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1、遼寧省沈陽市2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)暑假作業(yè) 集合、函數(shù)、基本初等函數(shù) 1 集合
一．選擇題（共12小題）
1．若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，則（ ）
A．A?B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=?
2．已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若A∪B?C，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．{m|﹣2≤m≤1} B．{m|﹣≤m≤1} C．{m|﹣1≤m≤} D．{m|﹣≤m≤}
3．設(shè)集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）=0}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，則a的值
2、可以是（ ?。?
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知集合A={（x，y）|y2＜x}，B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，則A∩B=（ ?。?
A．? B．{（2，﹣1）}
C．{（﹣1，2），（﹣2，1）} D．{（1，﹣2），（﹣1，2），（﹣2，1）}
5．已知集合A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，則A∩B=（ ?。?
A．{1} B．{0，1} C．[0，2） D．?
6．已知集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=log2（x+2），x∈A}，則A∩B為（ ?。?
A．（0，1） B．[0，1] C．（1，2） D
3、．[1，2]
7．已知R是實(shí)數(shù)集，集合 A={x|22x+1≥16}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0，則（?RA）∩B=（ ）
A．（1，2） B．[1，2] C．（1，3） D．（1，）
8．設(shè)A，B是非空集合，定義A*B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N={y|y≤1}，則M*N=（ ?。?
A．（1，3] B．（﹣∞，0）∪（1，3] C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，0]∪[1，3]
9．已知集合A={1，2，3，…，2017}，B={}．若B?A，且對任意的i，j（i∈{1，2，3，4，5}，j∈{1，2，3，4，5}），都有|ai﹣aj|≠1
4、．則集合B的個數(shù)用組合數(shù)可以表示成（ ?。?
A．C B． C． D．C
10．用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=，若A={x|x2﹣ax﹣2=0，a∈R}，B={x||x2+bx+2|=2，b∈R}，且A*B=2，則b的取值范圍（ ?。?
A．b≥2或b≤﹣2 B．b＞2或b＜﹣2 C．b≥4或b≤﹣4 D．b＞4或b＜﹣4
11．設(shè)集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和稱為X的“容量”，（規(guī)定空集容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S的奇（偶）子集，記S的奇子集個數(shù)為m，偶子集個數(shù)為n，則m，n之間的關(guān)系為（ ?。?
A．m=n B
5、．m＞n C．m＜n D．無法確定
12．設(shè)函數(shù)f（x）=（a，b，c∈R）的定義域和值域分別為A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}對應(yīng)的平面區(qū)域是正方形區(qū)域，則實(shí)數(shù)a，b，c滿足（ ?。?
A．|a|=4 B．a(chǎn)=﹣4且b2+16c＞0
C．a(chǎn)＜0且b2+4ac≤0 D．以上說法都不對
二．填空題（共4小題）
13．設(shè)集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，則A∪B= ．
14．設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，集合A={x|[x]2﹣2[x]=3}，B={x|2x＞8}，則A∩B= ．
15．若對任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2
6、（x）成立，則稱函數(shù)f（x）為函數(shù)f1（x）到函數(shù)f2（x）在區(qū)間D上的“折中函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，2e]上的“折中函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的值構(gòu)成的集合是 ?。?
16．已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?。?
三．解答題（共2小題）
17．已知函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g（x）=的定義域?yàn)榧螧．
（1）求集合A、B；
（2）若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
7、
18．已知：集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=lg∈M，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．
必修一集合、函數(shù)、基本初等函數(shù)參考答案
一、集合
1.【解答】解：y=2x+2＞2，∴集合A={y|y=2x+2}=（2，+∞）．
由﹣x2+x+2≥0，化為x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．
∴B=
8、{x|﹣x2+x+2≥0}=[﹣1，2]．∴A∩B=?，故選：D．
2．【解答】解：由題意，A∪B={x|﹣1＜x＜2}，
∵集合C={x|mx+1＞0}，A∪B?C，
①m＜0，x＜﹣，∴﹣≥2，∴m≥﹣，∴﹣≤m＜0；
②m=0時，成立；③m＞0，x＞﹣，∴﹣≤﹣1，∴m≤1，∴0＜m≤1，
綜上所述，﹣≤m≤1，
故選B．
3．【解答】解：由（x+1）（x﹣4）=0，解得x=﹣1，4．
∴A={﹣1，4}，又B={x|x≤a}，A∩B=A，則a的值可以是4．
故選：D．
4．【解答】解：集合A={（x，y）|y2＜x}，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)表示平面區(qū)域陰影面積；
B
9、={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)表示孤立的兩組點(diǎn)；
由，求得點(diǎn)P（，﹣）；如圖所示，
則x=2，y=﹣1時滿足條件，∴A∩B={（2，﹣1）}．故選：B．
5．【解答】解：集合A={y|0≤y＜2，y∈N}={0，1}，
B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}={x|﹣1≤x≤5，x∈N}={0，1，2，3，4，5}，
則A∩B={0，1}．故選：B．
6．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0，2]，
B={y|y=log2（x+2），x∈A}，
由x∈A，x+2∈[2，4]，可得log2（x+2）∈[1，2
10、]，
即有B=[1，2]，則A∩B=[1，2]．故選：D．
7．【解答】解：集合 A={x|22x+1≥16}={x|22x+1≥24}={x|2x+1≥4}={x|x≥}，
B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，?RA={x|x＜}，
可得（?RA）∩B={x|1＜x＜}=（1，）．故選：D．
8．【解答】解：M∪N=（﹣∞，3]，M∩N=[0，1]；
∴M*N=（﹣∞，0）∪（1，3]．故選B．
9．【解答】解：我們把任意四對相鄰的兩個數(shù)看作四個數(shù)隊(duì)，其余的數(shù)組成一個數(shù)隊(duì)．從上述5個數(shù)對種各選一個數(shù)，必然不相鄰．也就是滿足：|ai﹣aj|≠1．∴共可以組
11、成上述的數(shù)對有2013種情形，
∴集合B的個數(shù)用組合數(shù)可以表示成．故選：B．
10．【解答】解：∵A*B=2，C（A）=2
∴C（B）=0或4；∴|x2+bx+2|=2，當(dāng)b=0時，方程只有1解，
故b≠0，∴x2+bx+2=2有2個解故x2+bx+2=﹣2即x2+bx+4=0不同的解，
∴△=b2﹣4×4＞0，∴b＞4或b＜﹣4．故選D．
11．【解答】解：集合S的子集可以分為兩類：A含有1的子集，B中不含有1的子集，這兩類子集個含有22015個，而且對于B類中的任意子集T，必在A類中存在唯一一個子集T∪{1}與之對應(yīng)，且若T為奇子集，則T∪{1}是偶子集；若T為偶子集，則T∪{
12、1}是奇子集．∴B類中有x個奇子集，y個偶子集，則A類中必有x個偶子集，y個奇子集，∴S的奇子集與偶子集的個數(shù)相等．
故S的奇子集與偶子集個數(shù)相等，m=n．故選：A．
12．【解答】解：設(shè)y=ax2+bx+c與x軸相交于兩點(diǎn)（x1，0），（x2，0），a＜0．則，x1x2=．
∴|x1﹣x2|===．
由題意可得：，由=，解得a=﹣4．
∴實(shí)數(shù)a，b，c滿足a=﹣4，△=b2+16c＞0，故選：B．
二．填空題（共4小題）
13．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，則A∪B={1，3，5}．故答案為：
13、{1，3，5}．
14．【解答】解：由[x]2﹣2[x]=3，解得：[x]=3或[x]=﹣1，
故2＜x≤3或﹣2＜x≤﹣1，∴A=（2，3]∪（﹣2，﹣1]，
而B={x|2x＞8}={x|x＞3}，故A∩B=?．故答案為：?．
15．【解答】解：根據(jù)題意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．當(dāng)x∈[1，2e]時，函數(shù)f（x）=（k﹣1）x﹣1的圖象為一條線段，
于是，，解得k≥2．
另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．
令=，則．
由于1≤x≤2e，所以，于是函數(shù)x﹣lnx為增函數(shù)，
從而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0
14、，則函數(shù)m（x）為[1，2e]上的增函數(shù)．所以k﹣1≤[m（x）]min=m（1）即k≤2．綜上，k=2．故答案為：{2}．
16．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），
根據(jù)集合A得，m2+n2≤，根據(jù)集合B得，m+2n≤a，∵A?B，
∴a≥（a+2b）max，構(gòu)造輔助函數(shù)f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）
f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，
f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，
得到 m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，
∴λ=1
15、，∴m=，n=1時，m+2n有最大值，∴a≥（m+2n）max=+2=，
∴a≥，故答案為：a≥．
三．解答題（共2小題）
17．【解答】解：（1），
x2﹣（2a+1）x+a2+a≥0?x≥a+1或x≤a
∴A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B=（﹣∞，a]∪[a+1，+∞）…（6分）
（2）…（12分）
18．【解答】解：（1）f（x）=的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），
令，整理得x2+x+1=0，△=﹣3＜0，
因此，不存在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，所以f（x）=； （4分）
（2）f（x）=lg的定義
16、域?yàn)镽，f（1）=lg，a＞0，
若f（x）=lg∈M，則存在x∈R使得lg=lg+lg，
整理得存在x∈R使得（a2﹣2a）x2+2a2x+（2a2﹣2a）=0．
①若a2﹣2a=0即a=2時，方程化為8x+4=0，解得x=﹣，滿足條件：
②若a2﹣2a≠0即a∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）時，
令△≥0，解得a∈[3﹣，2）∪（2，3+]，
綜上，a∈[3﹣，3+]； （8分）
（3）f（x）=2x+x2的定義域?yàn)镽，
令2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），整理得2x+2x﹣2=0，
令g（x）=2x+2x﹣2，所以g（0）?g（1）=﹣2＜0，
即存在x0∈（0，1）使得g（x）=2x+2x﹣2=0，
亦即存在x0∈R使得2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），
故f（x）=2x+x2∈M． （12分）
遼寧省沈陽市2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)暑假作業(yè) 集合、函數(shù)、基本初等函數(shù) 1 集合
