《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第30講 復(fù)數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第30講 復(fù)數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第30講 復(fù)數(shù)
【課程要求】
1.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件,并會(huì)應(yīng)用.
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法,能進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
3.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義,會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p82
【基礎(chǔ)檢測(cè)】
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)方程x2+x+1=0沒有解.( )
(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.( )
(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小.( )
(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).( )
(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)
2、的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.[選修2-2p106B組T1]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則|z|等于( )
A.1B.C.D.2
[解析]1+z=i(1-z),z(1+i)=i-1,
z===i,∴|z|=|i|=1.
[答案]A
3.[選修2-2p112A組T2]在復(fù)平面內(nèi),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1-3i,則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A.1-2iB.-1+2i
C.3+4iD.-3-4i
[解析]?。剑剑?-3i+(-2-i)=-3-4i.
[答案]D
4.[選修
3、2-2p116A組T2]若復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為( )
A.-1B.0
C.1D.-1或1
[解析]∵z為純虛數(shù),∴∴x=-1.
[答案]A
5.設(shè)a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a+為純虛數(shù)”的( )
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
[解析]∵復(fù)數(shù)a+=a-bi為純虛數(shù),∴a=0且-b≠0,即a=0且b≠0,∴“ab=0”是“復(fù)數(shù)a+為純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選C.
[答案]C
6.設(shè)i是虛數(shù)單位,若z=cosθ+isinθ,且其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限,則θ
4、位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
[解析]∵z=cosθ+isinθ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ),且點(diǎn)(cosθ,sinθ)位于第二象限,∴
∴θ為第二象限角,故選B.
[答案]B
7.已知復(fù)數(shù)z=i+i2+i3+…+i2019,則z=________.
[解析]z=i+i2+i3+…+i2019==,
∴z==-1.
[答案]-1
【知識(shí)要點(diǎn)】
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的概念
形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實(shí)部和__虛部__,若b≠0,則a+bi為虛數(shù),若__a=0,b≠0__,則a+bi
5、為純虛數(shù),i為虛數(shù)單位.
(2)復(fù)數(shù)相等:復(fù)數(shù)a+bi=c+di?__a=c且b=d__(a,b,c,d∈R).
(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?__a=c且d=-b__(a,b,c,d∈R).
(4)復(fù)數(shù)的模
向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=____.
2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則
(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(2)減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(3)乘法
6、:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(4)除法:==
=
=+i(c+di≠0).
3.兩條性質(zhì)
(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,in+in+1+in+2+in+3=0(其中n∈N*);
(2)(1±i)2=±2i,=i,=-i.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p83
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
例1 (1)復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限.
[解析]z====1-i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
[答案]四
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為z,則|(1
7、-z)·z|=( )
A.B.2C.D.1
[解析]依題意得(1-z)·z=(2+i)(-1+i)=-3+i,則|(1-z)·z|=|-3+i|==.
[答案]A
(3)如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)(其中i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=________.
[解析]由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可知(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i,
因?yàn)閺?fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是純虛數(shù),則
解得m=0或1.
[答案]0或1
[小結(jié)]求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧
復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí),需
8、把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解.
1.(多選)已知復(fù)數(shù)z=,則下列說法正確的是( )
A.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為
B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為+i
C.復(fù)數(shù)z部虛部為-i
D.復(fù)數(shù)z的模為
[解析]z====-i,則實(shí)部為,虛部為-,共軛復(fù)數(shù)為+i,模為.
[答案]ABD
復(fù)數(shù)的運(yùn)算
例2 (1)已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R),且滿足z=,則|z|=( )
A.B.C.D.3
[解析]由題意,得z2+z=(a+i)2+a+i=a2-1+a+(2a+1)i=1-3i,所以解得a=-2,所以|z|=|-2+i|=.
[答案]C
9、
(2)若復(fù)數(shù)z滿足=i2021,其中i為虛數(shù)單位,則z=________.
[解析] z=i(1-i)=1+i,z=1-i.
[答案]1-i
(3)計(jì)算:·=________.
[解析]原式===1-i.
[答案]1-i
[小結(jié)]復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略
(1)復(fù)數(shù)的乘法:復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可.
(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式.
[提醒]在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度.
(1)(1±i)2=±2
10、i;=i;=-i;
(2)-b+ai=i(a+bi);
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
2.復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=i,其中i為虛數(shù)單位,則的虛部為( )
A.-1B.1C.iD.-i
[解析] z1=1-i,==-1-i,虛部為-1,故選A.
[答案]A
復(fù)數(shù)的幾何意義
例3 (1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
[解析]=-i,所以其共軛復(fù)數(shù)為+i,
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
[答案]A
(2)已知
11、復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值是________.
[解析]由條件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),
根據(jù)=λ+μ,得
(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
∴解得
∴λ+μ=1.
[答案]1
(3)復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若∠BAC是鈍角,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________.
[解析]在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠B
12、AC是鈍角得·<0且B、A、C不共線,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得c>,其中當(dāng)c=9時(shí),=(6,8)=-2,此時(shí)B,A,C三點(diǎn)共線,故c≠9.∴c的取值范圍是c>且c≠9.
[答案]∪(9,+∞)
[小結(jié)]對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用
(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.
(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.
3.在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A,則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為( )
A.1+
13、2iB.1-2i
C.-2+iD.2+i
[解析]依題意得,復(fù)數(shù)z==i(1-2i)=2+i,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1),因此點(diǎn)A(-2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.
[答案]C
4.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3,若復(fù)數(shù)z滿足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為△ABC的( )
A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.外心
[解析]由幾何意義知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是△ABC的外心.
[答案]D
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p84
1.(
14、2019·全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則( )
A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1
[解析]由題可得z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,==1,則x2+(y-1)2=1.故選C.
[答案]C
2.(2018·全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)z=+2i,則|z|=( )
A.0B.C.1D.
[解析]法一:因?yàn)閦=+2i=+2i=-i+2i=i,所以|z|=1.
法二:因?yàn)閦=+2i==,所以|z|=||===1.
[答案]C
3.(2018·全國(guó)卷Ⅱ理)=( )
A.--iB.-+i
C.--iD.-+i
[解析]==.
[答案]D
4.(2018·北京理)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
[解析]==+i,其共軛復(fù)數(shù)為-i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故選D.
[答案]D
9