《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第三章 導數(shù)及其應用 第14講 導數(shù)的概念及運算導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第三章 導數(shù)及其應用 第14講 導數(shù)的概念及運算導學案 新人教A版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三章 導數(shù)及其應用 [知識體系p37] 第14講　導數(shù)的概念及運算 【課程要求】 1．了解導數(shù)概念的實際背景． 2．理解導數(shù)的意義及幾何意義． 3．能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數(shù)． 4．能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)的求導． 對應學生用書p37 【基礎檢測】 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　　) (2)f′(x0)是導函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．(　　) (3)曲線的切線不一定與曲線只

2、有一個公共點．(　　) (4)因為(lnx)′＝，所以′＝lnx．(　　) (5)y＝cos3x由函數(shù)y＝cosu，u＝3x復合而成．(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．[選修2－2p11B組T1]—個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時速度是(　　) A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒 [解析]物體的運動方程為s＝1－t＋t2, s′＝－1＋2t，s′|t＝5＝9. [答案]D 3．[選修2－2p18練習T2]下列求導運算正確

3、的是(　　) A.′＝1＋B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx [解析]′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx. [答案]B 4．[選修2－2p18A組T7]曲線y＝在點M處的切線方程為__________． [解析]由已知y′＝＝－，所以曲線y＝在點M處的切線方程為y＝－，即x＋πy－π＝0. [答案]x＋πy－π＝0 5．已知直線y＝－x＋1是函數(shù)f(x)＝－·ex圖象的切線，則實數(shù)a＝__________． [解析]設切點

4、為(x0，y0)，則f′(x0)＝－·ex0＝－1， ∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1， ∴x0＝2，a＝e2. [答案]e2 6．若函數(shù)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，則f′(1)＝________． [解析]f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，則f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，所以f(0)＝2，故f(x)＝f′(1)ex－1－2x＋x2，則有f(0)＝f′(1)e－1，解得f′(1)＝2e. [答案]2e 【知識要點】 1．平均變化率及瞬時變化率及導數(shù)的概念 (1)函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率用____表示，且＝. (

5、2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率＝為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝. (3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)： 稱函數(shù)f′(x)＝__lim____為f(x)的導函數(shù)． (4)導數(shù)的幾何意義和物理意義 幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是曲線y＝f(x)上__點(x0，f(x0))處切線__的斜率k，即k＝__f′(x0)__；切線方程為__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． 物理意義：若物體位移隨時間變化的關系為s＝f(t)，則f′(t0)是物體運動在t＝t0時刻的__瞬時速度__． 2．基本初等函

6、數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝__n·xn－1__ f(x)＝sinx f′(x)＝__cos__x__ f(x)＝cosx f′(x)＝__－sin__x__ f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝__axln__a__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝____ f(x)＝lnx f′(x)＝____ 3.導數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)

7、·g′(x)__； (3)′＝__(g(x)≠0)__． 4．復合函數(shù)的導數(shù) (1)對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這兩個函數(shù)(函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x))的復合函數(shù)為y＝f(g(x))． (2)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為__y′x＝y(tǒng)′u·u′x__，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積． 對應學生用書p38 導數(shù)的運算法則及應用 例1　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝.

8、[解析] (1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， ∴y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2. (3)y′＝＝ ＝. [小結]1.應用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式進行導數(shù)計算時應注意：①公式(xn)′＝nxn－1中，n為有理數(shù)；②公式(ax)′＝axlna，(logax)′＝與(ex)′＝ex，(lnx)′＝，清楚地區(qū)分和熟記． 2．求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形

9、對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． 1．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x2sinx； (2)y＝. [解析] (1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx. (2)y′＝′＝＝－. 復合函數(shù)的導數(shù) 例2　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝； (2)y＝xsincos； (3)y＝x. [解析] (1)設u＝1－3x，則y＝u－4， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u－4)′u·(1－3x)′x＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝

10、. (2)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x， ∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x. (3)y′＝(x)′＝x′·＋x·()′＝＋＝. [小結]1.掌握求復合函數(shù)的導數(shù)一般步驟：(1)分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解關系；(2)分層求導，弄清每一步中是哪個變量對哪個變量求導數(shù)． 2．復合函數(shù)的導數(shù)計算關鍵是聯(lián)想基本初等函數(shù)，準確地通過中間量對復合函數(shù)進行分拆，同時最后結果是關于x的函數(shù)解析式． 2．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(2x＋1)5； (2)y＝sin2. [解析] (1)設u＝2x＋1，則y＝u

11、5， ∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝(u5)′u·(2x＋1)′x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4. (2)y′＝′＝2sin·′＝2sin·cos·′ ＝2sin·cos·2＝2sin. 導數(shù)運算的應用 例3　(1)若函數(shù)f(x)在R上可導，f(x)＝exlnx＋x3f′(1)，則f′(1)＝__________． [解析]由已知可得f′(x)＝ex＋3x2f′(1)， 故f′(1)＝e＋3f′(1)，解得f′(1)＝－. [答案]－ (2)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(x)的圖象是(　　) [解析]∵f(x)＝

12、x2＋sin＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx，它是一個奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除B，D.又f″(x)＝－cosx，當－＜x＜時，cosx＞， ∴f″(x)＜0，故函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故排除C，選A. [答案]A [小結]導數(shù)的運算是所有導數(shù)問題的基礎，高考中直接考查導數(shù)運算的題目較少，但凡是涉及導數(shù)的問題不用計算導數(shù)的也極其罕見．因此，必須牢牢掌握導數(shù)的運算法則． 3．已知函數(shù)f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，則f′(－1)＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1B．－2 C．2D．0 [解析]

13、f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x為奇函數(shù)，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2. [答案]B 4．已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)x都有f′(x)＝ex(2x－2)＋f(x)，f(0)＝1，則(　　) A．f(x)＝ex(x＋1) B．f(x)＝ex(x－1) C．f(x)＝ex(x＋1)2D．f(x)＝ex(x－1)2 [解析]令G(x)＝，則G′(x)＝＝2x－2， 可設G(x)＝x2－2x＋c， ∵G(0)＝f(0)＝1.∴c＝1. ∴f(x)＝(x2－2x＋1)ex＝ex(

14、x－1)2. [答案]D 導數(shù)的幾何意義 例4　(1)曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則P點的坐標為(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，經(jīng)檢驗，點(1，3)，(－1，3)均不在直線y＝2x－1上，故選C. [答案]C (2)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的

15、值為(　　) A．－1B．－3C．－4D．－2 [解析]∵f′(x)＝，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1. ∵g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)， 則有解得m＝－2. [答案]D [小結]1.導數(shù)幾何意義基本題型：(1)是求曲線的切線方程，其關鍵是理解導數(shù)的幾何意義，并能準確求導；(2)是求切點坐標，其思路是先求函數(shù)的導數(shù)，然后讓導數(shù)值等于切線的斜率，從而得出切線方程或求出切點坐標； (3)是求參數(shù)的值(范圍)，其關鍵是列出函數(shù)的導數(shù)等于切線斜率的方程． 2．解決此類問題的先決條件是應先正確求導，再

16、根據(jù)其他條件求解，求曲線的切線應注意： (1)“過點A的曲線的切線方程”與“在點A處的切線方程”是不相同的，后者A必為切點，前者未必是切點； (2)曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的切線往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個． 5．設曲線y＝在點處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數(shù)a＝__________． [解析]因為y′＝，所以y′|x＝＝－1，由條件知＝－1，所以a＝－1. [答案]－1 6．函數(shù)g(x)＝x3＋x2＋3lnx＋b(b∈R)在x＝1處的切線過點(0，－5)，則b的值為(　　) A.B.C.D. [解析]當x＝1時，g(1)＝1＋

17、＋b＝＋b，又g′(x)＝3x2＋5x＋， 所以切線斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，從而切線方程為y＝11x－5， 由于點在切線上，所以＋b＝11－5，解得b＝.故選B. [答案]B 導數(shù)的幾何意義的綜合應用 例5　已知f＝ln(x＋m)，g＝ex. (1)m＝2時，證明：f

18、(x)在(－2，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，從而F(x)的最小值為F＝ea－ln＝＋a＝>0. 所以F(x)≥F(a)>0，即g(x)>f(x)． 法二：ex≥x＋1≥ln(x＋2)，注意兩個等號成立條件不一致； (2)f′＝，故f′＝， 故切線l的方程為y＝－＋ln(x0＋m)，① 設直線l與g(x)相切于點(x1，ex1)，注意到g′＝ex，從而切線斜率為ex1＝，因此x1＝－ln(x0＋m)， 而g＝ex1＝，從而直線l的方程也為y＝＋＋，② 由①②可知＋＝＋ln(x0＋m)， 故ln＝x0＋1，由m為正整數(shù)可知，x0＋m－1>0，因此解得ln＝，0

19、1， 構造函數(shù)h＝ln－(00， 當m＝1時，h＝ln－為單調(diào)遞增函數(shù)，且h＝ln2－2<0，從而h(x)在(0，1)上無零點； 當m>1時，要使得h在(0，1)上存在零點，則只需h＝lnm－<0，h＝ln－>0， 由h1＝lnm－為單調(diào)遞增函數(shù)，且h1＝ln3－>0，因此m<3； 由h2(m)＝ln－為單調(diào)遞增函數(shù)，且h2＝ln2－2<0，因此m>1； 由于m為正整數(shù)，且1

20、上． 7．已知函數(shù)f＝e2x，a∈R. (1)當a＝4時，求證：過點P有三條直線與曲線y＝f相切； (2)當x≤0時，f＋1≥0，求實數(shù)a的取值范圍． [解析] (1)當a＝4時，f＝e2x，f′＝4e2x. 設過點P的直線與曲線y＝f相切于點， 則切線方程為y－f＝f′， 將點P代入得－f＝f′， 即－e2x0＝4e2x0， 又e2x0>0，得8x－14x0＋1＝0，令g＝8x3－14x＋1， g′＝24x2－14＝24， 所以函數(shù)g在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 且g＝－35<0，g＝1>0，g＝－5<0，g＝37>0， 所以g

21、＝8x3－14x＋1在區(qū)間，，上均有一個零點， 故過點P有三條直線與曲線y＝f相切． (2)因為當x≤0時，f＋1≥0， 即當x≤0時，e2x≥－1， 所以當x≤0時，ax2＋2x－1＋≥0， 設h＝ax2＋2x－1＋， 則h′＝2ax＋2－＝2， 設m＝ax＋1－，則m′＝a＋. ①當a≥－2時，由x≤0得≥2，從而m′≥0，(當且僅當x＝0時等號成立)，所以m＝ax＋1－在區(qū)間上單調(diào)遞增，又m＝0，所以當x≤0時，m≤0，從而當x≤0時，h′≤0，所以h＝ax2＋2x－1＋在區(qū)間上單調(diào)遞減，又h＝0，所以當x≤0時，h≥0，即ax2＋2x－1＋≥0， 所以當x≤0時，f＋

22、1≥0； ②當a<－2時，令m′＝0，得a＋＝0， ∴x＝ln<0， 故當x∈時，m′＝<0， ∴m＝ax＋1－在上單調(diào)遞減， 又∵m＝0，∴當x∈時，m≥0， 從而當x∈時，h′≥0， ∴h＝ax2＋2x－1＋在上單調(diào)遞增，又∵h＝0， 從而當x∈時，h<0，即ax2＋2x－1＋<0， 于是當x∈時，f＋1<0， 綜合得a的取值范圍是. 對應學生用書p40 1．(2019·全國卷Ⅰ理)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為________________． [解析]y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex， 所以切

23、線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝3， 則曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為y＝3x，即3x－y＝0. [答案]3x－y＝0 2．(2019·全國卷Ⅱ理)已知函數(shù)f＝lnx－. (1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點； (2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． [解析] (1)f(x)的定義域為(0，1)∪(1，＋∞)． 因為f′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)單調(diào)遞增． 因為f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零點x1，即f(x1)＝0. 又0<<1，f＝－lnx1＋＝－f(x1)＝0， 故f(x)在(0，1)有唯一零點. 綜上，f(x)有且僅有兩個零點． (2)因為＝e－lnx0，故點B在曲線y＝ex上． 由題設知f(x0)＝0，即lnx0＝， 故直線AB的斜率k＝＝＝. 曲線y＝ex在點B處切線的斜率是，曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0)處切線的斜率也是， 所以曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． 13