《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第29講 平面向量的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第29講 平面向量的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第29講　平面向量的應(yīng)用 【課程要求】 1．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題． 2．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p80 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線．(　　) (2)在△ABC中，若·<0，則△ABC為鈍角三角形．(　　) (3)若平面四邊形ABCD滿足＋＝0，(－)·＝0，則該四邊形一定是菱形．(　　) (4)設(shè)定點(diǎn)A(1，2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是x＋2y－4＝0.(　　) (5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(－2，

2、－1)，B(0，10)，C(8，0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足：＝＋t(＋)，t∈R，則點(diǎn)P的軌跡方程是x－y＋1＝0.(　　) [答案] (1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．[必修4p108A組T5]已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，則該三角形為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．銳角三角形B．直角三角形 C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 [解析]　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)， ∴||＝＝2，||＝＝4， ||＝＝6， ∴||2＋||2＝||2， ∴△ABC為直角三角形．

3、 [答案]B 3．[必修4p109例1]在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則2AB2＋2AC2＝____________．(用BC，AD表示) [解析]　＋＝2，－＝， 兩式平方相加得2AB2＋2AC2＝BC2＋4AD2. [答案]BC2＋4AD2 4．在△ABC中，已知＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)___________． [解析]①若A＝90°，則有·＝0，即2＋3k＝0， 解得k＝－； ②若B＝90°，則有·＝0， 因?yàn)椋剑?－1，k－3)， 所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝； ③若C＝90°，則有·＝0，即－1＋k(

4、k－3)＝0， 解得k＝. 綜上所述，k＝－或或. [答案]－或或 5．在四邊形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，則該四邊形的面積為_(kāi)_______． [解析]依題意得·＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以⊥，所以四邊形ABCD的面積為 ||·||＝××＝5. [答案]5 6．設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|＋|>||”的(　　) A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件 [解析]　與的夾角為銳角， 所以||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·， 即|＋|2>|－|2， 因?yàn)椋?，所以|＋|>||；

5、 當(dāng)|＋|>||成立時(shí)，|＋|2>|－|2?·>0，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角．故“與的夾角為銳角”是“|＋|>||”的充分必要條件，故選C. [答案]C 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題． (1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b，且b≠0?存在唯一的λ∈R，使a＝λb?x1y2－x2y1＝0或a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)； (2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：a⊥b?__a·b＝0__?

6、__x1x2＋y1y2＝0__； (3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式． 2．平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解和合成與向量的加法和減法相似，可用向量的知識(shí)來(lái)解決． (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移S的數(shù)量積，即W＝F·S＝|F|·|S|·cosθ(θ為F與S的夾角)． 【知識(shí)拓展】 (1)若G是△ABC的重心，則＋＋＝0. (2)若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p81 向量在物理中的應(yīng)用 例1　一個(gè)重為|G|(單位：N)的物體，在豎直平面內(nèi)受到

7、兩個(gè)力F1、F2(單位：N)的作用處于平衡狀態(tài)，已知F1、F2的大小分別為1N和2N，且二力所成的角為120°，則G與F2所成的角的大小為_(kāi)_______． [解析]如圖，∵∠AOB＝120°， ∴∠A＝60°. 在△AOC中，||2＝||2＋|2|－2||·||·cos60°＝3，∴||＝. 于是||2＋||2＝||2，即∠AOC＝90°， ∴G與F2所成的角為150°. [答案]150° [小結(jié)]用向量法解決物理問(wèn)題的步驟： ①將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來(lái)； ②將物理問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題； ③最后將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為物理問(wèn)題． 1．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上

8、的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：N)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2N和4N，則F3的大小為_(kāi)_______N. [解析]∵F1＋F2＝－F3，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝4＋16＋2×2×4×＝28，∴|F3|＝2. [答案]2 向量在平面幾何中的應(yīng)用 例2　在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中點(diǎn)，E是線段AB上的點(diǎn)，且AE＝2BE，求證：AD⊥CE. [解析]法一：(基向量法) 設(shè)＝a，＝b，則|a|＝|b|，且a·b＝0， 則＝＋＝＋＝＋ (－)＝a＋b. ＝－＝－＝b－a. ·＝·＝－a2＋b2＝0，

9、 所以⊥，即AD⊥CE. 法二：(坐標(biāo)法) 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)CA＝2，則A(2，0)，B(0，2)，D(0，1)，E， 所以＝(－2，1)，＝， 所以·＝－＋＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. [小結(jié)]用向量法解決幾何問(wèn)題的步驟： ①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； ②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系； ③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 2．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)，四邊形PECF是矩形．證明： (1)PA＝EF； (2

10、)PA⊥EF. [解析]以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC，DA所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1， 設(shè)P(t，t)(0

11、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1B．－C.D．2 [解析]·＝·＝2·＝2||2，顯然||的長(zhǎng)度為半個(gè)周期，周期T＝＝2，∴||＝1，所求值為2. [答案]D 例4　在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若·＝·＝k(k∈R)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若k＝2，求b的值． [解析] (1)∵·＝cbcosA，·＝bacosC， ∴bccosA＝abcosC. 根據(jù)正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC， 即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0， ∴∠A＝∠C，即a＝c. 則△ABC為等腰三

12、角形． (2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得 ·＝bccosA＝bc·＝. ·＝k＝2，即＝2，解得b＝2. [小結(jié)]三角函數(shù)與向量綜合往往以向量運(yùn)算構(gòu)造問(wèn)題的題設(shè)條件，因此依據(jù)向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題是問(wèn)題求解的切入點(diǎn)． 3．已知向量a＝，b＝(4，4cosα－)，若a⊥b，則sin等于(　　) A．－B．－ C.D. [解析]由a⊥b得a·b＝0， 即4sin＋4cosα－＝0， ∴2sinα＋6cosα＝. ∴sin＝， ∴sin＝－sin＝－. [答案]B 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 例5　已知點(diǎn)P(－3，0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，

13、點(diǎn)M在直線AQ上，滿足·＝0，＝－，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)___________． [解析]設(shè)M(x，y)為軌跡上的任一點(diǎn)，設(shè)A(0，b)，Q(a，0)(a>0)， 則＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)． 因?yàn)椋剑? 所以(x，y－b)＝－(a－x，－y)， 所以a＝x，b＝－，即A，Q， ＝，＝. 因?yàn)椤ぃ?，所以3x－y2＝0， 即所求軌跡的方程為y2＝4x(x>0)． [答案]y2＝4x(x>0) [小結(jié)]向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問(wèn)題用代數(shù)方法處理，也可以將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決，其中向量是橋梁，因此，在解此類題目的時(shí)候，一定要重視轉(zhuǎn)化與化歸

14、思想的運(yùn)用． 例6　已知F1, F2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上． (1)求·的最小值； (2)設(shè)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在第一象限，且·＝－1，求△ABP面積的最大值． [解析] (1)依題意可知F1(－，0), F2(，0)， 則＝(－－x0，－y0), ＝(－x0，－y0)， ∴·＝x＋y－6， ∵點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上，∴＋＝1，即y＝2－， ∴·＝x＋2－－6＝－4＋(－2≤x0≤2)， ∴當(dāng)x0＝0時(shí)，·的最小值為－4. (2)設(shè)l的方程y＝x＋b，點(diǎn)A(x1，y1), B(x2，y2)，

15、由得x2＋2bx＋2b2－4＝0， 令Δ＝4b2－8b2＋16>0，解得－2

16、線方程為y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0， 聯(lián)立方程可得，2x2＋4x－5＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝－， 令y＝0可得P(0，0)， ·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＝－5. [答案]－5 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p82 (2019·江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若·＝6·，則的值是________． [解析]如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE，交AB于點(diǎn)F，由BE＝2EA，D為BC的中點(diǎn)，知BF＝FE＝EA，AO＝OD. 6·＝3· ＝·， ＝· ＝ ＝ ＝·－2＋2＝·， 得2＝2，即＝，故＝. [答案] 11