(jù)三角形的周長(zhǎng)及，可得，根據(jù)橢圓的定義知頂點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，待定系數(shù)法求橢圓的方程． 本題考查根據(jù)橢圓的定義，用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題． 6. 已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別是，，在線段AB上有且

5、只有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則橢圓的離心率為 A. B. C. D. （正確答案）A 解：依題意，作圖如下 ，，，， 直線AB的方程為：，整理得：， 設(shè)直線AB上的點(diǎn) 則， ， ， ， 令， 則， 由得：，于是， ， 整理得：，又，， ， ，又橢圓的離心率， ， 橢圓的離心率為． 故選A． 由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入AB的方程，由，得，結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案． 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查直線的方程，著重考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，是重點(diǎn)更是難點(diǎn)，屬于難題． 7. 過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為

6、 A. B. C. D. （正確答案）C 解：橢圓的焦點(diǎn)，可得，設(shè)橢圓的方程為：， 可得：，，解得，， 所求的橢圓方程為：． 故選：C． 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出方程利用橢圓經(jīng)過的點(diǎn)，求解即可． 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，考查計(jì)算能力． 8. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作一條直線不與x軸垂直與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，如果恰好為等腰直角三角形，該直線的斜率為 A. B. C. D. （正確答案）C 解：可設(shè)，， 若構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形， 則，， 由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為4a， 即有，即， ， 則， 在

7、中， ， 直線AB的斜率為， 故選：C． 假設(shè)構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)求得，，則直線AB的斜率為． 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 9. 橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且兩曲線的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為 A. B. C. D. （正確答案）D 解：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率為：， 雙曲線的焦點(diǎn)，，雙曲線的離心率為2． 可知，則， 雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為：． 故選：D． 求出橢圓的離心率，得到雙曲線的離心率，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲

8、線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解即可． 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 10. 橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為 A. B. C. 3 D. 6 （正確答案）A 解：橢圓，P為橢圓上一點(diǎn)， 設(shè)，，， 到直線的距離： ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值． 點(diǎn)P到直線的距離的最小值為． 故選：A． 設(shè)，，，求出P到直線的距離d，由此能求出點(diǎn)P到直線的距離的最小值． 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用． 11. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若是以A為直角頂點(diǎn)的等

9、腰直角三角形，則離心率為 A. B. C. D. （正確答案）D 解：如圖，設(shè)，， 若構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形， 則，， 由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為4a， 即有，即， 則， 在直角三角形中， ， 即， ， 則， ． 故選：D． 設(shè)，，若構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，，再由橢圓的定義和周長(zhǎng)的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，開方得答案． 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查勾股定理的運(yùn)用，靈活運(yùn)用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，是中檔題． 12. 已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左、右

10、焦點(diǎn)分別是，，在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則橢圓的離心率為 A. B. C. D. （正確答案）D 解：依題意，作圖如下： 由，，，， 可得直線AB的方程為：，整理得：， 設(shè)直線AB上的點(diǎn)，則， ， 由， ， 令， 則， 由得：，于是， ， 整理得：，又，， ， ，又橢圓的離心率， ， 可得， 故選：D． 由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入AB的方程，由，得，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，結(jié)合橢圓的離心率公式，解方程即可求得答案． 本題考查橢圓的性質(zhì)，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線的方程的運(yùn)用，著重考查橢圓離心率，以及化簡(jiǎn)整理

11、的運(yùn)算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是______． （正確答案） 【分析】 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，設(shè)右焦點(diǎn)，將代入橢圓方程求得B，C的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值方法二、運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求屬于中檔題． 【解答】 解：設(shè)右焦點(diǎn)， 將代入橢圓方程可得， 可得，，

12、 由，可得， 即有， 化簡(jiǎn)為， 由，即有， 由，可得， 可得， 另解：設(shè)右焦點(diǎn)， 將代入橢圓方程可得， 可得，， ，， ，則十， 因?yàn)?，代入得? 由，可得， 可得． 故答案為． 14. 已知，為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，則C的離心率為______ ． （正確答案） 解：，，成等差數(shù)列， ， 即， ． 故答案為：． 根據(jù)等差中項(xiàng)的定義及橢圓的定義列方程即可得出離心率． 本題考查了橢圓的定義，等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 15. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為A，直線與交于點(diǎn)若，則C的離心率等于_

13、_____ ． （正確答案） 解：如圖所示，設(shè)，由，得：， 根據(jù)三角形相似得：，求得：， 又直線的方程為 將點(diǎn)代入，得：， ． 故答案為：． 由，得：，根據(jù)三角形相似得：，則，代入即可求得e的值． 本題考查橢圓的離心率，考查三角形的相似的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題． 16. 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4，則該橢圓的離心率 ______ ． （正確答案） 解：根據(jù)題意，橢圓上A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4，則，即， 又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則有， 又由，解可得， 則， 則該橢圓的離心率； 故答案為：． 根據(jù)題意，由橢圓的定義分析

14、可得，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，由a的值解可得b的值，計(jì)算可得c的值，由橢圓離心率公式計(jì)算可得答案． 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，要掌握橢圓的定義以及離心率的計(jì)算公式． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知橢圓E：的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，． Ⅰ當(dāng)，時(shí)，求的面積； Ⅱ當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍． （正確答案）解：Ⅰ方法一、時(shí)，橢圓E的方程為，， 直線AM的方程為，代入橢圓方程，整理可得， 解得或，則， 由，可得， 由，，可得， 整理可得，由無(wú)實(shí)根，可得， 即有的面積為； 方法二、由，可得M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，

15、 由可得直線AM的斜率為1，直線AM的方程為， 代入橢圓方程，可得， 解得或，，， 則的面積為； Ⅱ直線AM的方程為，代入橢圓方程， 可得， 解得或， 即有， ， 由，可得， 整理得， 由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則，即有，即有， 可得，即k的取值范圍是． Ⅰ方法一、求出時(shí)，橢圓方程和頂點(diǎn)A，設(shè)出直線AM的方程，代入橢圓方程，求交點(diǎn)M，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求得，由垂直的條件可得，再由，解得，運(yùn)用三角形的面積公式可得的面積； 方法二、運(yùn)用橢圓的對(duì)稱性，可得直線AM的斜率為1，求得AM的方程代入橢圓方程，解方程可得M，N的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式計(jì)算即可得到； Ⅱ直線AM的方程

16、為，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)M，可得，，再由，求得t，再由橢圓的性質(zhì)可得，解不等式即可得到所求范圍． 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，以及弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題． 18. 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為已知A是拋物線的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為． 求橢圓的方程和拋物線的方程； 設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)異于，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)若的面積為，求直線AP的方程． （正確答案）Ⅰ解：設(shè)F的坐標(biāo)為． 依題意可得， 解得，，，于是． 所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為． Ⅱ解：直線l

17、的方程為，設(shè)直線AP的方程為， 聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)，故 聯(lián)立方程組，消去x，整理得，解得，或． 直線BQ的方程為， 令，解得，故D． ． 又的面積為，， 整理得，解得，． 直線AP的方程為，或． 根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a，b，p即可得出方程； 設(shè)AP方程為，聯(lián)立方程組得出B，P，Q三點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線BQ的方程，解出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案． 本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題． 19. 已知橢圓E：的離心率為，右焦點(diǎn)為． 求橢圓的方程； 設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l與橢圓E

18、交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線l的方程． （正確答案）解：依題意得，，；分 解得，； 橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；分 設(shè)，， 當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為，不符題意；分 當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為；分 由得：，分 ，；分 ； 又，； ， 解得，分 直線l的方程為：分 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出a、b的值即可； 討論直線MN的斜率是否存在，設(shè)出MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，求出直線的斜率k，即可求出直線l的方程． 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線與橢圓的應(yīng)用問題，考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，平面向量的應(yīng)用問題，是綜合題．