《初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第二十六講《實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用》教案1 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第二十六講《實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用》教案1 北師大版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第二十六講《實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用》教案1 北師大版 　　實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)．在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念．這一概念對中學(xué)生而言，有一定難度．但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實(shí)數(shù)的概念及其簡單的運(yùn)算知識，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的．因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的．本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識及其應(yīng)用． 　　用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)的和、

2、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的． 　　性質(zhì)1 任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然． 　　例1 　　 　　分析 要說明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式． 　　證 設(shè) 　　 　　兩邊同乘以100得 　　 　　②-①得 　　99x=261.54-2.61=258.93， 　　 　　　 無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．有理數(shù)對四則運(yùn)算是封閉的，而無理 是說，無理數(shù)對四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì)． 　　性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則 　　(1

3、)a+b，a-b是無理數(shù)； 　　 　　有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即 　　在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實(shí)數(shù)，也沒有最大的實(shí)數(shù)．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大?。w實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對應(yīng)的．在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)(即實(shí)數(shù)對四則運(yùn)算的封閉性)．任一實(shí)數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)． 　　例2 　　 　　分析 　　證 　　 　　　 　　所以 　 　　　 　　 　　分析 要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)

4、對立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無理數(shù)時(shí)，常常采用反證法． 　　證 用反證法． 　　 　 　　所以p一定是偶數(shù)．設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入①得 　　4m2＝2q2，q2＝2m2， 　　 　 　　例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立． 　　分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明． 　　證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，則 　　　 　　反之，顯然成立． 　　說明 本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)． 　　是無理數(shù)，并說明理由． 　　 　

5、　整理得 　　由例4知 　　a＝Ab，1=A， 　　 　　說明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)． 　　例6 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個(gè)有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)． 　　分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明． 　　證 因?yàn)閍＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以 　 　　　 　　說明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法． 　　例7 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且a＜b，問是否存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b

6、成立？ 　　　 　　 　　　 　　即 　　 　　由①，②有 　　　 　　 　　存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立． 　　 b4+12b3+37b2+6b-20 　　的值． 　　分析 因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個(gè)無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法． 　　14=9+6b+b2，所以b2+6b=5． 　　b4+12b3+37b2+6b-20 　　=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20 　　=(b2+6b)2+(b2+6b)-20

7、 　　=52+5-20=10． 　　例9 求滿足條件 　　的自然數(shù)a，x，y． 　　解 將原式兩邊平方得 　 　　 　　由①式變形為 　　　 　 　　兩邊平方得 　　　 　　　 　　　 　　　 　　例10 設(shè)an是12+22+32+…+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，…，求證：0.a1a2a3…an…是有理數(shù)． 　　分析 有理數(shù)的另一個(gè)定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以，要證0.a1a2a3…an…是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手． 　　證 計(jì)算an的前若干個(gè)值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，

8、5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2…an…是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即 　　下面證明ak+20=ak． 　　令f(n)=12+22+…+n2，當(dāng)f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時(shí)，表明f(n+20)與f(n)有相同的個(gè)位數(shù)，而 　　f(n+20)-f(n) 　　=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2 　　=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)． 　　由前面計(jì)算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一個(gè)有理數(shù)． 練習(xí)三 　　1．下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？為什么？ 　　　 　　　 　　　 　　5．設(shè)α，β為有理數(shù)，γ為無理數(shù)，若α+βγ=0，求證： α=β=0．