《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第五章 平面向量、復數 第26講 平面向量的概念及線性運算導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第五章 平面向量、復數 第26講 平面向量的概念及線性運算導學案 新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第五章 平面向量、復數 [知識體系p73] 1．平面向量 2．復數 第26講　平面向量的概念及線性運算 【課程要求】 1．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；理解向量的幾何表示． 2．掌握向量的加法、減法的運算，并理解其幾何意義． 3．掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義． 4．了解向量線性運算的性質及其幾何意義． 對應學生用書p73 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (

2、2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關．(　　) (3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(　　) (5)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．(　　) (6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× 2．[必修4p86例4]已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且＝a，＝b，則＝______，＝________．(用a，b表示) [解析]如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. [答案]b－a

3、；－a－b 3．[必修4p108B組T5]在平行四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________． [解析]如圖，因為＋＝，－＝， 所以||＝||. 由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形． [答案]矩形 4．(多選)已知m，n∈R，a，b是向量，則下列命題錯誤的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，則a＝b D．若ma＝na，則m＝n [解析]由數乘向量的運算律知，數乘向量對數和向量都有分配律，所以A、B正確；當m＝0時，a，b不一定相等，當a＝0，m，n未必相等

4、，所以C、D錯誤． [答案]CD 5．設e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，則實數λ＝(　　) A．－1B．3C．－D. [解析]∵a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，∴存在實數t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，即－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝. [答案]D 6．設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________． [解析]?。剑剑? ＝＋(＋)＝－＋， ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. [答案

5、] 【知識要點】 1．向量的有關概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線

6、性運算 向量 運算 定義 法則(或幾 何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形 法則 (1)交換律a＋b＝b＋a. (2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a

7、＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使得b＝λa. 【知識拓展】 1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋)． 3.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1. 對應學生用書p74 平面向量的概念 例1　給出下列結論： ①兩個單位向量是相等向量； ②若a＝b，b＝c，則a＝c；

8、③若一個向量的模為0，則該向量的方向不確定； ④若＝，則a＝b； ⑤若a與b共線，b與c共線，則a與c共線． 其中正確結論的個數是(　　) A．1個B．2個 C．3個D．4個 [解析]兩個單位向量的模相等，但方向不一定相同，①錯誤；若a＝b，b＝c，則a＝c，向量相等具有傳遞性，②正確；一個向量的模為0，則該向量一定是零向量，方向不確定，③正確；若＝，則a＝b，還要方向相同才行，④錯誤；a與b共線，b與c共線，則a與c共線，當b為零向量時不成立，⑤錯誤． [答案]B [小結]向量有關概念的5個關鍵點 (1)向量：方向、長度． (2)非零共線向量：方向相同或相反． (3)單

9、位向量：長度是一個單位長度． (4)零向量：方向沒有限制，長度是0. (5)相等向量：方向相同且長度相等． 1．設a0為單位向量．①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數是(　　) A．0B．1C．2D．3 [解析]向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3. [答案]D 平面向量的線性運算 例2

10、　(1)如圖，△ABC中，＝＝，記＝a，＝b，則＝__________(用a和b表示)． [解析]　＝＋＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a). [答案](b－a) (2)平面直角坐標系中，O為原點，A，B，C三點滿足＝＋，則＝(　　) A．1B．2C．3D. [解析]∵＝－＝＋－＝，＝－＝＋－＝，∴＝3. [答案]C (3)如圖所示，下列結論正確的是(　　) ①＝a＋b; ②＝－a－b； ③＝a－b; ④＝a＋b. A．①②B．③④C．①③D．②④ [解析]由a＋b＝，知＝a＋b，①正確；由＝a－b，從而②錯誤；＝＋b，故＝a－b，③正確；＝＋2b＝a＋b，④錯誤

11、． 綜上，正確的為①③. [答案]C [小結]向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數知識解答，運算法則是：①平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差)；②三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和)；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何問題解答． 向量的加法、減法及數乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，有了向量的線性運算，平面中的點、線段(直線)就可以利用向量表示，為用向量法解決幾何問題(或用幾何法解決向量問題)奠定了基礎．對于用已知向量表示未知向量的問題，找準待求向量所在三角形，然后利用條件進行等量代換是關鍵，這一過程需要從“數”與“形”兩方面來

12、把握． 2．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量，表示為(　　) A.＋B.－ C.＋D.－ [解析]由平面向量的三角形法則及向量共線的性質可得 ＝－＝－＝(＋)－ ＝－＝－. [答案]B 共線向量定理的應用 例3　已知非零向量a和b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線； (2)若ka＋b和a＋kb共線，求實數k的值． [解析] (1)因為＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5

13、， 所以與共線． 又，有公共點B， 所以A，B，D三點共線． (2)因為ka＋b與a＋kb共線， 所以存在實數λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb， 所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因為a，b是兩個不共線的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0， 所以k＝±1. 經檢驗，k＝±1均符合題意． [小結]利用平面向量基本定理進行點共線和向量共線的相關運算時，如果已知點共線，則很容易得到向量共線；如果已知向量共線來證明點共線，必須找到這兩個向量的公共點． 例4　已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x

14、2＋x＋＝0成立的實數x的取值集合為(　　) 　A．{0}B．? 　C．{－1}D．{0，－1} [解析]∵＝－，∴x2＋x＋－＝0， 即＝－x2－(x－1)，∵A，B，C三點共線， ∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1. 當x＝0時，x2＋x＋＝0，此時B，C兩點重合，不合題意，舍去． 故x＝－1.故選C. [答案]C [小結]共線向量定理的3個應用 (1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點共線：若存在實數λ，使＝λ，則A，B，C三點共線． (3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件

15、列方程(組)求參數的值． 3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是(　　) A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D [解析]由＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b， 可得＝＋＝2a＋4b＝2，即，共線，所以A，B，D三點共線，故選A. [答案]A 對應學生用書p76 1．(2018·全國卷Ⅰ理)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－B.－ C.＋D.＋ [解析]法一：如圖所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－. 法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－. [答案]A 2．(2015·全國卷Ⅱ理)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝________． [解析]因為向量λa＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，則所以λ＝. [答案] 12