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1、（通用版）2022高考數學一輪復習 2.3 函數的奇偶性與周期性講義 理 1．函數的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱 奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱 口訣記憶 奇偶性有特征，定義域要對稱； 奇函數，有中心，偶函數，有對稱. 2.函數的周期性 (1)周期函數 對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那

2、么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期． 并不是所有周期函數都有最小正周期，如f(x)＝5. [熟記常用結論] 1．奇偶性的5個重要結論 (1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集． (4)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單

3、調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性． (5)偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數． 2．周期性的4個常用結論 設函數y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數的周期為2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數的周期為2a； (3)若f(x＋a)＝，則函數的周期為2a； (4)若f(x＋a)＝－，則函數的周期為2a. 3．對稱性的3個常用結論 (1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函

4、數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱； (2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱； (3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱． [小題查驗基礎] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．(　　) (2)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(　　) (3)如果函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數．(　　) (4)若函數y

5、＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　) (5)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 二、選填題 1．下列函數中為偶函數的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：選B　A中函數為奇函數，B中函數為偶函數，C與D中函數均為非奇非偶函數，故選B. 2．下列函數為奇函數的是(　　) A．y＝ B．y＝ex C．y＝|x| D．y＝ex－e－x 解析：選D　A、B選項中的函數為非奇

6、非偶函數；C選項中的函數為偶函數；D選項中的函數為奇函數，故選D. 3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函數，則下列坐標表示的點一定在y＝f(x)圖象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 解析：選B　因為(a，f(a))是函數y＝f(x)圖象上的點，且y＝f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，所以點(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的圖象上． 4．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是________． 解析：∵f(x)＝ax2＋bx是

7、定義在[a－1,2a]上的偶函數，∴a－1＋2a＝0，∴a＝. 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝. 答案： 5．設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f＝________. 解析：∵f(x)是定義在R上的周期為2的函數， ∴f＝f＝f＝－4×2＋2＝－1＋2＝1. 答案：1 考點一 [基礎自學過關] 函數奇偶性的判定 [題組練透] 判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝； (4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)． 解：(1)因為f(x)有意義，

8、則滿足≥0， 所以－1＜x≤1， 所以f(x)的定義域不關于原點對稱， 所以f(x)為非奇非偶函數． (2)法一：定義法 當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1， －x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 當x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1， －x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)為奇函數． 法二：圖象法 作出函數f(x)的圖象，由奇函數的圖象關于原點對稱的特征知函數f(x)為奇函數． (3)因為所以－2≤x≤2且x≠0， 所以定義域關于原點對稱． 又f(－x)＝＝

9、， 所以f(－x)＝f(x)．故函數f(x)為偶函數． (4)函數的定義域為R， 因為f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋]＋loga(x＋) ＝loga(－x)＋loga(＋x) ＝loga[(－x)(＋x)] ＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0. 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數． [名師微點] 判斷函數奇偶性的3種常用方法 (1)定義法： 確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)圖象法： (3)性質法： 設f

10、(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [提醒]　分段函數奇偶性的判斷，要分別從x>0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性． 考點二 [師生共研過關] 函數奇偶性的應用 [典例精析] (1)(2019·廣州調研)已知函數f(x)＝＋a為奇函數，則實數a＝________. (2)函數f(x)在R上為奇函數，且x>0時，f(x)＝x＋1，則當x＜0時，f(x)＝________. (3)已知f

11、(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為________． [解析]　(1)易知f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－－a，所以2a＝－－＝－－＝－1，所以a＝－. (2)∵f(x)為奇函數，x>0時，f(x)＝x＋1， ∴當x＜0時，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1， 即x＜0時，f(x)＝x－1. (3)由題意得，g(－x)＝f(－x－1)， ∵f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇

12、函數， ∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， 即f(x－1)＋f(x＋1)＝0. ∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0. [答案]　(1)－　(2)x－1　(3)0 [解題技法] 與函數奇偶性有關的問題及解題策略 (1)求函數的值：利用奇偶性將待求值轉化為已知區(qū)間上的函數值求解． (2)求函數解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)求解析式中的參數值：在定義域關于原點對稱的前提

13、下，利用f(x)為奇函數?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解． [過關訓練] 1．設f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函數f(x)為偶函數，則g(x)的解析式可以為(　　) A．g(x)＝x3　　　　　　 B．g(x)＝cos x C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex 解析：選B　因為f(x)＝x2＋g(x)，且函數f(x)為偶函數，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)為偶函數，由選項可知，只有選項B中

14、的函數為偶函數，故選B. 2．設函數f(x)＝若f(x)是奇函數，則g(3)的值是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．－1 解析：選C　∵函數f(x)＝f(x)是奇函數，∴f(－3)＝－f(3)，∴l(xiāng)og2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，則g(3)＝－3.故選C. 3．若關于x的函數f(x)＝(t≠0)的最大值為a，最小值為b，且a＋b＝2，則t＝________. 解析：f(x)＝＝t＋， 設g(x)＝，則g(x)為奇函數，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1. 答案：1

15、 考點三 [師生共研過關] 函數的周期性 [典例精析] (1)已知函數f(x)＝如果對任意的n∈N*，定義fn(x)＝，那么f2 019(2)的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)設定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________. [解析]　(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2， ∴fn(2)的值具有周期性，且周期為3， ∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故選C

16、. (2)∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函數f(x)的周期T＝2， ∵當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2， ∴f(0)＝0，f(1)＝1， ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010. [答案]　(1)C　(2)1 010 [解題技法] 函數周期性有關問題的求解策略 (1)求解與函數的周期性有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期． (2)周期函數的圖象具有周期性，如果發(fā)現一個函數的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中

17、心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數一定具有周期性． [過關訓練] 1．[口訣第2句]已知函數f(x)的定義域為R，當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>時，f＝f，則f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：選D　當x>時，f＝f，即周期為1，則f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 2．[口訣第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數為(　　) A．6

18、 B．7 C．8 D．9 解析：選B　當0≤x＜2時，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x1＝0，x2＝1. 當2≤x＜4時，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期為2，所以f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)， 所以當2≤x＜4時，y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x3＝2，x4＝3. 同理可得，當4≤x＜6時，y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x5＝4，x6＝5. 當x7＝6時，也符合要求． 綜上可知，共有7個交點． 3．[口訣第5、6句]已知定義在R上的奇函數f(x

19、)的圖象關于直線x＝1對稱，且當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則下列不等式正確的是(　　) A．f(log27)＜f(－5)＜f(6) B．f(log27)＜f(6)＜f(－5) C．f(－5)＜f(log27)＜f(6) D．f(－5)＜f(6)＜f(log27) 解析：選C　因為奇函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數f(x)是以4為周期的周期函數，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(

20、0)＝0.于是，結合題意可畫出函數f(x)在[－2,4]上的大致圖象，如圖所示．又2＜log27＜3，所以結合圖象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故選C. 考點四 [全析考法過關] 函數性質的綜合應用 [考法全析] 考法(一)　單調性與奇偶性綜合 [例1]　(2018·石家莊質檢)已知f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)單調遞增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為(　　) A．{x|0＜x＜1或x>2}　 B．{x|x＜0或x>2} C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1} [解析]　因為

21、函數f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以可作出函數f(x)的示意圖，如圖，則不等式f(x－1)>0可轉化為－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故選A. [答案]　A 考法(二)　奇偶性與周期性綜合 [例2]　(2019·贛州月考)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實數a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) [解析]　∵f(x＋3)＝f(x)， ∴f(x)是定義在R上的以3為周期的函數， ∴

22、f(7)＝f(7－9)＝f(－2)． 又∵函數f(x)是偶函數， ∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1， ∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故選D. [答案]　D 考法(三)　單調性、奇偶性與周期性結合 [例3]　(2019·達州模擬)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上單調遞減，設a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b [解析]　∵偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，∴函數的周期為2.∴a＝f(－2.8)＝

23、f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函數f(x)在[－1,0]上單調遞減，∴a>c>b，故選D. [答案]　D [規(guī)律探求] 看個性 考法(一)是已知函數單調遞增且為奇函數，求自變量范圍，有時也比較大小，常利用奇、偶函數圖象的對稱性； 考法(二)是已知f(x)是周期函數且為偶函數，求函數值的范圍，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解； 考法(三)是函數周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇

24、偶性和單調性求解 找共性 對于函數性質結合的題目，函數的周期性有時需要通過函數的奇偶性得到，函數的奇偶性體現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調性，即實現區(qū)間的轉換，再利用單調性解決相關問題 [過關訓練] 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50　　　　　　　　　 B．0 C．2 D．50 解析：選C　∵f(x)是奇函數，

25、∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函數f(x)是周期為4的周期函數． 由f(x)為奇函數得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)

26、＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 2．已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上單調遞減，則f(x)在[1,3]上是(　　) A．增函數 B．減函數 C．先增后減的函數 D．先減后增的函數 解析：選D　根據題意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數f(x)的周期是2.又∵f(x)在定義域R上是偶函數，在[－1,0]上是減函數，∴函數f(x)在[0,1]上是增函數，∴函數f(x)在[1,2]上是減函數，在[2,3]上是增函數，∴

27、f(x)在[1,3]上是先減后增的函數，故選D. 3．已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增．若實數a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________． 解析：∵f(x)是定義在R上的偶函數，且在(－∞，0)上單調遞增， ∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，f(－)＝f()， ∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2， ∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜. 答案： 一、題點全面練 1．(

28、2018·天水一模)下列函數中，既是奇函數，又是增函數的為(　　) A．y＝x＋1　　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：選D　對于A，y＝x＋1為非奇非偶函數，不滿足條件．對于B，y＝－x2是偶函數，不滿足條件．對于C，y＝是奇函數，但在定義域上不是增函數，不滿足條件．對于D，設f(x)＝x|x|，則f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，則函數為奇函數，當x>0時，y＝x|x|＝x2，此時為增函數，當x≤0時，y＝x|x|＝－x2，此時為增函數，綜上，y＝x|x|在R上為增函數．故選D. 2．設函數f(x)為偶函數，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x

29、，則f(－)＝(　　) A．－ B. C．2 D．－2 解析：選B　由已知得f(－)＝f()＝log2＝.故選B. 3．函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A　∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數f(x)的周期為2.∴f＝f＝f＝2××＝. 4．(2018·佛山一模)已知f(x)＝2x＋為奇函數，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數，則f(ab)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D　根據題意，f

30、(x)＝2x＋為奇函數，則f(－x)＋f(x)＝0，即＋＝0，解得a＝－1. g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數，則g(x)＝g(－x)， 即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)， 解得b＝1，則ab＝－1， 所以f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－. 5．定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，則(　　) A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析：選A　∵f(x)是偶函數，∴f(－2

31、)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是減函數．又∵1＜2＜3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故選A. 6．已知函數f(x)＝asin x＋bln＋t，若f＋f＝6，則實數t＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．3 解析：選D　令g(x)＝asin x＋bln，易知g(x)為奇函數，所以g＋g＝0，則由f(x)＝g(x)＋t，得f＋f＝g＋g＋2t＝2t＝6，解得t＝3.故選D. 7．(2019·荊州模擬)已知f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當x∈(0,1)時，f(x)＝3x－1，則f＝(　　

32、) A.＋1 B.－1 C．－－1 D．－＋1 解析：選D　因為f(x)是周期為2的奇函數，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又當x∈(0,1)時，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝－＋1. 8．已知f(x)是定義域為(－1,1)的奇函數，而且f(x)是減函數，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么實數m的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,3) D. 解析：選A　∵f(x)是定義域為(－1,1)的奇函數，∴－1＜x＜1，f(－x)＝－f(x)，∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可轉化為f(m－2)>－f(2m－3)，即f

33、(m－2)>f(－2m＋3)．∵f(x)是減函數，∴∴1＜m＜. 9．(2019·洛陽第一次統(tǒng)考)若函數f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數，則實數a＝________. 解析：法一：(定義法)∵函數f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－. 法二：(取特殊值)由題意知函數f(x)的定義域為R，由f(x)為偶函數得f(－1)＝f(1)，∴l(xiāng)n(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e

34、1＋1)＝ln＝ln＝－1，∴a＝－. 答案：－ 10．設定義在R上的函數f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x＜1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 解析：依題意知：函數f(x)為奇函數且周期為2， 則f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0. ∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ＝f＋0＋f＋f(0)＋f ＝f－f＋f(0)＋f ＝f＋f(0) ＝2－1＋20－1 ＝－1. 答案：－1 二、專項培優(yōu)練 (一)技法專練——活用快得分 1．[巧用性質]已

35、知函數f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析：選C　f(x)＝＝2＋， 設g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)(x∈R)， ∴g(x)為奇函數，∴g(x)max＋g(x)min＝0. ∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min， ∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4. 2．[巧用性質]設函數f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍為________． 解析：由已知得函數f(x)為偶函數，所以f(x)＝f(|x|)， 由f(

36、x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)． 當x>0時，f(x)＝ln(1＋x)－，因為y＝ln(1＋x)與y＝－在(0，＋∞)上都單調遞增，所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增． 由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|， 兩邊平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 所以x的取值范圍為. 答案： 3．[數形結合]已知函數f(x)＝是奇函數． (1)求實數m的值； (2)若函數f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍． 解：(1)設x＜0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)

37、2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，作出f(x)的圖象如圖所示， 結合f(x)的圖象知所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是(1,3]． (二)素養(yǎng)專練——學會更學通 4．[邏輯推理]奇函數f(x)的定義域為R.若f(x＋2)為偶函數，且f(1)＝1，則f(8)＋f(9)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：選D　由函數f(x＋2)為偶函數可得，f(2＋x)＝f(2－x)． 又f(－x)＝－f(

38、x)，故f(2－x)＝－f(x－2)， 所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)． 所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， 故該函數是周期為8的周期函數． 又函數f(x)為奇函數，故f(0)＝0. 所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1. 5．[邏輯推理]已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：選D

39、　∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)， 即f(－25)＜f(80)＜f(11)． 6．[數學運算]定義在R上的函數f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，當x∈(－3,0]時，f(x)＝－x

40、－1，當x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403 B．405 C．806 D．809 解析：選B　定義在R上的函數f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，即函數f(x)的周期為5.當x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.當x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f

41、(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405. 7．[數學運算]設函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當－4≤x≤4時，求函數f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱． 又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示． 當－4≤x≤4時，設f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4.