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1、2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題七 概率與統(tǒng)計第2講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理 真題試做 1．(xx·山東高考，理4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查．為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為(　　)． A．7 B．9 C．10 D．15 2．(xx·陜西高考，理6)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖

2、葉圖表示(如圖所示)．設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則(　　)． A．＜，m甲＞m乙 B．＜，m甲＜m乙 C．＞，m甲＞m乙 D．＞，m甲＜m乙 3．(xx·廣東高考，理7)從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是(　　)． A． B． C． D． 4．(xx·湖北高考，理20)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表： 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工

3、程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 考向分析 概率部分主要考查了概率的概念、互斥事件的概率加法公式、對立事件的求法，以及古典概型的計算，均屬容易題．統(tǒng)計部分選擇、填空都是獨立考查本節(jié)知識，解答題均與概率的分布列綜合．預測下一步概率部分會更加注重實際問題背景，考查分析、推理能力，統(tǒng)計部分在直方圖、莖葉圖都可單獨命題，且多為一個小題，解答題仍會與分布列結(jié)合． 熱點例析 熱點一　隨機事件的概率 【例1】(xx·江西高考，理18)如圖

4、，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求V的分布列及數(shù)學期望E(V)． 規(guī)律方法 高考中，概率解答題一般有兩大方向．一、以頻率分布直方圖為載體，考查統(tǒng)計學中常見的數(shù)據(jù)特征：如平均數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等或古典概型；二、以應用題為載體，考查條件概率、獨立事件的概率、隨機變量的期望與方差等．需要注意第一種方

5、向的考查． 變式訓練1 (xx·北京昌平二模，理16)某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽．比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動靶的概率分別是和p(0＜p＜1)． (1)若選手甲在A區(qū)射擊，求選手甲至少得3分的概率； (2)我們把在A、B兩區(qū)射擊得分的數(shù)學期望高者作為選擇射擊區(qū)的標準，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊，求p的取值范圍． 熱點二　古典概型 【例2】(xx·上海高考，理11)三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽．若每人都選擇其中兩個項目

6、，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是__________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)． 規(guī)律方法 較為簡單的問題可以直接使用古典概型公式計算，較為復雜的概率問題的處理方法：一是轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進行求解；二是采用間接解法，先求事件A的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 變式訓練2 (1)(xx·江蘇高考，6)現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構成一個以1為首項，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是__________． (2)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上

7、的面的點數(shù)分別為X，Y，則log2XY＝1的概率為(　　)． A． B． C． D． 思想滲透 數(shù)形結(jié)合思想——解答統(tǒng)計問題 用數(shù)形結(jié)合思想解答的統(tǒng)計問題主要是通過頻率分布直方圖研究數(shù)據(jù)分布的總體趨勢． 求解時注意的問題： (1)頻率分布直方圖中縱軸表示，每個小長方形的面積等于這一組的頻率． (2)在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比． 下表給出了某校120名12歲男孩的身高資料．(單位：cm) 區(qū)間 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142

8、) 人數(shù) 5 8 10 22 33 區(qū)間 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 人數(shù) 20 11 6 5 (1)列出樣本的頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本的頻率分布圖，估計身高小于134 cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的百分比． 解：(1)頻率分布表如下： 區(qū)間人數(shù) 頻數(shù) 頻率 [122,126) 5 [126,130) 8 [130,134) 10 [134,138) 22 [138,142) 33 [142,146) 20

9、[146,150) 11 [150,154) 6 [154,158) 5 (2)頻率分布直方圖如圖： (3)由圖估計，身高小于134 cm的學生數(shù)約占總數(shù)的19%. 1．某企業(yè)共有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，初級職稱90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取各職稱的人數(shù)分別為(　　)． A．5,10,15 B．3,9,18 C．3,10,17 D．5,9,16 2．(xx·江西高考，理9)樣本(x1，x2，…，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，…，ym)的平均數(shù)為(≠)．若樣本(x1，x2，…

10、，xn，y1，y2，…，ym)的平均數(shù)＝α＋(1－α)，其中0＜α＜，則n，m的大小關系為(　　)． A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能確定 3．(xx·安徽高考，理5)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則(　　)． A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 4．在抽查某產(chǎn)品的尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中一組，抽查出的個體數(shù)在該組上的頻率是m，該組在頻率分布直方圖上

11、的高為h，則|a－b|等于(　　)． A．h·m B． C． D．與m，h無關 5．(xx·浙江鎮(zhèn)海中學模擬，15)用三種不同的顏色，將如圖所示的四個區(qū)域涂色，每種顏色至少用1次，則相鄰的區(qū)域不涂同一種顏色的概率為__________． 6．有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數(shù)字按相同的次序排列組成． 第一排 明文字符 A B C D 密碼字符 11 12 13

12、 14 第二排 明文字符 E F G H 密碼字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密碼字符 1 2 3 4 設隨機變量ξ表示密碼中不同數(shù)字的個數(shù)． (1)求P(ξ＝2)； (2)求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望． 7．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學期望E(ξ)． 參考答案 命題調(diào)研

13、·明晰考向 真題試做 1．C　解析：由題意可得，抽樣間隔為30，區(qū)間[451,750]恰好為10個完整的組，所以做問卷B的有10人，故選C. 2．B　解析：由題圖可得＝＝21.562 5，m甲＝20， ＝＝28.562 5，m乙＝29， 所以＜，m甲＜m乙． 故選B. 3．D　解析：在個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中： (1)當個位數(shù)是偶數(shù)時，由分步計數(shù)乘法原理知，共有5×5＝25個； (2)當個位數(shù)是奇數(shù)時，由分步計數(shù)乘法原理知，共有4×5＝20個． 綜上可知，基本事件總數(shù)共有25＋20＝45(個)， 滿足條件的基本事件有5×1＝5(個)， ∴概率P＝＝. 4．解

14、：(1)由已知條件和概率的加法公式有： P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故

15、工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7， 又P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】解：(1)從6個點中隨機選取3個點總共有＝20種取法，選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)的取法有種，因此V＝0的概率為P(V＝0)＝＝. (2)V的所有可能取值為0，，，，，因此V的分布列為

16、V 0 P 由V的分布列可得 E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝. 【變式訓練1】解：(1)設“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得3分”為事件N，則事件M與事件N為對立事件，P(M)＝·0·3＝， P(N)＝1－P(M)＝1－＝. (2)設選手甲在A區(qū)射擊的得分為ξ，則ξ的可能取值為0,3,6,9. P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝··2＝； P(ξ＝6)＝·2·＝； P(ξ＝9)＝3＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 3 6 9 P ∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝. 設選手甲在

17、B區(qū)射擊的得分為η，則η的可能取值為0,2,4. P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2. 所以η的分布列為 η 0 2 4 P (1－p)2 2p(1－p) p2 ∴E(η)＝0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p. 根據(jù)題意，有E(η)＞E(ξ)， ∴4p＞，∴＜p＜1. 【例2】　解析：若每人都選擇兩個項目，共有不同的選法種，而有兩人選擇的項目完全相同的選法有種，故填. 【變式訓練2】(1)　解析：由題意可知，這10個數(shù)分別為1，－3,9，－27,81，－35，36，－37,38，－39，

18、在這10個數(shù)中，比8小的有5個負數(shù)和1個正數(shù)，故由古典概型的概率公式得所求概率P＝＝. (2)C　解析：總事件數(shù)為36種，而滿足條件的(X，Y)為(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情形．p＝＝. 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．B　解析：高級、中級、初級職稱的人數(shù)所占比例分別為＝0.1，＝0.3，＝0.6.故選B. 2．A　解析：由已知，得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m， ＝＝＝α＋(1－α)， 整理，得(－)[αm＋(α－1)n]＝0， ∵≠， ∴αm＋(α－1)n＝0，即＝. 又0＜α＜，∴0＜＜1， ∴0＜＜1. 又n，m∈N＋，∴n＜m. 3

19、．C　解析：由圖可得，＝＝6，＝＝6，故A錯；而甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5，故B錯； ＝＝2， ＝＝2.4，故C正確；甲的成績的極差為4，乙的成績的極差也為4，故D錯． 4．C　解析：頻率分布直方圖中，＝高度，所以|a－b|＝，故選C. 5．　解析：依題意有兩個區(qū)域涂同一種顏色，另兩個區(qū)域涂另兩種顏色． 當涂同一種顏色的兩個區(qū)域相鄰時，有種涂法； 當涂同一種顏色的兩個區(qū)域不相鄰時，有×3×＝18種涂法； 故相鄰的區(qū)域不涂同一種顏色的概率為. 6．解：(1)密碼中不同數(shù)字的個數(shù)為2的事件為密碼中只有兩個數(shù)字，注意到密碼的第1,2列分別總是1,2，即只能取表格第1,

20、2列中的數(shù)字作為密碼． ∴P(ξ＝2)＝＝. (2)由題意可知ξ的取值為2,3,4三種情形． 若ξ＝3，注意表格的第一排總含有數(shù)字1，第二排總含有數(shù)字2，則密碼中只可能取數(shù)字1,2,3或1,2,4. ∴P(ξ＝3)＝＝. 若ξ＝4，則P(ξ＝4)＝＝或P(ξ＝4)＝1－－＝， ∴ξ的分布列為： ξ 2 3 4 P ∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝. 7．解：(1)設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么 1－P()＝1－·p＝. 解得p＝. (2)由題意，P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝2·＝， P(ξ＝2)＝·2＝， P(ξ＝3)＝3＝. 所以，隨機變量ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故隨機變量ξ的數(shù)學期望： E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.