《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第12講 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第12講 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第12講　函數(shù)與方程 【課程要求】 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷根的存在性與根的個(gè)數(shù)． 2．利用函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p31 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)．(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x

2、，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，恒有h(x)0， 且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)， ∴f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi)． [答案]B 3．[必修1p88例1]函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． [解析]由已知得f′(x)＝ex＋3>0

3、，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． [答案]1 4．[必修1p92A組T4]函數(shù)f(x)＝x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___________． [解析]作函數(shù)y1＝x和y2＝的圖象如圖所示， 由圖象知函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)． [答案]1 5．(多選)下列圖象表示的函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是(　　) [解析]A中函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，因此不能用二分法求零點(diǎn)；B中函數(shù)的圖象不連續(xù)，因此不能用二分法求零點(diǎn)；D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖象，因此不能用二分法求零點(diǎn)，故選ABD. [答案]ABD 6．已知函數(shù)f(x)＝x－(

4、x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則(　　) A．x1

5、函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是__連續(xù)不斷__的一條曲線，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__(a，b)__內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，這個(gè)__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)． (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)． 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0

6、 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) __(x1__，0)，(x2，0)__ __(x1，0)__ 無(wú)交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) __2__ __1__ __0__ 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p32 函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間的判定和求解 例1　(1)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)在區(qū)間上有__________個(gè)零點(diǎn)． [解析]當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0∈； 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上只有1個(gè)零點(diǎn)． [答案]1 (2)若a

7、(　　) A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞) [解析]∵a0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)．因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A. [答案]A [小結(jié)]函數(shù)零點(diǎn)的判定方法： (1)解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過(guò)解方程，則方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾

8、個(gè)零點(diǎn)． (2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． (3)數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫(huà)出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 1．若x0是方程＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A.B. C.D. [解析]令g(x)＝，f(x)＝x， 則g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝， 結(jié)合圖象可得＜x0＜. [答案]C 2．已知

9、函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))＋1在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) A．4B．3C．2D．1 [解析]由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1， 由f(－2)＝f＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝. 若f(x)＝－2，則x＝－3或x＝； 若f(x)＝，則x＝－或x＝. 綜上可得函數(shù)y＝f(f(x))＋1在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2，故選C. [答案]C 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和求解 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝3－f(2－x)，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2B．3C．4D．5 [解析]由已知條件可得g(x)＝3－f(2

10、－x)＝函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示．由圖可知函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選A. [答案]A (2)函數(shù)f(x)＝4cos2·cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___________． [解析]f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x>－1， 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y1＝sin2x(x>－1)與y2＝|ln(

11、x＋1)|(x>－1)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，可知有兩個(gè)交點(diǎn)，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)． [答案]2 [小結(jié)]判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有幾個(gè)解，函數(shù)f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)圖象法：畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； (3)將函數(shù)f(x)拆成兩個(gè)常見(jiàn)函數(shù)h(x)和g(x)的差，從而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝h(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； (4)二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)相應(yīng)的二次方程

12、的判別式Δ來(lái)判斷． 3．函數(shù)y＝(x－1)2－logax(其中a>1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) A．0B．1C．2D．3 [解析]函數(shù)y＝(x－1)2－logax(其中a>1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是y＝(x－1)2的圖象與y＝logax(其中a>1)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y＝(x－1)2的圖象與y＝logax(其中a>1)圖象，如圖，由圖可知，y＝(x－1)2的圖象與y＝logax(其中a>1)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝(x－1)2－logax(其中a>1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2. [答案]C 4．已知a>1，方程ex＋x－a＝0與lnx＋x－a＝0的根分別為x1，x2，若m＝x＋x

13、＋2x1x2，則m的取值范圍為_(kāi)_______． [解析]方程ex＋x－a＝0的根，即y＝ex與y＝a－x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程lnx＋x－a＝0的根，即y＝lnx與y＝a－x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而y＝ex與y＝lnx的圖象關(guān)于直線y＝x軸對(duì)稱，如圖所示： ∴x1＋x2＝a，∴x＋x＋2x1x2＝＝a2，又a>1， ∴m＝x＋x＋2x1x2>1. [答案] (1，＋∞) 二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 例3　(1)若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是______________． [解析]依題意，結(jié)合函數(shù)f(

14、x)的圖象分析可知m需滿足 即 解得

15、點(diǎn)問(wèn)題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組． 5．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，若y＝f(x)在區(qū)間(－1，0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． [解析]依題意，要使y＝f(x)在區(qū)間(－1，0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，只需即解得＜a＜.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. [答案] 6．已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x，若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，則a的取值范圍是__________． [解析]設(shè)x＜

16、0，則－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x. 又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ 方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解， 即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)． 作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示， 故若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，只需－1＜a＜1， 故a的取值范圍為(－1，1)． [答案] (－1，1) 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 例4　(1)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)<0B．g(a)>0 C．f(b)<

17、0D．f(b)>0 [解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ex＋x－2在R上單調(diào)遞增，且f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0時(shí)，a∈(0，1)．又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.由g(2)＝ln2＋1>0，所以g(b)＝0時(shí)，b∈(1，2)，又f(1)＝e－1>0，所以f(b)>0. [答案]AD (2)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋ax恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1} [解析]由題意，顯然x＝1是函數(shù)

18、f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，取a＝－1，則f(x)＝lnx＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，排除A、D；取a＝1，則f(x)＝lnx－x2＋x，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1，則f(x)在(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，排除B，故選C. [答案]C (3)已知f(x)＝x2＋kx＋|x2－1|，若f(x)在(0，2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則k的取值范圍是________． [解析]不妨設(shè)0

19、故f(x)＝0在(0，1]上至多一個(gè)解； 若1

20、__________． [解析]由方程，解得a＝－， 設(shè)t＝2x(t>0)，則a＝－＝－ ＝2－，其中t＋1>1， 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時(shí)取等號(hào)，故a≤2－2. [答案] (－∞，2－2] 8．已知函數(shù)f(x)＝ex－x2＋2x，g(x)＝lnx－＋2，h(x)＝－x－2，且－1

21、x，y＝x2－2x圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)； b是y＝lnx，y＝－2圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)； c是y＝－2，y＝x圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)； 即a，b，c分別是圖中點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)， 由圖象可得，a

22、第二段折線無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將y＝mx代入(x－4)2＋y2＝1得(1＋m2)x2－8x＋15＝0，令Δ＝64－60(1＋m2)>0，得m2<.又當(dāng)x＝6時(shí)，6m>1，m>，所以m∈. [答案] 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p33 (2018·全國(guó)卷Ⅰ理)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示， 由圖可知，－a≤1，解得a≥－1. [答案]C 12